文|陈 昱（特级教师） 朱素姗

【教学内容】

苏教版五年级上册第二单元有关“平行四边形面积”的操作性练习：第11 页“练习二”第5 题，第27 页“整理与练习”第12 题。

【学情简析】

学生已经学习过平行四边形的面积计算，本课属于练习拓展。学生需要在解决问题的过程中搞清楚为什么变形后图形的周长未变而面积变小了，减少的面积到底是怎么变小的等问题。对学生来说有一定难度，需要给予探索、交流的场域。

【教学目标】

1.学生通过画图等探究和推理活动搞清楚长方形框拉成平行四边形前后面积变小的原因，并会清楚表征和表达自己的发现，深刻理解平行四边形的不稳定性。

2.学生在探究、交流等活动中初步领会“变与不变”思想，增强独立思考、合作学习能力和推理意识，体验数学与现实生活的紧密联系。

【教学重点】

探究平行四边形变形问题，理解背后的道理。

【教学难点】

学生对数学问题的探究、表征、推理，在“变与不变”中感悟数学知识的一致性。

【设计意图：《义务教育数学课程标准（2022 年版）》体现“素养为纲、综合育人、实践育人”，要求一线教师在教学中制订指向核心素养的教学目标、整体把握教学内容、选择能引发学生思考的教学方式、进一步加强综合与实践，以及注重信息技术与数学教学的融合。具体怎么做？笔者在练习教学中做了一些尝试：1.紧扣学科大观念，围绕“平行四边形边长确定、形状不确定”展开探究练习；2.指向推理意识、几何直观、空间观念、应用意识等数学核心素养培育；3.精选具体的操作性问题做深做透，体现练习上的“少即多”；4.设计表现性任务，体现学教评的一致性和知识的一致性。】

【教学过程】

一、引入

师：同学们，我们学习了多边形的面积计算，今天继续来探究（板书：图形变变变）。看到这个课题，你想到了什么？（引出平行四边形的变形问题）

【设计意图：以“图形变变变”作课题，有如下思考：1.学生由课题联想到平行四边形的不稳定性，引出探究性问题；2.激发学生的学习兴趣，利于学生较快投入到图形变化的探究中；3.预示本课涉及的平行四边形变形问题具有“多变性”，需要具体问题具体分析，才能探究出变化背后不变的道理。】

二、主体活动：探究“木条框”问题

1.出示问题：用细木条钉成一个长方形框，长12 厘米、宽7 厘米。它的周长和面积各是多少？

（1）你能想象出这个长方形吗？请你画出示意图，并算出周长和面积。

（学生画图计算，教师巡视）

（2）指名板演，说说求周长和面积的过程与结果。

2.继续出示：如果拉成一个平行四边形……

（1）你还能想象吗？在脑海里拉一拉，会变成什么样子？你还能画出这个平行四边形吗？就在刚才长方形的基础上画，尽量画得准确一些。

（学生画图，教师巡视）

（2）对比展评典型作品：你赞同哪一种？为什么？辨析后动态展示几何画板课件：平行四边形的变形，学生直观感受和确认；学生修改自己的图。

3.周长没变，那面积呢？

（1）观察：变形前后，什么没变？（边长，周长）什么变了？变大了还是变小了？为什么？你能画图说明吗？

学生自主画图探究，教师巡视辅导。关键性引导：不容易一眼看出变形前后的长方形和平行四边形面积谁大谁小，你能想办法在图上画一画、移一移，使人一眼就能看出大小吗？

（2）小组交流，互相说说有什么发现，为什么。教师巡视，选取典型作品。

（3）全班展台展评：结合画图作品，说明变形后图形的面积为什么变小了？组织生生评价。

（4）动态演示几何画板课件：平行四边形变形时面积的变化，学生初步感受，适时完善板画，改进作品。

4.再次演示几何画板课件（显示数据），观察：你有什么发现？引出：拉得越厉害，面积越小（板书），追问：图形面积变小的根本原因是什么？讨论得出：拉得越厉害，高越小，面积越小（补板书）。

【设计意图：教学前测表明，有约一半的学生不会正确画图表征平行四边形不稳定性变形问题，常见的错例如图1，其错因恰恰是学生不理解平行四边形变形过程中边长保持不变，而高随着形状（边的夹角）变化而变化——这也是理解整个问题的关键。因此，本设计放慢学习过程：

图1

图2

图3

图4

1.分三步画图：第一步，画长方形，求其周长和面积，门槛较低，全体学生都能顺利进入。这一步除了引导学生快速进入探究活动，还可以培养其数感：利用作品展评引导学生比较和判断：哪一幅作品更好？怎样画一个长12 厘米、宽7 厘米的长方形草图？数感比较好的学生就能发现：12 厘米的一半是6 厘米，所以这个长方形的宽应该比长的一半稍微长一点，据此画出来的草图就更准确。第二步，画变形后的平行四边形，没有给实物操作，突出学生的空间想象，利于反馈学生的真实理解水平；通过辨析理解：变形过程中周长及边长不变，夹角、高和形状变化，即变化的是夹角、高和形状，保持不变的是边长、周长，为后面理解面积变化做准备；注意本环节要组织学生辨析，说清道理，促进空间想象和变形推理能力的提升。第三步，画变形后面积变小的说明图，利用几何直观、数形结合辅助理解原理；并且在交流不同作品和演示几何画板动图的基础上，引导学生发现平行四边形在变形过程中面积的变化规律。（注：图1～4 是学生课堂上随着教学推进理解水平不断提升的四幅作品）

2.三次演示几何画板动图：第一次，第二步画平行四边形时出现不同意见，表现出不同画法，体现学生空间观念发展上的不同层次。在辨析基础上出示几何画板制作的动图，强化和巩固正确意见，用最直观的方式纠正一部分学生的认知偏差。第二次，第三步画图并展评之后，出示几何画板动图，将前面学生指图解说的道理进一步动态化，非常直观且清晰地“看到”面积的确在变小或反向变大，初步感受平行四边形面积变化的规律，发现底不变情况下是高的变化引起了面积的变化。第三次，在学生以上探究活动之后，大部分学生的认识提升已经初步完成，知识学习和问题解决做到了充分经历、感悟、思考，此时再次呈现几何画板动图，所不同的是这次显示了平行四边形高、底和面积的数据，直观之上平添了一层精确，学生据此可以明确平行四边形底不变，面积随着高的变化而变化，高越大面积越大，高越小面积越小。】

三、收束

1.总结：这节课我们探究了什么问题？我们是怎么研究的？这个结论在现实生活中有应用吗？

引出伸缩门、升降机、机械手臂等实际应用，追问：现实生活中平行四边形的所有变形问题都是这样的吗？引出“练习本变形问题”。

2.延伸。

出示问题：把20 本练习本摞成一个长方体，前面是一个长方形；再把这摞练习本均匀地斜放，这时前面变成了一个近似的平行四边形。变形前后，前面的周长和面积变了吗？为什么？

课后探究完成数学画作业。

【设计意图：1.反思问题解决过程，总结问题解决方法，积累问题解决经验；2.学用结合，将研究结论应用于现实生活，培养应用意识，感受数学与生活的密切联系和数学的价值；3.引出新问题，将研究延伸到课外，在强烈的问题驱动下学生自主投入到更加深入的探究活动中，发现新问题中平行四边形在变形时因为高保持不变所以面积不变而周长发生了变化；为下节课的展评和对比做好铺垫，最终引导学生认识到问题的复杂性和深刻性，提高学生在面对真实复杂的现实问题时能够具体问题具体分析、正确辨别、全面认识，最终抓住“变中不变”的数学本质，感受数学的无限魅力。】

四、板书设计

图形变变变

问题→想象、画图、推理……（数学画）→结论→应用→新问题……

【教学反思】

本节课在课堂教学实践中遇到诸多问题，引发我们的思考，下面主要反思两个问题：

一、课堂出现“学霸”怎么办？——利用数学画说图活动引导全体学生跟上节奏

课堂是无法完全预设的，这正是其灵动美妙的地方。本课在送教无为市时遇到一位“学霸”，诸多问题他很快就有了比较准确的理解，且能很完整准确地加以解释。如此，课堂进程就比较顺畅，从而极有可能造成部分学生思维跟不上，而他们的困惑会被课堂的整体顺畅所掩盖。为了解决这一隐性危机，教师临时改动设计，开展了一次“请三位同学依次说理”的反馈评议活动，安排在第三步学生自主画图探究之后。

第一位学生是请其上台板画想法的学生A，他上台指图解说；第二位学生是教师巡视时选其画作作为典型作品的学生B，他在展台边说道理；第三位学生是教师出示几何画板动图后，在台下看动图解说的学生C。三人说得既有共同点也有不同，虽然没有“学霸”那样流利，但也可圈可点，尤其是他们说出了自己一开始想不太明白的地方，以及后来如何找到突破方法的过程，对其他学生有很大的启示作用。如此三次下来，一部分存有困惑的学生有时间跟上来，所有学生都基本搞清楚了现象背后的道理。至此，本课重难点得以坚实落地。

无论预设还是生成应对，教学的指向永远是学生真实的学习需求。因需而动，缘学而教，也永远是“数学画”教学的课堂追求之一。

二、新时代数学课堂如何减负增效？——利用教育信息技术为数学画展评赋能

本课多次运用了实物展台和几何画板课件，给予学生和观课教师深刻的印象。我们对教育信息技术有着自己的认识：

1.用“傻瓜”技术保障常态教学。我们特别看重实物展台，认为这是班班通设备中最接地气、最有利用价值的一款，使用和维护都非常简便，最能对学情进行及时反馈和有效互动。

2.用“高端”技术点亮智慧课堂。在保障常态教学底线的基础上，信息时代的教师应该学习一项学科信息化工具或者积极学习和使用智慧课堂设备与技术，为实现智慧教和智慧学而努力。比如数学学科教师可以学习利用几何画板工具，数形结合、几何直观，在学生理解的困惑处发挥作用，并助益学生感悟数学思想方法、提升数学核心素养。本课几何画板动图的运用对学生理解“平行四边形不稳定性”的数学本质和感悟“变与不变”思想很有帮助。

3.用“研究”态度实现减负增效。所有设备与技术的使用要达到效果都必须赖以“研究”的途径。教育信息技术要真正实现为课堂赋能，绝不能为技术而技术，把课堂变成充斥着声光电的演示厅，表面热闹，收效甚微。广大教师需要潜心研究教育信息技术与课堂教学的深度融合课题，探寻和遵循教育教学规律和学生学科学习规律。“数学画”项目组格外重视能够为作品展评和学习评价提供有力支撑的信息技术，并以课题方式加以专门研究，为数学教学减负增效。