庄惠芬

摘    要：基于儿童数学概念理解的现状，需要分析厘定数学概念内在的脉络，而数学单元学习群可以通过大观念、大问题、大任务的建立，在以概念理解为本的单元学习目标设计、以概念进阶为路线的单元活动设计、以概念结构为框架的单元学习支架、以概念迁移为结果的单元学习评价四个维度为路径，促进儿童数学概念性理解、促进素养的发展。

关 键 词：方程  概念性理解  数学单元学习群

此文为全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“指向学科核心素养的数学单元学习群的实践研究” （DHA200373）的阶段性成果

数学概念是对一类对象本质属性的表达，也是儿童数学思维发展的重要载体，儿童数学学习是否顺畅，很多时候是从是否能清楚地理解数学概念开始的。在“简易方程”是的学习过程中，我们发现学生普遍出现“不想用方程解”“不会找等量关系”“不知设谁是未知数”等问题。数学概念形成的思维过程在于对数学对象充分感知的基础上能通过比较、分析、归纳得出它们的共同属性。而数学单元学习群的建立，通过结构化的知识、系统性的思维、体系化的眼光，能从碎片的数学知识中梳理出概念的脉络，促进儿童对数学的概念性理解。数学单元学习群为载体，把握数学学科的本质，形成具有学科中心地位、广泛的实用性和解释力的概念模型；并能将这样的概念模型作用于新的问题情境，形成可迁移的应用价值。本文就以小学数学五年级“方程”单元为例谈一谈：

一、观念统领：以概念性理解为本的单元目标设计

现有“简易方程”教材编制中存在一定的内在缺陷，学段之间的衔接、之间知识的融通、以及教材生成儿童的思维定势导致数学学习的难点。为了突破难点，我们采用数学大观念统领，数学大观念不是简单知识的堆砌，是立足于概念内核基础上的重新架构，以少而精的观念促使学生达成对于数学学科的深度理解①。

（一）确立单元具体观念

单元具体观念依据本单元内容的核心本质，指向的是学生的理解和迁移，是单元教学设计的灵魂。在“方程”这一单元中，我们确定单元具体观念，上位的观念为培养学生的符号意识、函数思想、数学建模等数学思想；中位的观念为在探索现实世界的数量关系的过程中，感受等号既可以表示结果又可以表示等价关系，积累将等量关系符号化的活动经验；在表达等量关系的过程中，通过生生和师生交流、评价，初步发展代数思维；下位具体观念为学生体会用字母表示数与关系，且体会其需要与必要性；能够借助生活情境中的故事中找出等量关系、并且能用方程表达关系；借助天平秤的平衡原理理解等式性质、学会解方程。从三位视角确定本单元的大观念，大观念有着中心地位，是数学学科之核心，同时也可迁移，大观念具有在新情境下的迁移价值、对后续的学习也有着更持久的影响，内化到儿童的认知结构中。

（二）设计单元核心问题

单元的核心问题一定是围绕着单元具体观念制定的，核心问题能够引领儿童探究学习内容的本质，在探究活动中体悟数学思想方法，在反思回顾整理中涵育数学思维方式，在过程的探索中积累数学活动经验。一方面第一学段的小学生基本运用算术方法解决实际问题，学习方程时基本上是第一次接触代数思想；另一方面，小学阶段方程的学习效度需要为中学的方程学习衔接做好准备。我们把这一单元的核心问题设为：你能用字母表示事物之间的关系吗？方程到底有怎样的意义和价值呢？你会通过事物之间建立等量关系来解决实际问题吗？如何有需要并建立方程体会方程的优越性？你会用方程解决生活中較为复杂的实际问题吗？等等作为单元核心问题。

（三）制定学习任务目标

单元任务序列要对应单元核心问题，同时也指向单元具体观念，以保证学习任务的目标指向内容的本质，指向学生的素养的发展。在“简易方程”这一单元学习中我们围绕“关系建构”这一本质属性设计了三个大任务：我能用字母表示事物间的关系、我能找出天平秤里的等量关系、我能在生活场景中找到等量关系；三大任务立足“关系”聚焦概念本质，指向儿童理解方程的意义和本质，使儿童的思维和能力得到发展。在三大任务驱动中形成围绕学习目标形成具体的任务：我会用字母可以表示任意数、一类数、数量关系、特定的未知数等等，我会通过不同情境中寻找等量关系理解方程的意义、我会借助天平秤探究等式的性质，我会用方程解决问题。

数学大观念不仅仅指向于某一个简单知识，而是承载着数学知识、方法、思想与价值，并以统领思想、结构思维形成了模型，并成为落实数学素养的重要桥梁。数学单元学习群的教学设计与实施是基于单元具体观念的，而核心观念又是与核心问题密切关联的，核心问题要紧扣学习内容的核心本质，与单元的具体观念对接。

二、梳理图谱：以概念进阶为路线的单元活动设计

对简易方程的理解程度直接影响小学后一阶段方程的学习，甚至更大程度影响着学生今后关于方程与函数间的区分、认识与理解。因此我们很有必要关注教材的编排逻辑和学生认知断层，通过对不同版本教材研究，重新设置例题的教学方式、内容呈现以及编排容量。

（一）以教材比对厘定概念的内在脉络

“天平”是否反应方程的本质？“用字母表示未知数”这一定义是否表达的是方程的本质？这些问题如何突破，从不同版本教材比对切入，从知识点的分布、方程概念的引入方式、以及建立起来的模型结构，以及解方程依据和列方程解决实际问题的编排，对比分析、类化整理，让我们对简易方程的概念的脉络有了清晰的认识。

通过对比，可以取长补短，从等量关系引入作为方程概念的本质属性，同时对“用字母表示数”与“认识方程”板块重组，在用字母表示数中降低学习起点，不把函数或对应关系作为教学材料；强化学习重点，整体推进用字母表示一步运算和两级运算的数量关系，融入常见数量关系的代数式训练；在“认识方程”中利用不变量理解等量关系、重视等量题组情境变式、以等量关系作为建立方程概念的主要线索。

（二）以思维线索驱动概念的进阶过程。

对于方程的概念性理解，从“含有未知数的等式”这一形式化定义拓展为“方程表示已知数与未知数的等量关系”。把等量关系作为方程概念理解的核心，真正把儿童的方程思维在真实的情境中得到激发，凸显方程的价值与意义。对方程的概念理解，从找未知数开始，再到如何在已知数未知数之间建立联系，突出“找等量关系”这一核心要素。在这个基础上，让孩子比较不同情境背后等量关系的逻辑线索，然后抽象概括，剥离情境之后概括出方程的意义，建立了方程的模型，其中包含两条思维线索交融推进：一是让学生经历“设未知数——找等量关系——列出方程”的这样的模型建构过程，二是让学生在方程建模过程经历了观察、分析、比较、归纳、概括、建模等数学化过程，实现了从形式到内涵的第二次嬗变，促进了学生数学高阶思维的发展②。

（三）以认知匹配深化概念的本质理解。

儿童在“方程”单元学习过程中存在的学习障碍，主要来自于受算术思维定势过深、列方程局限在一种形式化的模仿，缺少整体的建模意识。学生对于方程认识基于表层，并未感受到方程的出现是基于解决问题。以及解方程的程序繁琐、容易出错，利用方程解决问题的优越性不明显，很难构建与新内容相匹配的认知图式。究其原因，从两个学段的编排来看，第一学段少方程思想，多算术思想与逆向思维、数学教学没有对方程做好铺垫，扼杀了学生早期代数的萌芽；第二学段从逆向思维到顺向适应度不够，初学方程比较简单用算术容易；造成学生对方程的学习动机不高，兴趣也不大，逆向向顺向转化不适应。不注重建模与方程思想，让学生会列、会解方程就行，教师的解方程教学时规则过多，使学生感受不到方程妙处，反而认为求解方程既繁琐又易错。为了促进儿童的认知匹配，采用第一学段提前孕伏，在算术与代数的割裂处补上天桥；第二学段基于儿童的认知基础，叩问方程本质，创造性使用教材。

三、贯通思想：以概念结构为框架的单元学习支架

数学的单元学习群是围绕基本概念而进行的，以帮助学生建构概念模型的思维发展，使儿童获得主要概念的本质属性和概念性观念，从而发展儿童对概念的理解力为目标的教学，用贯通的思想采用纵向和横向的学习支架策略建立概念框架。

（一）纵向贯通策略

数学知识点之间往往有纵向关系，如果这样的纵向关系更需要和儿童的经验联结，与数学概念理解的差异性相贯通。

1.从儿童经验与概念之间的差异中确定认识线索。

分析学生已有的认知经验与所要理解的“方程”概念之间的差异，儿童已有经验算术法是倒推着寻找线索，获得一个小结论再进一步倒推直到获取真相。方程概念是顺着事件的发展顺序去梳理线索，找到线索之间的相互关联获得前因后果。在求方程的解的过程又是一个体现了逆运算的过程。在分析学生的已有认识中，进一步联系学生已有的知识经验与对数学概念的理解之间差异，在对比中不一样的体验：比如区分“式”“等式”，厘清“量”“等量”，先要帮助学生建立“等量”的概念，之后建立“等式”概念。如此调整认知、建构并理解概念的机会，以对学生前期经验的了解和认知线索的设计为基础，教师提取出基本问题推动教学，为学生提供调整认知、建构并理解概念的机会，数学概念需要设计层层递进的认知线索以促进理解。

2.在数学问题与学习活动的对应中顺应思维过程。

儿童对数学概念的深化理解，需要顺应儿童的认知过程、思维方式并产生积极的反应，在对现实情境中问题探索中深化概念理解。五年级上册教材中经过版本比较，苏教版教材编排中对于“用字母表示数”内容全面，但是對于特定的未知数的认识不够深入，因此增加此内容方能与方程概念认识奠定基础；对于“等式性质”“解方程”和“列方程解决问题”的内容编排相对比较单一化，调整增加等式两边均有未知数的内容，渗透消元、守恒思想。因此“等式必须基于等量关系”，不仅要认识方程“形”，还要领会方程之“神”，才能形成对方程的本质认识，进入学科认知体系，通过算术思维与代数思维对比，体会代数思维的优越性。总体上而言，在设计这些问题的时候要注意帮助学生经历检验原有观念、拓展经验、形成新的观念的过程，从而促进学生对概念的真正理解。

因此

（二）横向贯通策略

概念的知识点之间往往有纵向关系，概念还需要揭示知识之间的横向关系。

对数学概念横向贯通策略主要体现三个维度：

一是“概念核”的析取。在一个概念系统中，有一些概念处于核心位置，在“简易方程”中“等量关系”就是概念核心，重视等量题组情境的变化，以等量关系作为建立方程概念的主要线索，在已知数和未知数之间建立等量关系，突出代数“还原”和“对消”的本质，依据等式性质扩展“两边含有未知数”的解方程技能，为列方程解决问题扫清障碍。二是“概念体”的结构。概念系统的结构性分析，其中包括概念系统的成分及其组织方式③。在简易方程概念模式中，强化“用字母表示特定未知数”的意义理解，整体推进用字母表示一步运算和两级运算的数量关系，进一步融入常见数量关系的代数式训练。三是“概念域”的框架。利用概念域这种框架，对相互联系的概念的获得分别地进行研究，如用字母表示运算定律、平面图形面积和周长公式，这样处理不能很好地突出“用字母表示特定未知数”的教学重心；如一些学生列方程解决问题时不会设定未知数或设定未知数有困难，其根源就在于前期学习“用字母表示数”时缺乏对未知量识别必要训练，将学生引入一定的概念框架中的某个节点。

四、相似模块：以概念迁移为结果的单元学习评价

数学单元学习群的评价是长在教-学-评一致性的贯通链条上，单元学习群是否有成效，取决于评价的逆向设计，取决于是否让儿童在数学学习中更好的形成自己认知的、方法的、思想的相似模块，让学习的概念系统能迁移、能举一反三。数学素养评价框架可分为“内容维度”“过程维度”“情境维度”，抓住课堂评价的关键因素是：课堂活动为介质、目标达成检验为环节、在场性评价为方式，真正实现优化学习的评价和促进学生学习的评价。

（一）情境维度：运用好“课堂活动”的评价介质

在“简易方程”单元目标的指引下，先进行目标分类，再来编拟评价指标体系，将目标导向的达成评价融入到课堂学习的全过程，让整个教学不偏离“简易方程”的单元目标，让嵌入评价植入在儿童书序学习活动中。学习评价必须以目标作为参考，比较学生学习的实际效果、人格发展与目标之间一致性程度。通过思维导图、单元知识整理、核心素养的量规设计，确立方程的思想观念，并能在目标制定、探究活动、练习设计与反思整理中形成自己的学习方式以及学习作品成果展示等等。在单元学习群活动路径的新序列中，比如在用字母表示数维度，研究班学生在用字母表示数维度具有更强地进行字母参与运算的能力、具有更强的借助字母探索、表征规律的能力，能有效提高学生综合运用方程相关知识能力。

（二）內容维度：把握好“素养目标”的检验指向

结构、联系和迁移是大概念内涵的本质，单元学习群的评价尤其要强化对数学知识的本质理解，提炼出能打通数学知识之间的关联，发挥核心作用的数学概念。由此确立合适的学习主题，我们对单元学习群学习与选取水平相当的班级作为参照，参照班用原教学序列展开，研究班采用新的单元学习群的教学序列进行对照研究，简易方程评价的主题内容主要包括：用字母表示数中侧重考查学生设定未知数、代入未知数并求值、以及字母参与运算等能力水平；解方程这一版块中侧重考查学生对等式性质的理解以及运用等式性质采用消元、对应等方式灵活求解方程；用方程解决实际问题侧重考查学生设定未知数、寻找等量关系、解方程、以及解决实际问题的能力。通过围绕“方程”数学学习主题的素养评价量规，形成脉络清晰，条理分明，相互联系的数学知识体系，通过单元学习群，使学生形成简化的、本质的、内在逻辑性较强的数学基础知识结构。

（三）过程维度：采用好“逆向设计”的评价方式

基于单元学习群的学习评价，需要设计指向关键能力的有意义的表现性评价任务，围绕评价的目标要素贯穿在课堂评价的每一个环节，通过达成评价来观察、分析、诊断、完善、优化，寻找实证性证据，通过对过程中搜集的信息判断是否达成预设目标。以学习结果开启的逆向设计，首先确定学生在本单元需要达成的学习结果（即简易方程的意义、价值以及作用等等），其次确定了证明儿童达成学习目标可以评估的要素、量规和方式（聚焦本单元的内容为载体需要达成的关键能力与思维品质设计）；第三是设计相应的学习周期、情境活动和学习方法的设计；第四是通过学习记录、思维可视化等方式呈现人人参与的表现性评价和结果性评价，最终指向的数学概念的可迁移性，实现概念性理解。

数学单元学习群的建构，学习活动是探究式的，它要求学生能主动发现问题、主动探究、交流和讨论，从而获得对数学概念性理解。在这一过程中，学生的数学概念、探究能力、思维品质、数学情感等的发展是同步的。让儿童的数学学习从知识覆盖到观念统领，建立知识间的联系促进新情境下的迁移。

参考文献：

1.张丹、于国文，大观念的研究评介——以数学学科为例〔J〕，比较教育学报，2020年2期，137-149；

2.吴恢銮，沈美莲，从表面感悟走向本质理解——《方程的意义》教学设计与解读〔J〕，小学教学设计（数学），2017年1期，48-50；

3.鲍建生，周超，数学学习的心理基础与过程[M]，上海教育出版社，2009年10月。

责任编辑：陈国庆