江苏省南通市通州区文山初级中学 (226300) 葛蔚果

等腰直角三角形是一类重要的基础图形,在不少地区的中考几何综合题中都少不了它的身影．开展中考几何专题复习时,以等腰直角三角形为背景的补图问题是一类重要专题,值得安排专题复习课.近期笔者在学校备课组内开设一节“等腰直角三角形补图问题”专题复习课,取得较好的教学效果,本文整理该课教学设计,并跟进教学思考,提供研讨．

一、“等腰直角三角形补图问题”专题教学设计

活动1 等腰直角三角形补图问题与中点探究

问题1 如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC．D为AC延长线上一点,连接BD,将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE,过点EH⊥AC,垂足为H,连接AE．

图1

(1)补全图形后提出一个问题并解决;

(2)连接BE,M为BE的中点,连接CM,用等式表示线段CD,CM,BC之间的数量关系,并证明．

图2

图3

活动2 等腰直角三角形问题与一题多证

图4

(1)在图4中补全图形,并求证点D为AA′的中点;

(2)连接BD,请分析BD的长的取值范围．

教学预设：第(1)问先安排学生补全图形,如图5,作AE//A′C′交CD于点E．进一步证明的关键是攻克“AE=A′C′”．可设∠BCC′=β,由BC=BC′,可得∠BC′C=β,于是∠A′C′C=90°+β,由AE//A′C′,得∠AEC′=∠A′C′C=90°+β,根据邻补角性质可得∠AEC=90°-β,而∠ACE=90-β,所以∠ACE=∠AEC,可得AE=AC,于是代换出AE=A′C′,可证△ADE≌△A′DC′,得出D为AA′的中点．另外,如果着眼于△ABA′是等腰三角形,如果能攻克BD⊥AA′,也能得到D为AA′的中点．沿着这个思路,可先证出△CBD∽△ABA′,可得∠DAB=∠DCB,进一步得到∠ADC=∠ABC=45°．也可发现四点A,C,B,D共圆,从而得出∠ADB=90°,实现问题解决．

图5

活动3 等腰直角三角形与正方形的联系

问题3 如图6,已知AB=BC,∠ABC=90°,直线l是过点B的一条动直线(不与直线AB,BC重合),且45°<∠ABD<90°,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足为D,E．连接AE,过点D作DG⊥AE于G,过点A作AH∥BC交DG的延长线于点H．

图6

(1)补全图形,求证AH=BC;

(2)用等式表示线段DH,BE,DE的数量关系,并证明．

教学预设：第(1)问先由学生独立补出图7,并想清待证的“AH=BC”的等价结论可以是四边形ABCH是正方形,或者DH=AE,或者△ABE≌△HAD．在此基础上,第(2)问中待分析的三条线段DH,BE,DE的数量关系,可以代换、转化到直角三角形ADE中思考,结合勾股定理得出它们之间的平方关系．讲评之后,可以将问题逆向设问,安排学生变式再练．

变式问题如图7,正方形ABCH中,过点B在正方形内部的作射线l,AD⊥l,CE⊥l,垂足分别为D,E．连接DH,AE,求证AE=DH．

变式意图学生证明的关键仍然是△ABE≌△HAD．全等判定的依据是“SAS”．

活动4 课堂小结

小结问题1 在求解与等腰直角三角形问题有关的补图问题时,正确补全图形是后续解题成功的关键,你在补图过程中积累了哪些经验?

小结问题2 本课中有不少设问需要用等式表示两条或三条线段之间的数量关系,这类问题常常要将其中一条或两条线段进行等量转换,给你留下较深印象的是哪个问题?举例说说．

小结问题3 等腰直角三角形与正方形联系密切,本课中的“问题3”就是一例．你能将“问题3”再以正方形为背景,改编出一道新的问题吗?

设计意图：通过以上3个小结问引导学生对本课所学进行回顾反思,既要学会梳理解题经验,又要学会辨别关键步骤或积累深刻印象的问题,同时对典型问题或基本图形要能继续设计出新的问题,这样就追求了理解的深度．

二、关于几何专题教学的进一步思考

1.聚焦主线选编问题,留白追问渐次呈现

几何专题教学的关键在于课前的精心备课,特别是聚焦主线的选编同类问题,对这些问题进行必要的改编、删减、变式、拓展,以适合不同教学环节的教学运用．此外,为了充分发挥学生主体地位,可以在课堂教学中运用留白艺术,这就需要教师在“备课时就应根据课型、教学内容、学生情况等因素对课堂留白进行预设．”[1]具体来说,当某个问题的题干呈现之后,教师不要急于提出系列问题,先将问题留白,引导学生参与设计问题、小组交流、大组展示,如果备课时准备好的类似问题已被学生提到,则在后续出示时就不必详细讨论,这样的开放式教学,留白追问可以促进更多学生的思维充分卷入课堂,激发学生学习兴趣和数学信心．

2.变换角度一题多解,变式设问多题归一

几何专题教学时选题不宜太多,一般来说,全课安排3～4个主问题即可,在每个主问题之下可以跟进系列小问,系列小问3～4个为宜．在总题量控制之后,教学重点可花在引导学生开展一题多解,从不同角度进行思路突破,这样可以对不同数学分支进行复习、巩固．当然,一题多解也要防范另一个极端,就是偏向“一题滥解”,比如对有些问题开展所谓“一题十解”“一题二十解”之类的展示,在专题教学课中就不太合适,毕竟教学时间宝贵,笔者以为一题给3～4种典型解法即可．另外,除了一题多解之外,教学点评或反思回顾环节,可以安排变式追问,促进学生从“一题多解”走向“多解归一”,让学生学会识别“等价问题”[2],以达到“做一题,会一类,通一片”解题目标．

3.精心预设小结问题,引导学生回顾反思

专题教学课要留出时间进行课堂小结,教师在课前就要精心预设小结问题,小结问题可聚焦本课主题,从所学习题的题型、解法、关键步骤、易错点等带领学生进行小结．当然,除了课前精心预设的小结问题之外,教师还可根据课堂生成进行小结,比如在课堂中有学生提出了一个精彩解法、独特思路,超出了教师课前预设,这时教师可以在小结时特别提出来,让其他学生复述或学习;再如,课堂解题进程或板演中,出现一些典型错漏,在小结时也可以进行再回顾,引导学生注意汲取教训．