徐晨晨, 叶国菊, 刘 尉, 赵大方, 查新辰

(1.河海大学 理学院,江苏 南京 210098; 2.湖北师范大学 数学与统计学院,湖北 黄石 435002;3.浙江广厦建设职业技术大学 建筑工程学院,浙江 东阳 322100)

0 引 言

Hermite-Hadamard不等式最早由Hermite和Hadamard 所发现,是凸函数理论中最完善的不等式之一,具有几何解释和许多应用.近年来,凸函数的Hermite-Hadamard 不等式再次受到关注,并且得到了各种各样的改进和推广.

另一方面,由于分数阶积分在生物医学、电子信息工程等领域发挥着至关重要的作用,Sarikaya等[1]将Riemann-Liouville分数阶积分与Hermite-Hadamard不等式结合,建立了分数阶积分的Hermite-Hadamard 型不等式.Büdak等[2]定义了区间值Riemann-Liouville 分数阶积分,给出了 区间值函数的Hermite-Hadamard不等式的分数阶形式.进一步,文献[3]给出了区间值函数整合分数阶积分的概念,得到了区间值h-凸函数的整合分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式.

受上述文献的启发,本文中,笔者利用文献[4]中h-凸函数与调和h-凸函数的关系,得到了区间调和h-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,同时推广了文献[5]的结果.

1 预备知识

对λ∈R,RI任意空间中的区间运算规定如下:

同时,

之间的包含关系“⊆”为

定义2[7]设y是u的函数y=f(u),u是x的函数u=φ(x),如果φ(x)的值全部或部分在f(x)的定义域内,则y通过u成为x的函数,记作y=(f∘φ)(x)=f(φ(x)),称为由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的复合函数.

文献[8]给出了区间值函数Riemann可积的定义.用I[a,b]表示所有Riemann可积的区间值函数构成的集合,用R[a,b]表示所有Riemann可积实函数构成的集合.

f(tx+(1-t)y)⊇h(t)f(x)+h(1-t)f(y),

则称f(x)是[a,b]上的调和h-凸函数.用SHX(h,[a,b],R+I)表示[a,b]上所有调和h-凸函数的全体.若上式的包含符号反向,则称f(x)是[a,b]上的调和h-凹函数.类似地……