刘璐璐 韩柳 吕家鑫 王浩东 张雪丽

摘 要：图作为一种离散结构，可以通过一些有意义的连接来表示离散对象的相互关系，因此，在实际应用中可以将理论模型离散化，是数学、生物学、社会学等领域运用数值模拟解决实际问题的重要工具。图上的偏微分方程可应用于图像分割、动力系统等领域，是人们所关注的热点话题。而图上偏微分方程解的存在性、唯一性和渐近行为等一些性质已经受到众多学者的关注，并得到了大量的研究成果。本文在相关学者研究的基础上用能量方法证明了图上非线性波动方程解的爆破现象，并得出解的爆破时间的上界估计。

关键词：图上；非线性；波动方程；爆破

中图分类号：O175  文献标识码：A

Abstract：As a discrete structure，the graph can represent the interrelationship of discrete objects through some meaningful connections，so the theoretical model can be discretized in practical applications，and it is an important tool for using numerical simulation to solve practical problems in mathematics，biology，sociology and other fields.The partial differential equations on the graph can be applied to image segmentation，dynamical systems and other fields，and are a hot topic of concern.Some properties such as the existence，uniqueness and asymptotic behavior of partial differential equation solutions on graphs have attracted the attention of many scholars and obtained a large number of research results.In this paper，based on the research of relevant scholars，the explosion phenomenon of the solution of the nonlinear wave equation on the graph is proved by energy method，and the upper bound estimate of the burst time of the solution is obtained.

Keywords：On the graph；Nonlinear；Wave equation；Blowup

1 概述

偏微分方程最早在18世纪研究微积分对弦振动的相关力学问题当中提出，经过多年的研究，偏微分方程在理论和研究方面都取得了丰硕的成果。在最初的发展过程中，偏微分方程在经典意义下的解需具备该方程的各阶连续偏导数，这在物理应用中有许多局限，所以Schwartz建立了广义函数论上的偏微分方程理论，在此基础上推动偏微分方程的快速发展。在20世纪60年代，偏微分方程理论在其他数学分支中得到了推广和使用，并形成了以偏微分方程理论为基础的泛函分析等近代理论。图是作为了解离散型对象的重要工具，它在数学、生物学、计算机科学等领域具有重要的作用；著名的哥尼斯堡七桥问题、四色定理问题当中都包含了图论的相关内容。在现实生活中，各个学科领域都以图为桥梁，将理论问题离散化，进而进行数值模拟解决实际问题，因此，图上的偏微分方程问题的研究也称为一个热点话题。

图上的偏微分方程可应用于图像分割、动力系统等领域，是人们所关注的热点话题，圖上的偏微分方程解的存在性、唯一性等一些性质也逐渐引起众多学者的重视。2005年，Chung S Y、Berenstein C A［1］在图上函数的基础上引入了积分、方向导数、梯度等基本概念，并定义离散型拉普拉斯算子，从而讨论了ω－Laplacian方程解的性质及其反问题。2007年，Chung S Y、Chung Y S［2］又研究了图上的热传导方程和波动方程，并利用ω－扩散核得出方程初边值问题解的性质。2008年，Elmoataz A、Lezoray O和Bougleux S［3］从图上的能量泛函的极小化出发，引入了图上的ω－Laplacian算子并将其应用于图像去噪问题。Wojciechowski R K［4］研究了无限局部有限连通图上热核的随机完备性。Chung Y S、Lee Y S、Chung S Y［5］证明了图上半线性热方程解在初值为非负且边界值消失的情况下方程非平凡解的大时间行为，并给出方程的物理解释。王坤、辛巧［6］研究了图上的p-Laplacian算子Cauchy问题解的性质，给出了一个图上的p－Laplacian方程的解析解论证了理论上的结果；并对另一个图上的p－Laplacian方程进行数值模拟验证理论结果。王坤、辛巧在文献［7］中讨论了图上带有可变指数吸收项的热方程解的性质，并得到了变指数q（x）<1时，方程解在有限时间熄灭，变指数q（x0）1时方程解有严格正性，其中x0是图上的内部顶点。辛巧、许璐、王安平［8］研究了无限图上带有吸收项的热方程解的性质，利用能量方法和比较原理证明了带吸收项的热方程在q<1解熄灭，q1时保持严格正性；同时还讨论了非平凡解的大时间行为。Xin Q、Xu L、Mu C在文献［9］中又讨论了具有Dirichlet边界条件和反应项的图上ω热方程的爆破现象。国内外其他学者也对图上偏微分方程解的渐近行为有多方面的研究，具体可参考文献［1013］。

综上所述，图上的偏微分方程受到国内外许多学者的关注，并得出理论成果，而偏微分方程中非线性波动方程解的爆破行为以及爆破时间也是人们所感兴趣的话题，Glassey R T在文献［14］中讨论了非线性函数f（u）在足够光滑的条件下波动方程解的爆破现象，并建立一个特征函数得出爆破时间的上界估计。

本文在文献［14］的基础上讨论图上的非线性波动方程解的爆破行为，

utt（x，t）－Δωu（x，t）=f（u）（x，t）∈S×［0，T）

u（x，t）=0（x，t）∈S×［0，T）

u（x，0）=u0（x），ut（x，0）=u1（x）x∈S（1）

并得出解的爆破时间的上界估计。

本文将引用文献［1］中图上微积分的符号，设G是有限、简单的连通图，V表示图G的顶点集，它是由顶点集的内部S与顶点集的边界S组成，即V=S∪S，E表示图G的边集。将图上的积分定义为∫Vu（x）=∑x∈Vu（x），其中u（x）∈C（V），C（V）表示定义图G的顶点集V上的全体函数；用Δω表示ω－Laplacian算子，Δωu（x，t）=∑y∈Vω（x，y）（u（y，t）－u（x，t）），其中ω表示图G边上的权重函数，即V×V→0，SymboleB@

，并满足下面三个条件：

（1）对任意的x∈V，ω（x，x）=0；

（2）对任意的x，y∈V，若（x，y）∈E，则ω（x，y）=ω（y，x）>0；

（3）若（x，y）E，则ω（x，y）=0。

注：文献［14］作者研究了连续型波动方程解的爆破性质，本文将文獻［14］的结果推广到图上的波动方程，并得出方程解的爆破性质以及爆破时间的上界估计。

2 波动方程解的爆破

为了方便讨论解的爆破现象，我们先引出下面三个引理。

引理1［15］设ψ（x）是一个特征函数，且ψ（x）=Δωψ（x）+μψ（x）=0，x∈S

ψ（x）=0，x∈S，函数具有N个非负的实特征根γi，其中每个特征根对应的特征函数表示为ψi（x）0，x∈S。

引理2［14］令u∈C2，λ，α，β为非负常数，则

（1）对任意的x∈S，u（x，0）α，ut（x，0）β，其中α=∫Sψ（x）u（x，0）dx，β=∫Sψ（x）ut（x，0）dx；

（2）设f（s）的下界是一个局部的Lipschitz函数，凸函数g（s）满足g（s）－λs0，且sα；当s→+SymboleB@

时，g（s）快速增长使得T0=∫SymboleB@

α［λα2+β2－λs2+2∫sαg（ξ）dξ］－12ds收敛。

引理3 设φ（t）∈C2，满足φ″（t）h（φ（t）），（t0），且φ（0）=α>0，φ′（0）=β>0，对任意的sα有h（s）0，当t∈0，T），则

（1）φ（t）存在，并且φ′（t）>0；

（2）tSymbolcB@

∫φ（t）αβ2+2∫sαh（ξ）dξ－12ds。

T为φ（t）的存在时间。

证明：假设（1）不成立，令t=t1为且φ′（t1）=0，通过微分不等式可得：

φ′（t）φ′（0）+∫t0h（φ（s））ds

使得0=φ′（t1）β+∫t10h（φ（s））ds。

从定义中的t1可得φ（s）α，其中0SymbolcB@

sSymbolcB@

t1。 这与引理3条件矛盾，故（1）得证。

为了能够证明（2），利用（1）的结果并将不等式两边同乘以φ′（t）可得：

φ′（t）φ″（t）φ′（t）h（φ），

将上式变形可得ddt12φ′（t））2－∫φ（t）αh（ξ）dξ0。

因此，（φ′（t））2β2+2∫φ（t）αh（ξ）dξ。

又因为φ′（t）>0，通过变量分离和积分可得（2）。

定理1 设u∈C2，当（1）的初值条件足够大时，方程在有限时间内爆破，即sup0

=+SymboleB@

。

证明：将ψ（x）标准化，使得∫ψ（x）dx=1，令φ（t）=∫Sψ（x）u（x，t）dx，由格林公式可得：

φ″（t）=∫Sψutt（x，t）dx=∫SψΔωudx+∫Sψf（u）dx。（2）

首先，先计算上述右式第二项∫Sψf（u）dx，由Jensen不等式可得：

∫Sψf（u）dx∫Sψg（u）dxg（∫Sψudx）=g（φ）（3）

再对（2）右边第一项进行计算，可得：

∑x∈SΔωu（x，t）ψ（x）=∑x∈S∑y∈Vω（x，y）（u（y，t）－

u（x，t））ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）

+∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）

－∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=12∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（x，t）－u（y，t））ψ（y）+

12∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）－

∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=－12∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））（ψ（y）－

ψ（x））－∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））－

∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））+

∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））

=∑x∈S∑y∈Vω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））

=∑x∈SΔωψ（x）u（x，t）

=－∑x∈Sμψ（x）u（x，t）

=－μφ（t）（4）

聯立（2）、（3）、（4）式可得

φ″－μφ+g（φ）

接下来，令h（φ）=－μφ+g（φ），利用引理3的（2）中可得

tSymbolcB@

∫φ（t）α［β2+2∫sαh（ξ）dξ］－12ds=∫φ（t）α［μα2－μs2+β2+2∫sαg（ξ）dξ］－12ds

φ（0）=α，α>0 φ′（0）=β，β>0从而φ（t）是有限时间t0SymbolcB@

T0的奇点，且

T0=∫SymboleB@

α［μα2+β2－μs2+2∫sαg（ξ）dξ］－12ds，

方程在有限时间内TSymbolcB@

T0爆破。

最后，由φ（t）>0可知

φ（t）=φ（t）

=∫Sψ（x）u（x，t）dxSymbolcB@

supx∈Vu（x，t）∫Sψ（x）dx

=supx∈Vu（x，t）

所以，方程在有限时间内发生爆破现象。

本文主要讨论了图上波动方程解的爆破行为，并给得出解的爆破时间的上界估计。通过本文的问题还可进一步讨论波动方程解的爆破时间的下界估计，以及解的具体表达式研究。

参考文献：

［1］Chung S Y，Berenstein C A.ω－harmonic functions and inverse conductivity problems on networks［J］.SIAM J Appl Math，2005，65（4）：12001226.

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［5］Chung Y S，Lee Y S，Chung S Y.Extinction and positivity of the solutions of the heat equations with absorption on networks［J］.Journal of Mathematical Analysis & Applications，2011，380（2）：642652.

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［7］辛巧，王坤.图上带有变指数吸收项的热方程解的熄灭和正性［J］.数学的实践与认识，2017，47（18）：201205.

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［9］Xin Q，Xu L，Mu C.Blowup for theheat equation with Dirichlet boundary conditions and a reaction term on graphs［J］.Applicable Analysis，2014，93（8）：16911701.

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［11］Elmoataz A，Lezoray O，Bougleux S.Nonlocal discrete regularization on weighted graphs：a framework for image and manifoldprocessing［J］.IEEE Tans Image Process，2008，17（7）：10471060．

［12］Chung S Y.Critical blowup and global existence for discrete nonlinear pLaplacian parabolic equations［J］.Disc Dyna NatSoc，2014：110.

［13］Zhou W C，Chen M M，Liu W J.Critical exponent and blowup rate for the ωdiffusion equations on graphs with dirichletboundary conditions［J］.Elec J Diff Equa，2014：113.

［14］Glassey R T.Blowup theorems for nonlinear wave equations［J］.Mathematische Zeitschrift，1973，132（3）：183203.

［15］Chung F R K.Spectral graph theory［M］.Providence：American Mathematical Society，1997.

基金項目：新疆理工学院校级科研项目“一类具有间接信号吸收的生物趋化模型解的性质研究”（ZQ202203）

作者简介：刘璐璐（1996— ），女，硕士研究生，助教，从事偏微分方程的研究；韩柳（1994— ），女，硕士研究生，讲师，从事统计学的研究；王浩东（1994— ），男，硕士研究生，助教，从事统计学的研究；张雪丽（1993— ），女，硕士研究生，教员，从事基础数学的研究。

*通讯作者：吕家鑫（1995— ），女，硕士研究生，助教，从事应用数学的研究。