■河南省临颍县第一高级中学 杨伟强

一、选择题(本题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。)

1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )。

2.《长津湖》和《我和我的父辈》都是某年国庆档的热门电影。某电影院的一个放映厅在国庆节的白天可以放映6 场,晚上可以放映4场电影。这两部影片只能各放映一次,且两部电影不能连续放映(白天最后一场和晚上第一场视为不连续),也不能都在白天放映,则放映这两部电影不同的安排方式共有( )。

A.30种 B.54种

C.60种 D.64种

3.∀x1,x2∈[1,e](x1≠x2),均 有成立,则实数a的取值范围为( )。

A.(-∞,1] B.[1,+∞)

C.[0,1] D.[0,+∞)

4.设X是一个离散型随机变量,其分布列如表1所示。

表1

则常数a的值为( )。

5.若(2x-3)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则a0+a2+a4=( )。

A.244 B.1

C.-120 D.-121

6.已知王大爷养了5 只鸡和3 只兔子,晚上关在同一个笼子里,清晨打开笼门,这些鸡和兔子随机逐一向外走,则恰有2 只兔子相邻走出笼子的概率为( )。

7.已知m,n为 实 数,f(x)=ex-mx+n-1,若f(x)≥0 对x∈R 恒成立,则的最小值是( )。

A.-1 B.0 C.1 D.2

8.定义在R 上的奇函数f(x)的图像连续不断,其导函数为f′(x),对任意正数x恒有xf′(x)<2f(-x)。若g(x)=x2f(x),则不等式g(log2(x2-2))+g(-1)>0的解集为( )。

9.第三方检测机构又称公正检验,指两个相互联系的主体之外的某个客体,我们把它称为第三方。某地为创建文明城市,委托第三方检测机构对该地进行检测,现从8 名检测人员中选派6人到该地甲、乙、丙三个单位检查,要求每个单位至少派1人,丙单位派2人,则不同的选派方法总数为( )。

A.4 200 B.5 880

C.1 680 D.3 360

A.[-4e2,0]

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共计20分。)

13.若关于x的方程x2-alnx-x=0在区间(1,+∞)上有且仅有一个实数根,则实数a的取值范围为____。

14.(2-x)(1-3x)4的展开式中,x2的系数等于_____。(用数字作答)

15.某份资料显示,人群中患肺癌的概率约为0.1%,在人群中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%,则不吸烟者中患肺癌的概率是____。

16.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足:f′(x)-f(x)=e2x,且f(0)=2。当x∈(0,+∞)时,x(f(x)-a)≥1+lnx+xex恒成立,则实数a的取值范围是_____。

三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,其他题每题12分,共计70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。)

17.(本题10 分)已知函数f(x)=。

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;

(2)求函数y=f(x)的极值。

18.(本题12分)有2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结束。

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示总检测费用(单位:元),求X的分布列。

19.(本题12分)一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三台机器共同生产,各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%,40%,25%,各台机器生产的螺钉次品率分别为3%,2%和1%。

(1)求从这批螺钉中任取一件是次品的概率;

(2)现从这批螺钉中抽到一件次品,求该次品由Ⅱ号机器生产的概率。

20.(本题12分)某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”,为了解学生的学习成果,该校对全校学生进行了测试(满分100分),对随机抽取50名学生的成绩进行统计,将其分成以下6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],整理得到如图1 所示的频率分布直方图。

图1

(1)求图中a的值;

(2)试估计全校学生成绩的第80百分位数;

(3)若将频率视为概率,从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人,用X表示成绩在[90,100]中的人数,求随机变量X的分布列。

21.(本题12分)2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就,决战脱贫攻坚取得决定性胜利。某脱贫县为实现脱贫奔小康的目标,该县有关部门积极探索区域特色经济,引导商家利用多媒体的优势,对本地特产进行广告宣传,取得了社会效益和经济效益的双丰收。

(1)该县有关部门为精准了解本地特产广告宣传的导向作用,在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研,对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是:客户群体中青年人约占15%,其中男性为20%;中年人约占50%,其中男性为35%;老年人约占35%,其中男性为55%。以样本估计总体,视频率为概率。

(i)在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户,求抽取的客户是男性的概率;

(ii)在所有购买该县特产客户中随机抽取一名客户是男客户,求他是中年人的概率。(精确到0.000 1)

(2)该县有关部门会统计了2021年6~12月这7个月的月广告投入x(单位:万元),月销量y(单位:万件)的数据如表2所示。

表2

22.(本题12分)已知函数f(x)=xex,e为自然对数的底数。

(1)若x=-1 是函数F(x)=f(x)-a(x3-3x)(a>0)的唯一极值点,求正实数a的取值范围;

(2)令函数G(x)=f(x)-m(x+lnx)(m>0),若存在实数x1,x2,使得G(x1)=G(x2),证明:。