曹紫薇，林南南，刘志钢

摘  要：基于城市轨道交通客流时间分布不均匀，考虑客流出行随机性，通过建立双层规划模型，探究不同风险类型乘客的出行时段选择对轨道交通运营的优化方案。上层模型考虑企业运营成本与乘客出行成本，以发车时间间隔建立列车多时段行车间隔优化模型，下层模型则考虑乘客随机出行需求产生的影响，结合乘客出行成本建立随机乘客均衡模型来获得不同出行风险类型乘客下的确定性出行时段客流及乘客期望出行成本。通过算例分析验证模型有效性，分析不同的风险类型乘客的出行时段对列车发车间隔设置的影响。结果表明，乘客对风险厌恶程度越高，选择客流高峰出行的乘客会减少，转而在非高峰时段出行。所建立的模型可以帮助企业选择合理的运营方案使得企业运营成本不高的同时提高乘客服务质量，保证运营安全。

关键词：轨道交通；运营成本；双层规划模型；乘客出行需求

中图分类号：F570    文献标志码：A    DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.11.020

Abstract： Considering the randomness of urban rail transit passenger flow， a bi-level programming model is established to explore the optimal scheme for rail transit operation under different risk types of passenger travel time choice. The upper model considers the operation cost of the enterprise and the travel cost of the passengers， and establishes a multi-period interval optimization model based on the departure time interval， while the lower model considers the impact of the random travel demand of the passengers， a stochastic passenger equilibrium model is established to obtain the deterministic travel time flow and expected travel cost of passengers with different travel risk types. The validity of the model is verified by an example， and the influence of the travel time of passengers with different risk types on the train departure interval settings is analyzed. The results show that the more risk-averse passengers are， the fewer passengers will choose to travel in rush hour， and they will travel in non-rush hour. The established model can help enterprises to choose a reasonable operation plan to make low operating costs while improving the quality of passenger service， to ensure the safety of operation.

Key words： rail transit; operation cost; bi-level programming model; passenger travel needs

0  引  言

轨道交通高效快速，安全环保且运力强大，逐渐成为出行人员的首选交通方式，各城市在逐步加快轨道交通的建设。在城市轨道交通也就是地铁运营过程中，如何设计列车开行方案至关重要，需协调各部门的工作，也关系到乘客满意度与企业的经济效益。由于客流的不确定性，轨道交通不同运营时段的客流量有较大差异，Sun等[1]将时变客流需求作为一个变量，构建了轨道交通列车开行方案的优化模型，并进行了对比分析；Erfan等[2]考虑了关于列车运行中的不确定性，优化了轨道交通始发站列车的发车时间优化模型。但是都假设乘客的到达分布已知且相对稳定，而这在现实生活中是不成立的。关于乘客的出行，朱宇婷等[3]研究发现，乘客的出行选择会因公共交通的开行方案发生变化，如在客流高峰乘客会根据开行方案及客流量，考虑列车容量而调整自己的出行时段。对于成本问题，邓连波等[4]构建弹性需求函数来考虑乘客广义出行成本；汤莲花等[5]则是基于成本建立了双层规划模型来优化轨道交通开行方案；丁小兵等[6]从多交通方式的角度构建成本模型，分析乘客选择的出行路径。本文考虑乘客对出行风险的不同，考虑不同风险等级的乘客进行出行时段选择情况下，结合运营企业和乘客双方利益需求，建立关于列车发车间隔的优化模型，从而对轨道交通运营方案进行优化。

1  问题描述与分析

1.1  问题描述

轨道交通运行中易出现客流时空分布不均，如早晚可能会出现单向高峰客流，也会出现客流稀疏的情况，列车运行中车內人员数量稀少，供需不匹配会导致企业运营成本高于运营收入，但若是将列车发车间隔增加过多，可能会使乘客未能乘坐上班列车，但等待下班列车到达时间较长，增加乘客的出行成本。对于轨道交通线路平峰时段，列车运行间隔过短会造成运营成本上升，过长会使得乘客等待时间加长，影响服务质量，对此建立仿真模型。

1.2  乘客一般出行成本分析

根据陈治亚等[7]的研究，乘客实际出行时段会由于随机因素与其期望出行时段存在一定差异，令n=1，2，…，N为车站集合，GH为线路OD对gh的集合，T为时段集合。将OD对路段gh且乘客期望在出行时段■的确定性需求表示为q■■，选择实际出行时段■表示为q■■，实际在时段■出行的乘客表示为q■■，其中：q■■=Σ■q■■；q■■=Σ■q■■，乘客出行成本考虑如下。

1.2.1  候车时间成本

乘客出行时，希望出行时间最小，在考虑乘客出行成本时，需考虑乘客候车时间成本。假设乘客到达服从均匀分布，站台上的乘客可以全部上车，如图1所示，可以看出乘客出行平均候车时间可表示为列车发车间隔的一半，即：

c■=■t■                               （1）

式中：t■为时段■的列车在站点n的间隔时间，对于全自动运行列车而言其就是列车发车时间间隔。

1.2.2  乘车拥挤成本

乘客出行除了候车时间，不同时段的车内人员拥挤也会一定程度影响乘客的出行选择。相关研究[8-9]认为乘客在车厢内感知拥挤度随在车内时间增长而增加，参考陈治亚等[7]的研究中使用的BPR 函数来构建车厢拥挤度函数，在列车运营时段■的线路段n，n+1上的拥挤成本为：

c■=r■1+λt■■■■                                         （2）

式中：r■为列车n-1与n站点间的运行时间，λ和 k为车内拥挤参数，C为列车额定载客量。x■■和x■■分别为列车运营时段■内站点间的确定与随机性客量。

x■■=∑■q■■                                             （3）

x■■=∑■q■■                                             （4）

式中：GHn是站点n，n+1之间的OD对集合。

1.2.3  时段偏移成本

企业对线路运营进行优化的同时可能会影响到乘客出行，可能使乘客提前或者延后出行，从而产生时段偏移成本，用η表示乘客的单位时段偏移成本。该成本可表示为：

c■=η■-■                                               （5）

1.2.4  乘车票价费用

乘客乘坐轨道交通需购买乘车车票，用f■表示时段■内乘客的单位公里乘车票价成本：

c■=f■·l■                                                （6）

式中：l■为乘客出行距离。

综上，乘客出行时，OD对gh期望出行时段为■实际为■的确定性乘客需求的一般出行成本为：

C■=c■+∑■■c■+c■+c■                                          （7）

2  模型建立

2.1  下层模型建立

乘客的随机出行需求使得确定性乘客的出行成本不确定，当乘客对于出行时段要求不严格时，会出现其根据轨道交通运营做出更改出行时段的选择，假设■时段OD对gh随机需求q■■服从正态分布Nμ■， σ■■且相互独立，根据中心极限定理，由公式（4）、公式（2）可知x■■服從 Nμ■， σ■■，c■服从 NE■， σ■■■，其中：μ■=∑■μ■；σ■■=∑■σ■■; E■=r■+■·∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1！！；σ■■■=■■·∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1！！-∑∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1！！■。

假设乘客一般出行成本中的各成本相互独立，则C■服从 NE■， σ■■，其中E■=c■+∑■■E■+c■+c■；σ■■=∑■■σ■■■。

由于乘客选择出行时期望出行成本最小，但随机性会使成本发生变动，考虑出行成本预算[10]。

ξ■=E■+ε■                                              （8）

由于乘客随机需求，根据文献[10]将持有不同风险态度等级乘客的出行概率表示为ρ=PC■≤ξ■=P■≤■，则其分布函数为φξ■-E■σ■=ρ，故出行成本为：

ξ■=E■+σ■φ■ρ                                           （9）

根据文献可知，客流量可采用logit模型分配，从而得到OD 对gh出行时段期望为■实际为■的确定客流为：

q■■=q■■·■                                        （10）

q■■≥0    ■，■∈T， gh∈GH                                       （11）

2.2  上层模型建立

运营单位希望保证乘客服务质量的同时延长发车时间间隔来降低企业运营成本，上层模型考虑企业运营成本与乘客出行成本最小化。

由于轨道交通企业的运营成本主要考虑为列车的运行成本，采用列车的单位车公里的运行成本c■与列车行驶公里l的乘积进行表示，即∑■■·l·c■，故企业运营成本为：

Z■=∑■■·l·c■                                             （12）

乘客期望出行总成本为：

Z■=∑■∑■∑■q■■·E■                                       （13）

由于在城市轨道交通运营中，同一方向正线的同一运行区间会有两列或多列列車同时运行[11]，因此要考虑列车发车时间间隔，时间间隔太小可能会出现安全隐患且有一定的技术运营限制，时间间隔太大会增加所有乘客的等待时间。故列车发车时间间隔应设置合理阈值范围。

t■≤t■≤t■                                              （14）

3  模型求解算法

对于建立的双层规划模型，采用结合MSA算法的NSGA-Ⅱ算法进行求解。下层模型求解得到客流分配，得出乘客需求q■■与乘客期望出行成本E■，作为参数输入上层模型中，求解可得到发车时间间隔最优解集。

第一步：初始化。设置遗传算法的参数和模型的参数，分别为下层模型和上层模型生成初始可行解。

第二步：下层模型求解。设置下层模型迭代次数，使OD对gh初始客流为0，计算下层模型初始出行成本、初始客流分配、初始确定性客流，并更新乘客期望出行成本与出行成本预算，更新确定性客流。判断算法是否收敛或迭代次数是否达到阈值，是进行下一步，否则返回进行第二步迭代。

第三步：上层模型求解，设置上层模型迭代次数，输入下层模型最优解，随机产生初始种群，编码得到初始种群，计算上层模型的企业运营成本与乘客出行成本，进行交叉变异，合成新种群，并对种群内所有个体非支配排序得到非支配层，再放入新的父代种群，使用拥挤度算法计算并排序个体拥挤度，得到新的父代种群，更新企业运营成本与乘客出行成本。

第四步：终止判断。判断迭代次数是否达到最大，是则终止并输出最终解；否则，转到第三步，进行下一次迭代。

4  算例分析

采用上海轨道交通某线路进行算例分析，该线路共有26个站点，考虑列车运营7：00—13：00，将其划分为三个时段，高峰（1）、平峰（2）、低谷期（3），每个时段2个小时。该线路列车发车时间间隔为t■=12min， t■=3min，线路全长36.8km，各时段初始发车间隔为3min、7min、10min，列车行驶的成本参数c■=80（元/列·km），乘客出行单位时段偏移费用η=1.55，BPR参数λ=0.15， k=4，使用MATLAB进行求解。

首先探究不同风险等级乘客出行，分别取ρ为0.5，0.7，0.9，ρ越大，说明乘客厌恶风险。根据企业确定的初始列车发车间隔与各时段的客流数据可以得到不同ρ值下的确定客流分配，图2中折线表示OD对1，8的各时段期望出行客流，柱状图表示各时段实际出行客流，可以发现实际出行选择时段1的客流量小于期望出行时段1的客流，图2中实际出行时段2与3的不同色块表示其他时段期望出行客流转至该时段出行客流，看出期望出行時段为1的乘客会转向于时段2、3出行。

从不同ρ值下的帕累托最优解集中选取两端与中间三种方案与初始方案进行对比分析，如表1所示，得出下边信息，可以看出方案一与方案三相对于初始方案会出现两个目标向相反方向变动较大，综合考虑目标一、目标二应该可以将方案二作为参考方案。

对于方案二优化后的列车行车间隔如表2所示，可以看出对于不同出行风险类型的乘客所设置的列车发车间隔有所不同，但是高峰时段可以缩短发车间隔，在平峰及低谷时段可以适当延长发车间隔来缓解乘客出行需求与企业运营成本之间的矛盾，对于时段1的发车间隔的设置可以看出对于风险规避乘客来说会尽量避免高峰时刻出行，此时的发车时间间隔是相对较长的，因此可以考虑不同客流出行需求分布，设置合理的发车时间间隔以缓解高峰客流列车与站点服务压力并避免非高峰时段企业列车运营不合理现象。

5  结  论

通过考虑乘客在不确定性条件下的出行选择，给予乘客出行成本预算，引入不同风险类型乘客出行需求，建立上层模型考虑企业成本与乘客出行成本，下层模型考虑随机客流分配的双层规划模型。通过下层模型得到配流结果调整上层模型中的轨道交通线路不同运营时段的列车发车时间间隔。从算例结果中可以知道不同风险类型的出行乘客中，对出行风险越敏感，越多的期望高峰时段出行的乘客选择其他时段出行，会降低高峰断面客流，增加其他时段断面客流量，企业可以根据实际情况选择合理的列车行车间隔来有效控制运营成本提高服务质量。

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