朱 文

（江苏省常州市星辰实验学校）

小朋友，把一些数按一定的规则排成各种各样的图形，这种图形就是数阵图。填数阵图时，要仔细观察数阵图的结构，先填写关键位置（不同线的交点、封闭图形的顶点等）上的数，再通过尝试、调整，填出其他位置上的数。

例题1图1正中心圆圈内的数很特殊，每条线上都有它，我们把它叫作重叠数。你能将1～7按要求填在图1的圆圈内吗？

图1

（1）使每条线上3个数的和都是14；

（2）使每条线上3个数的和都相等。

（1）从图1中可以看出，在计算每条线上3 个数的和时，都要用到重叠数，确定重叠数是解题的突破口。

先算出所给7 个数的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，再思考重叠数是几。因为每条线上3 个数的和都是14，所以3 条线上各数之和是14×3＝42，此时，重叠数被多加了2次，可求出重叠数是（42－28）÷2＝7。

剩下的1，2，3，4，5，6，两两之和等于14－7＝7 的有1 和6、2 和5、3 和4。图2是其中一种填法，通过调换数的位置（重叠数的位置不变），能得到多种填法。

图2

（2）确定重叠数是解题的突破口。根据题意，在计算图1中3条线上的各数之和时，重叠数被多加了2次。若重叠数是a，要使每条线上各数的和相等，那么1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋a＋a（即28＋2a）一定是3的倍数。因为a是1～7中的某一个数，逐个尝试可知，只有1，4，7符合要求。

当a＝1时，每条线上的3个数之和是（28＋1×2）÷3＝10；

当a＝4时，每条线上的3个数之和是（28＋4×2）÷3＝12；

当a＝7时，每条线上的3个数之和是（28＋7×2）÷3＝14。

计算出了重叠数及相应的各条线上的数之和，再填数阵图就非常容易了，如图3、图4、图5所示，是3 种基本填法，通过调换基本填法中数的位置（重叠数的位置不变），能得到多种填法。

图3

图4

图5

像图1这样，从一个中心出发，向外作了一些线，这类的数阵图是辐射型数阵图。解题时常用的关系式：已知各数之和＋重叠数×（线的条数－1）＝一条线上各数之和×线的条数。

例题2图6中三角形3 个顶点处圆圈内的数很特殊，每个顶点处的数都在2 条线上，是重叠数。你能将1～6 按要求填入图6的圆圈内吗？

图6

（1）使每条线上3个数的和都等于9；

（2）使每条线上3个数的和都相等。

（1）从图6中可以看出，在计算每条线上3 个数的和时，都要用到重叠数，确定重叠数是解题的突破口。

先算出所给6 个数的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，再思考3个重叠数是几。因为每条线上3个数的和是9，所以3条线上各数之和是9×3＝27，此时，3 个重叠数都被多加了1 次，可求出3 个重叠数的和是27－21＝6。因为在1～6内，只有1＋2＋3＝6，所以3个重叠数是1，2，3，再根据每条线上数的和是9，算出其他圆圈内的数，图7是其中一种填法，通过调换数的位置（3 个重叠数只能在3 个顶点处），能得到多种填法。

图7

（2）确定重叠数是解题的突破口。根据题意，在计算图6中3条线上的各数之和时，3个重叠数都被多加了1次。若3个重叠数是a、b、c，要使每条线上各数的和相等，那么3条线上的数之和1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c（即21＋a＋b＋c）一定是3 的倍数。因为a、b、c分别是1～6中的某个数，逐个尝试可知：

当a＋b＋c＝1＋2＋3＝6时，3条线上各数的和是（21＋6）÷3＝9；

当a＋b＋c＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝2＋3＋4＝9时，3条线上各数的和是（21＋9）÷3＝10；

当a＋b＋c＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝3＋4＋5＝12时，3条线上各数的和是（21＋12）÷3＝11；

当a＋b＋c＝4＋5＋6＝15时，3条线上各数的和是（21＋15）÷3＝12。

即每条线上3 个数的和可以是9，10，11，12，对应的3 个重叠数的和分别是6，9，12，15。

经过尝试，只有当3 个重叠数分别是1，2，3；1，3，5；2，4，6；4，5，6时符合要求，这时每条线上3个数的和分别是9，10，11，12。

计算出了三角形顶点圆圈内的数及相应的各条线上的数之和，再填数阵图就非常容易了，如图8、图9、图10、图11 所示，是4 种基本填法。通过调换基本填法中数的位置（3个重叠数只能在3个顶点处），能得到多种填法。

图8

图9

图10

图11

像图6这样，各边之间相互连接，形成封闭的图形，这类的数阵图是封闭型数阵图。解题时常用的关系式：已知各数之和＋重叠数之和＝每边各数之和×边数。