王霞　王正阳

张永强  中学高级教师，湖南省十佳科技教师。科普中国2021年十大科普人物奖获得者，全国校园发明创意大赛、湖南省青少年科技创新大赛、湖南省创新编程与智能设计大赛、湖南省科学调查体验活动评审专家组成员。

从秋千到老式钟表的钟摆，从日出日落到潮涨潮落，周期性变化的事物比比皆是。单摆就是这样一个具有周期性的物理模型，而最值得关注的、在生产生活中最有意义的是单摆的振动周期。

看似简单的振动，其周期的准确表达式却极其复杂。在教科书上，单摆小角度振动周期公式          ，

其应用在大角度振动时并不准确。能否找到一个合适的大角度振动周期的近似公式呢？

为解决这个问题，本文综合计算机模拟实验与回归分析，得到了一个估计效果较好的、大角度单摆振动周期的近似公式。

一、基本思路与研究目标

我们在一本物理教材上偶然看到单摆振动周期公式，并发现其备注为：只适用于小角度振动。这个公式说明，单摆在小角度振动下的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与初始摆角无关。为什么只适用于小角度振动？

带着疑问，我们对单摆进行了受力分析，并建立了微分方程，一探究竟。

在求解方程中，计算到一个积分式便进行不下去了。我们想到了“只适用于小角度振动”，便没有放弃，又对被积函数在进行小角度下的泰勒展开，在略去一些项后，顺利得到了教科书上的单摆周期计算公式，感到茅塞顿开。紧接着便思考：能否把这个公式推广到更大的振动角度？这需要对那个难解的积分式进行研究。在查阅资料后得知，那个积分式是椭圆积分，用通项公式极难计算。

在信息课上，我们了解到回归分析的内容。通过回归分析，就能将许多具有一定关联的大量统计数据拟合出一个合适的函数，相当于用已知数据去“反向破解”产生数据的“黑盒子”的过程。

如果我们能获得大量椭圆积分的数据，便能“反向破解”出一个方便计算的拟合函数。我们还可以让计算机进行大量计算，得到椭圆积分的数据。

二、获取数据

（一）纯数学思路的尝试

要得到大量的橢圆积分数据，数学上的思路是直接利用椭圆积分的表达式，并通过逼近法求定积分。但椭圆积分是反常积分，即在边界值处被积函数会迅速增大，导致计算机处理困难，难以得到较准确的数据。纯数学思路在这里行不通。

（二）物理思路与计算机模拟实验程序设计

周期是一个物理过程，可使用计算机模拟单摆振动这个物理过程得到，所以利用物理思路能解决这个问题。模拟实验程序流程如图3。

（三）程序运行

部分输出结果如表1（共1570个数据）。

三、数据处理

（一）回归分析

（二）误差分析

（三）近似公式的确定

四、创新点

（一）实用性

本研究为大角度单摆振动周期的计算提供了一个较简单、方便计算并且估计效果好的近似公式。

（二）学科交叉

本研究从理论分析出发，基于物理过程创造性地提出了使用计算机模拟实验的方法获得实验数据，并使用非线性回归得出大角度单摆振动周期的近似公式。探究过程涉及数学分析、物理、统计学等多个学科，为学科交叉解决复杂问题提供了思路。〔本文系北京市教育科学“十三五”规划课题“新课程标准下高中数学课堂中的数学建模教学实践探究”（课题批准号：CDCA2020109）的研究成果。〕

作者心声

一个简单的物理现象背后竟有如此丰富的内涵，我们在解决这个问题的过程中体会到了学科交叉的强大作用。同时也感受到，在选择研究课题时要善于抓住让自己灵光一现的小问题，并深入本质去思考。在研究过程中要善于利用多个学科交叉研究，用更广的“工具库”去研究问题。最重要的是享受探究的过程，享受发现真理美的过程。

专家点评

本文创新性地使用非线性回归方法，结合微积分方程，对中学物理教材中单摆摆动模型中大角度振动运动近似公式进行了探究，结合数学与计算机方法对相应模型进行拟真，充分体现了作者在自主探究学习过程中的思辨性、创新性与自主性。

但作为一篇科学探究报告，本文仍存在一定缺陷。主要体现在：论文结构不够严谨；进行科学研究时所采用的数据缺乏代表性，所得结论严谨性存疑；未详细说明文中所使用数学模型的适用范围与实际应用中可能产生的问题。

建议适当扩大样本容量，在多情景、多条件的情况下对所得结论进行分析与验证，改进数学模型或者补全数学模型相关信息。

（栏目编辑  秦银银）