汪志涛，袁晓

（四川大学电子信息学院, 四川成都，610064）

0 引言

近年来，分数阶微积分作为热门领域受到国内外学者的广泛研究，并逐步发展为数学分析中的一个重要领域[1]。具有分数阶微积分运算功能的电路与系统——分数阶电路与系统[2-3]的研究与应用也越来越广泛，尤其是具有任意实分数阶微积算子的分抗逼近电路[4]的研究。分抗元件是构建分数阶电路与系统的核心部分，理想μ阶分抗元的阻抗函数为：

式中，s是拉普拉斯变量，也称为频率运算变量；μ是分抗元的运算阶，取值为分数时，称sμ为分数阶算子；F(μ)表示分抗元的集总特征值。

理想的分抗元是不存在的，目前在工程上，往往都是借助整数阶元件(电阻、电容、电感等)构建一个有限的无源二端电路网络，使得该电路网络在特定的频段范围内具有理想分抗元的运算特性[5～6]，这种电路网络被称为分抗逼近电路。经典的分形分抗逼近电路, 如负半阶Oldham 分形链类、任意阶Liu-Kaplan 分形链、Carlson 分形格分抗逼近电路等。

本文的目的在于借助Multisim 软件对经典的分形分抗逼近电路进行仿真分析，得出分抗逼近电路的幅频特征和相频特征曲线，将幅频特征数据通过Matlab 进行差分求导运算得出分抗逼近电路的阶频特征曲线，并运用蒙特卡罗法进行容差分析，得出电路元器件参数对电路运算性能的影响。从分数阶微积分运算角度——运算阶特征和恒相特征两方面考察分抗电路的运算特性[7～9]。

1 分形分抗逼近电路理论分析

Oldham 等人在20 世纪70 年代初期引进了一类具有负半阶运算特征的规则分形链结构——Oldham Ⅰ型分形链电路[10～13]，原型电路及其迭代电路如图1(a)和图1(b)所示。文献[4]根据对偶操作原理构建出同样具有负半阶运算性能的Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型分形链电路如图1(c)，图1(d)，图1(e)所示。根据Oldham Ⅰ型分形链分抗迭代电路，由迭代算法公式算出它的输入阻抗序列为：

图1 Oldham 分形链类分抗逼近电路

如果令R=a，(Cs)-1=b，Z k(s)=xk，则得到一个代数迭代运算公式：

式中代数函数F(x)(a≠b,x∈ℝ+)称为Oldham Ⅰ型链分抗的迭代函数，且函数F(x) 是收敛的，其不动点r即迭代方程式(4)的正实根。

式(2)中当k无穷大时的极限阻抗Z(s) 就是迭代函数F(x)的不动点r(s)，即有：

式中，Ω0=1RC，是Oldham Ⅰ型链分抗的本征频率。

从式(5)和式(7)可以直接看出，Oldham Ⅰ型链分抗逼近理想的负半阶分抗不如Oldham Ⅰ型链分抗好，并且它们都是在低频段逼近理想分抗。

式中F(y)称为Oldham Ⅰ型链分抗的归一化迭代函数。

表1 Oldham链分抗类电路的数学描述

2 分形分抗逼近电路仿真分析

Multisim14 电路仿真软件提供了非常齐全的仿真与分析功能[15]，仿真分析方法主要有：交流扫描分析方法 (AC Sweep Analysis) 用于计算电路的频率响应，输入信号源都将用设定频率的正弦信号代替；蒙特卡罗分析 (Monte Carlo Analysis) 采用统计的方法分析元件特性对电路性能的影响；最坏情况分析 (Worst Case Analysis) 也是以统计分析的方式，来研究元件参数变化时可能对电路性能造成的最坏影响。其中蒙特卡罗分析方法和最坏情况分析方法是电子电路容差分析主要的两种方法。

借助Multisim 电路仿真软件，建立起Oldham Ⅰ型链分抗仿真电路如图2 所示，电路中的电阻阻值R=1 k Ω，电容容值C=1μF时，初始迭代值Z0(s) =R= 1 k Ω。

图2 Oldham Ⅰ型链分抗仿真电路

2.1 交流分析

在Multisim 中进行交流扫描分析，设置交流分析的起始频率为0.0001 Hz，截止频率为10 kHz，扫描方式为默认的十倍刻度扫描，每十倍频采样点数为100 个，垂直刻度选择对数刻度，输出中选定用于分析的变量为V(1) I(V1) ，既分抗电路的输入阻抗，当逼近级次数k分别为1、4、16、64、256 时，运行后得到的幅频特征曲线和相频特征曲线数据导入到Excel 中，再通过Matlab 进行数据处理得出OldhamⅠ型链分抗电路输入阻抗随迭代次数（逼近级次数）k变化的幅频特征曲线和相频特征曲线如图3 (a)和图3(b)所示，随着迭代次数的增大，逼近电路原来越复杂，带来的逼近带宽也越来越大。其中虚直线是运算阶数μ=-1 2的理想分抗的频域特征函数曲线。图3 (c)的阶频特征曲线由幅频特征微分所得，阶频特征和相频特征可完全表征分抗逼近电路的运算特性。对于一个给定的分抗与分数阶电路系统，考虑其运算阶才是首要的。经过对比分析，通过Multisim 软件进行交流仿真分析所得频域特征曲线与在Matlab 中数值求解所得的频域特征曲线几乎一致，由此可见在Multisim 中进行仿真分析的可行性。

图3 Oldham Ⅰ型链分抗频域特征曲线

2.2 蒙特卡罗分析

在Multisim 软件的分析菜单中选择蒙特卡罗分析，图2(a)所示的电路分别将电阻 1R阻值、电容 1C容值的容差范围及其分布规律选择正态高斯分布百分比为50，选择交流分析类型，蒙特卡罗分析次数为5，输出变量为V(1) I(V1) ，既分抗电路的输入阻抗，启动并运行后得到图4 所示的OldhamⅠ型链分抗逼近电路 1R、1C标称值与有50%容差情况下的幅频响应和相频响应的曲线簇波形。由蒙特卡罗分析结果，可以看出当元器件参数值按50%正态高斯分布规律随机变化时，分抗电路的幅频响应及相频响应呈现了一定的分散性。

图4 蒙特卡罗分析结果(k=1)

对应容差分析电路的阶频特征曲线如图5 所示，根据分析结果可知k=1 时电阻 1R参数容差相比于 1C参数容差对Oldham Ⅰ型链分抗逼近电路的运算性能影响更大。对于改进的Oldham型链分抗，从式(5) 和式(7)可以直接看出，Ⅰ型改进型链分抗逼近理想的负半阶分抗效果更好，上述的蒙特卡罗分析结果也是从仿真实验上证实了这一特性。

图5 阶频特征曲线(k=1)

在图2 (b)所示k=4 时的Oldham Ⅰ型链分抗逼近电路中分别将电阻 1R、2R、3R、4R阻值的容差范围及其分布规律选择正态高斯分布百分比为50，Multisim 软件中其它仿真设置与k=1 时一致。根据运行后得到的频率响应曲线簇波形，通过Matlab 进行数据处理得到对应容差分析电路的阶频特征曲线如图6 (a)所示，可以看出电阻 1R取值分布对分抗电路的运算阶影响最大，电阻阻值越接标称值的一半时，对分抗逼近电路而言所带来的逼近带宽越大，并且越靠近初始电阻 0R的电阻参数容差对电路运算阶的影响越小，所以在工程中进行电路设计时，对电阻 1R阻值的精度要求更严格，电阻 1R的容差越小越好。

图6 容差分析阶频特征曲线(k=4)

再将k=4 时的Oldham Ⅰ型链分抗逼近电路中分别电容 1C、C2、3C、C4的参数容差范围及其分布规律选择正态高斯分布百分比为50，其它设置与对电阻进行容差分析时一致。进行蒙特卡罗分析后得到频率响应曲线簇波形，图6 (b)为将数据导入Matlab 进行处理后得到各个电容对应容差分析的分抗电路的阶频特征曲线。经过分析得出越靠近初始电阻 0R的电容参数容差对电路运算阶的影响越小，相反，1C的容差对电路运算性能的影响最大，意味着在工程上设计分抗电路时，电容 1C的容差也是越小越好。

3 结论

由以上分析结果可以看出，利用Multisim 软件可以方便快速地对分抗逼近电路进行仿真，通过交流分析可以得出电路的幅频特征和相频特征，蒙特卡罗分析方法通过改变电路元件的参数，可以得到不同电路元件参数容差对电路运算性能的影响，十分便于我们从分数阶微积分运算的角度考察分抗电路的运算特性，为分抗电路可靠性设计提供有意义的依据，从而节省设计时间与设计费用，提高电子产品的设计效率。