孙雷鸣

【摘 要】  数字化在高中数学教学中的广泛应用，重要的依然是课堂的教学本质，但教学方法的变化使得教师可以更便利、直观、具体地设置恰当教学情境，有效提高教学效率，成为高中数学教学模式改革的强大助推力。本文主要论述了如何将数字化教学手段更高效地结合到高中数学教学中，以《空间平面与平面的位置关系——二面角》为例，在概念课探索性学习过程中，让学生体会知识的生成过程，理解寻找二面角的平面角的本质和合理性.在课堂上，加强信息技术对课堂效果的影响，以及对学生学习方式的积极作用.

【关键词】 立体几何；二面角；平面角

1  教学目标与数字化相结合

借助多媒体或画图软件，使学生获取信息更加便捷，教学内容更加直观.教学网站的丰富资源，可以是辅助我们教学的资料.在设计教学目标时，我们可以考虑加入数字化的教学情境，提高学生的学习兴趣，增加学生的参与度，让学生参与课堂.在这节课中，我们可以设计以下教学目标：

（1）通过几个引例，使学生正确理解二面角及其平面角的概念;

（2）引导学生探索和研究二面角的平面角形成过程，理解其合理性，并会求解，理解其平面角大小与棱上点的选取无关，知道二面角大小的取值范围;

（3）培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想.

2  教学过程

2.1  创设情境，导入新课

请学生观察生活中的一些模型，如：

背景一  教师把笔记本电脑缓缓打开到某一位置.

背景二  地球公转轨道面（黄道平面）与赤道平面所成的角（黄赤交角），地球绕太阳公转的黄赤交角约为23°26'。黄赤交角的存在，具有重要的天文和地理意义，它是地球上四季变化和五带区分的根本原因.由实例引入二面角的概念，接着又问学生还能举出一些类似图形的实例吗？打开笔记本电脑，是否能感觉到笔记本电脑展开的角在逐渐变化？

这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们把这样的图形叫二面角，那么如何定义二面角呢？

2.2  引入概念

设两个平面相交于直线，将分别分割成两个半平面，由的半平面及其交线所组成的图形叫做二面角.记为，其中交线叫做二面角的棱. 两个半平面叫做二面角的面.

2.3  二面角的平面角

（1）类比

问题1  两条异面直线以及直线与平面所形成的空间角是如何度量的？

学生  直线是异面直线，经过空间任意一点，分别引直线//和//，我们把相交直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

我们度量两条异面直线以及直线与平面所形成的空间角，把它转化为平面角，并且直线与平面所形成的空间角的平面角是唯一的.类似地，二面角的大小也可以转化其平面角的大小.

问题2  怎么找出一个平面角，使其能够合理反映二面角的大小呢？

分别在两个半平面内取两条直线，这两条直线可能是异面直线，两条异面直线所成角是空间角，我们寻找平面角来刻画二面角的大小.进而，在两个半平面的交线上找点，即顶点在棱上，分别在两个半平面内引射线.

问题3  从二面角的棱上一点出发，在两个半平面内引射线，两条射线与棱的相对位置如何会比较合理？

（2）探索实验

让学生们分小组合作，用“墙角模型”探究二面角的平面角.

如图，“墙角模型”二面角中，在棱上选取一动点，由点出发分别在半平面和中引射线和.当点在运动时，可以看到、以及的变化.

通过软件GeoGebra的演示，当时，我们发现，并不能代表“墙角模型”二面角的大小，不符合我们的直观感受. 当点运动时，分别与棱所成的角会发生变化，也会发生变化.我们继续探究从棱上点出发的两条射線与棱所成的角，在面内，和与棱所成角都为，同样，和分别与棱所成角都为，这时也为，.选取哪个角为二面角的平面角，情况比较繁琐.

当点运动到点时，我们发现.此时，与二面角的大小是一致的，我们观察到此时，.此时，是唯一的，并且比较简洁.

总结  从二面角的棱上一点出发，两条与棱不垂直的射线形成的角不能反映二面角的实际大小.

通用软件GeoGebra的演示，学生们感受到数值的变化，理解二面角的平面角选择的合理性.使用画图软件，学生们能够更直观的看到角度的变化.实物“墙角模型”增强学生的动手能力，小组讨论，能够激发学生的学习兴趣，这也是数字化转型的一种体现。

（3）提出概念

我们给出二面角的平面角的定义：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.

（4）概念解析

①平面角的顶点落在在棱;

②平面角的射线落在两个半平面内;

③平面角的射线与棱分别垂直;

④二面角的范围是，强调大小为和大小为的含义.当平面角为时，称平面与平面垂直，记作.

思考  平面角的大小与顶点的选取有关么？

根据二面角的平面角的定义让学生在二面角的棱上分别取两个不同的点画出右图所示的二面角的平面角，并引导学生观察这两个角的两组对边的平行关系.根据上面的作图和观察，学生不难回答是“等角定理”，这样就加深了学生对二面角的平面角的深刻理解。

（5）线面角的关系

如图，二面角的棱上选取一点，在内作，在内作.

为二面角的平面角.

直线是面的一条斜线，我们过点作于点，因为，，所以平面，所以，故平面，我们不难发现射线与平面所成的角是（二面角为锐二面角）.射线与平面所成的角就是.

实际上，从以上分析，可以看出我们作出了棱的一个垂面. 这个垂面与两个半平面所形成的线线角即为二面角的平面角.

2.4  二面角的平面角的计算

例1  已知正方体，求二面角.

变式1  求二面角.

变式2  已知长方体中，，，，求二面角.

例2  已知直角三角形，斜边在平面内，分别与平面成、角，求所在平面与平面所成的角.

2.5  思考问题

二面角与线面角的大小关系？

2.6  课堂总结

我们学习了二面角及二面角的平面角等有关概念，并学会了如何作二面角的平面角．学习的关键是将二面角的问题转化为其平面角的问题．

3  数字化背景下的教学特点

本文以分组教学为主线，学生互动为主体，采用小组讨论形式贯穿始终.利用画图软件、PPT和教学模型等数字化手段参与其中.在教学中凸显学生的课堂主体地位是数字化教学的客观需要，本文总结了课堂教学的几个特点。

第一，教学过程应以学生为主体，学生的理解与接受程度推动课堂.

第二，数字化教学可以提高课堂效率，用数字化教学手段提高学生的学习效率，事半功倍.

第三，多媒体、网络平台等数字化技术工具的使用增加了学生的学习兴趣.本文中采用了GeoGebra画图软件、“墙角”模型等，在课堂上可以创建相应情境，吸引学生的学习兴趣.

以上这些特点决定了教师在设计教学时必须基于学生的认知规律而不是教材，确保教

学内容与学生的认知水平相匹配，降低教学任务的难度和复杂度，提高教学趣味性，以使学生积极参与课堂教学.

4  数字化背景下的教学反思

当今，信息技术发展飞速，数字化教育必然成为未来趋势.在高中数字化课堂教学实践过程中，本文不仅发现了一些优势，同时也感受到了数字化教学还存在一些问题.

首先，数字化课堂教学离不开对硬件设备的数量和质量的要求，就目前的情况来看，不同学校对数字化设备的配备參差不齐.而且，由于数字化设备更新很快，因此要及时满足大面积的师生使用需求还存在一定的困难.

其次，数字化课堂教学对教师的备课要求更高，在具体的教学中，教师还要针对突发状况对教学设计做出相应的调整.同时，由于教师的讲授以及学生之间的互动必须借助数字化手段，所以教师一定要熟练掌握一些教学软件{1}.

最后，对于高中数学教学，不是每个教学内容的教学都适合采用数字化课堂教学模式展开，所以针对不同章节，不同教学目标，因地制宜，数字化教学要有选择的进行.

数字化信息技术与课堂教学整合是信息时代教学改革的需要，是数字化时代人才培养的需要，是提高课堂教学效率的有效途径[2].教育工作者需要不断反思，不断提高数字化课堂教学的可行性和操作的便利性，总结出符合高中数学教学实际的数字化课堂教学模式.

参考文献：

[1]余欢. "数字化"背景下教学方式的变革[J].科教文汇， 2015（4）：2.

[2]光磊. 高中数字化课堂教学实践初探[J].中学教学参考， 2019（18）：2.