孙福兴 ，钱孟波 ，潘佳煊 ，虞 浪 ，陈 强

（浙江农林大学光机电工程学院，浙江 杭州 311300）

0 引言

农业领域中林果收集装置多数是倒伞型林果收集机构。徐道春等[1]发明一种倒伞型无患子果实收集装置，该装置主要包括倒伞机构、收集箱和驱动支撑机构。牛长河等[2]提出一种可移动式果实倒伞型收集装备，该装置工作过程：首先将其推向树干，在导向杆的作用下，将树干导向转动杆支架中心，人工拉动转动杆可带着果实收集篷布以树干为中心，从前往后展开形成一个V 形收集面，可将整个树冠包围起来，避免漏果。杜小强等[3]研究出一种自走式倒伞形果实收集装置，该装置由底盘、发动机与倒伞形支撑架组成，自动化程度高，能够快速收集果实，并自动进行装箱，防止果实掉落地面而破损。倒伞型装置的伞骨主要是RRR-P 四杆折展机构。机构实际运动过程中，由于制造加工、摩擦磨损等多方面原因，致使运动铰链中间隙是客观存在的。铰链间隙增加了机械多体系统动力学的不稳定性与工作失灵可能性[4]。国内众多学者对含间隙运动副展开了研究，如黄铁球等[5]针对含间隙的平面旋转副以及移动副建立了有限元模型；张跃明等[6]对同时考虑构件弹性和旋转副间隙的空间机构进行了动力学研究等。

实际工况下，由RRR-P 四杆机构为伞骨单元形成的倒伞型收集机构，铰链处的间隙数量往往不止一个，不同铰链间隙位置之间的相互作用使机械系统变得更为复杂多变。铰链间隙的存在不仅增加了RRR-P 四杆机构运动的不确定性，而且铰链处副元素的摩擦碰撞会导致该四杆折展单元之间的运动失衡，甚至造成机构出现运动卡滞现象。因此，设计以RRR-P 四杆机构为基础单元的倒伞型收集机构必须考虑工作过程中铰链间隙带来的影响。本文基于ADAMS 动力学仿真软件，以RRR-P 四杆可展机构为研究对象，建立含间隙RRR-P 四杆机构动力学模型。结合ADAMS 二次开发功能读取Fortran 语言编写的间隙接触力计算子程序，将间隙碰撞模型引入到仿真模型中。从不同间隙位置、不同间隙尺寸、不同间隙个数仿真分析含间隙RRR-P 四杆机构的非线性动力学特性，并结合MATLAB 利用小数据量法计算其最大Lyapunov 指数，揭示含间隙RRR-P 四杆机构非线性动力系统中存在的混沌现象。

1 间隙旋转副动力学模型的建立

等效间隙铰链关节的放大表示如图1 所示，关节间隙可以定义为轴销和孔体半径的差值c，间隙矢量的大小表示轴销和孔体中心之间的相对位移r。在关节间隙运动过程中，可以观察到轴销与孔体之间的3种不同运动状态：自由飞行状态，即轴销与孔体不接触，轴销在孔体边界内自由运动，如图1（a）所示；接触碰撞状态，即轴颈与轴承开始产生接触，发生在自由飞行模型结束时，如图1（b）所示；连续接触状态，该状态即使轴销和孔体之间存在相对穿透深度，但两者仍保持一定的接触，如图1（c）所示。

图1 等效间隙铰链关节的放大表示

带间隙的旋转关节如图2 所示，Gi表示为带孔体连杆i的质心位置，Gj表示为带轴销连杆j的质心位置，这些点相对于全局坐标位置分别表示为ei和ej。Qi和Qj分别为在轴销与孔体上的接触点，这些接触点相对于全局坐标位置分别表示为与。与分别表示副元素中心相对于连杆i与连杆j质心的位置矢量。

图2 带间隙的旋转关节

n是垂直于碰撞平面的单位向量，根据矢量三角形可得[7]：

由此，相对接触速度可定义为：

当两者发生碰撞接触时，法向力根据Lankarani等[8]提出的连续接触力模型进行建模，切向力利用Flores 等[9]提出的修正Coulomb 摩擦模型对接触力进行建模。接触力可表示为：

式中，K为接触刚度系数；δ为法向相对碰撞速度；ce为恢复系数；·δ(-)为撞击点的初始相对速度。

切向摩擦力表示为：

式中，ud为滑动摩擦系数；cd为动态修正系数；vt为相对切向速度。

2 含间隙RRR-P四杆机构的仿真分析

2.1 不同间隙位置对末端运动轨迹的影响

ADAMS 中含间隙RRR-P 四杆机构仿真如图3 所示。分别在铰链位置A、B、D 处添加间隙，进行仿真试验，将间隙大小均设为0.2 mm，步长设为0.001，得出理想状态与考虑间隙两种情况下一个周期内X方向位移随时间变化曲线图，如图4所示。

图3 含间隙RRR-P 四杆机构仿真图

由图4 可以得出，间隙的存在使RRR-P 四杆机构末端铰链X 方向位移出现非线性抖动，且不同位置间隙对末端铰链轨迹产生的影响各不相同。理想状态下，机构上C 点的X 方向位移是规律且光滑的曲线。当考虑机构铰链处间隙后，间隙的存在使得C 点的X 方向位移由线性转变为非线性变化，末端连接处轨迹的偏移会影响机构的运动稳定性，甚至会使各个RRR-P 四杆折展单元出现运动不同步现象，导致可展机构展开失败。通过比较可以看出，当间隙位置在图3 中A 处时，X 方向位移波动的幅值相对铰链位置B、D 处较大，间隙铰链位置B 处波动的幅度与频率相对最小。

图4 不同间隙位置对机构的影响

2.2 不同间隙尺寸对间隙铰处接触力的影响

将间隙尺寸分别设置为0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm和0.4 mm，选择一个完整周期下的仿真结果，研究在Y 方向上不同间隙尺寸对接触力的影响，不同间隙尺寸的接触力曲线如图5所示。

由图5可以得出，c=0.4 mm时产生的最大接触力约是c=0.1 mm 时的4 倍，且不同间隙下所产生的最大接触力不同。这是由于不同间隙尺寸给销轴在孔体中留有的运动空间不一样，空间越大，副元素自由运动过程中累积的动能就越多，导致碰撞引起的法向接触力就越大；铰链处间隙的存在对机构不同运动状态的影响也存在差异。展开过程产生的接触力大于收拢过程，表现为收拢过程中波动的频次较多，但是波动的幅度比较小；而展开过程中波动的频次较少，但每次波动的幅度比较大。可以得出结论：RRR-P 四杆机构运动过程中副元素间碰撞磨损程度与间隙尺寸直接相关，间隙不宜过大。不同间隙尺寸下副元素间产生的接触力大小对机构的工作性能有着直接性影响，间隙的存在降低了该类可展机构工作的稳定性。

图5 不同间隙尺寸的接触力曲线

2.3 不同间隙个数对机构的动力学特性影响

轴心轨迹能反映销轴与孔体之间的碰撞与磨损情况，研究不同间隙个数对轴心轨迹的影响以及间隙之间的相互作用具有重要意义。在图3 位置A、D 处添加间隙，将间隙值均设为0.2 mm，研究铰链D 处间隙的存在对A 处轴心轨迹的影响。轴心轨迹图如图6所示。

图6 轴心轨迹图

由图6 可以得出，当仅考虑铰链A 处间隙时，偏离理想间隙圆轨迹的部分表明在运动过程中副元素间接触力的增加，使得销轴在孔体中处于撞击或自由飞行状态；当继而考虑到图3 中D 处间隙时，在D 处间隙作用下，间隙铰链A 处的轴心轨迹如图6（b）所示，比较可以看出铰链D 处间隙的存在使得A 处的轴心轨迹更趋于理想状态。这是因为铰链A、D 属于机构不同杆件上的间隙铰链，两处间隙相互作用使得机构处于一种相对平衡状态，该状态提高了A 处销轴在孔体中的运动稳定性。双间隙三维图相对于单双间隙三维图整体显得比较均匀，这是由于D 处间隙的存在使得A 处销轴与孔体保持连续接触状态，该状态导致销轴在Z 方向的偏移量比较稳定且有规律。而仅考虑铰链A 处运动副间隙时，销轴在Z 方向的偏移量不稳定且无规律，如图6（c）所示。该结果表明：铰链间隙之间存在间隙耦合效应，即间隙之间相互影响，相互作用。

2.4 小数据量法计算Lyapunov指数

混沌现象是指一个系统其行为表现为不可预测，看似随机的不规则运动[10]。本节将利用Lyapunov 指数法研究含间隙RRR-P 四杆机构非线性系统是否具有混沌特性。小数据量法计算最大Lyapunov 指数的流程如图7所示。

图7 小数据量法计算流程

在MATLAB 中先通过C-C 方法可以得到时窗（tw）、时延（tau）以及嵌入维数（m），接着用FFT 方法可以得到平均周期（P）。设间隙尺寸为0.2 mm，数据量取1 000 个/s，以Y 方向接触力数据为研究对象，计算得：

将式（5）计算得出的数据代入到MATLAB 代码中，计算结果如图8 所示。框选矩形虚线边框中显示的线性区域，并使用最小二乘法拟合该区域中的直线，拟合直线的斜率为最大Lyapunov 指数。显然拟合曲线斜率是大于零的，证明了含间隙RRR-P 四杆机构非线性系统中具有混沌特性。

图8 最大Lyapunov指数的估计

3 结论

1）分析运动学模型可知，当铰链有间隙时，消除了两个运动学约束，将轴销中心相对于孔体中心的水平和垂直位移两个自由度增加到机构运动中，这是导致RRR-P 四杆机构运动不确定的根本原因。

2）不同铰链位置间隙对机构末端连接处轨迹的影响各不相同，副元素间的碰撞程度随着间隙尺寸的增大越来越剧烈；铰链双间隙相比于单间隙增加了机构的非线性程度，间隙关节之间存在着间隙耦合效应，并验证了含间隙RRR-P 四杆机构动力学系统中存在混沌现象。

3）考虑铰链间隙的RRR-P 四杆机构动力学模型真实地反映了机构的动力学特性，可为以该单元为基础组成的倒伞型林果采收机出现展开失败情况提供理论参考。