赵思源，王晓茜，李畅，姚治海，高超

（长春理工大学 物理学院，长春 130022）

鬼成像（Ghost Imaging，GI）也称之为关联成像，是一种新颖的成像技术。最早的GI 实验是由Pittman 等人[1]使用纠缠光子对完成的。GI 实验系统由两条光路组成，其中一条光路穿过待测物体，被一个没有任何空间分辨率的桶探测器检测到，称为信号臂；另一条光路由空间分辨检测器检测，称为参考臂。通过关联来自两个光路的光强值来重建图像。随着鬼成像的进一步发展，Shapiro 等人[2]提出了单光路的计算鬼成像（Computational Ghost Imaging，CGI）系统，利用可编程空间光调制器（SLM）或数字微镜器件（DMD）来替换参考臂。次年，这项理论由Bromberg等人[3]在实验上验证，使GI 实验系统更进一步简化。随后CGI 受到越来越多的关注，出现了许多相关的应用，如单像素相机[4-5]、激光雷达探测[6-9]、遥感[10-11]和光学加密[12-13]。因此，结合迄今为止的技术，CGI 比传统的GI 具有更好的应用前景。

但是，即使在CGI 方法中，鬼成像的采样也很耗时。近年来，学者们已经开发出许多方法来解决这个问题。其中，Candes 和Donoho 等人[14-15]提出了一种新型恢复图像理论压缩传感（Com⁃pressive Sensing，CS）理论，在压缩感知成像过程中，如果信号是稀疏的且可以远低于采样点进行信号恢复，压缩感知理论不需要在采样过程中获取图像的所有像素样本，仅获取部分采样像素，挖掘信号信息的冗余，通过迭代算法从这些部分采样像素中重建原始图像。2009 年，Katz等人[16]将压缩感知引入到基于热光源的关联成像系统中，并且实验验证了两者相结合后在降低测量次数的前提下，提高了恢复图像质量。芬兰坦佩雷科技大学的Katkovnik 等人[17]将压缩感知技术运用到具有波场编码的空间光调制器的计算鬼成像中，恢复出高质量的清晰图像。Li[18]提出的增广拉格朗日的全变分算法（Total Variation Minimization by Augmented Lagrangian and Alter-nating Direction Algorithms，TVAL3）也成功在减少采样率的前提下恢复出高质量的图像，在重建速度和质量方面TVAL3 与其他广泛使用的算法相比是更具有优势的，并提出了相应的数值结果，进一步证明了TVAL3 适用于鬼成像以及许多其他应用。Zhao 等人[19]设计了基于压缩感知理论的鬼成像雷达，并通过实验进行了验证。至此，将压缩感知应用到鬼成像中已经成为了学者们的重点研究对象。

在常规的CGI 成像过程中是使用随机投影图案进行照射，要想得到效果显著的成像质量，需要进行大量多次照射，意味着成像时间也依次递升。为了改善这一问题，学者们发现使用有序的照明图样，可以有效地提高成像质量，例如采用哈达玛变换基底投影图案、离散余弦变换基地图案。Yu 等人[20]提出两种重新排序并易于构建的哈达玛基，该方案实现了超亚奈奎斯特采样并提高了图像重构质量。Tanha 等人[21]提出将离散余弦变换系数作为计算鬼成像的投影图案，研究结果表明，改进后的CGI 可以快速精确地重构图像。本文提出基于压缩感知算法的离散余弦鬼成像用于提高重构图像质量，离散余弦变换相当于将原来图像进行稀疏化，利用压缩感知算法会具有天然的优势，所以使用有序的离散余弦矩阵作为投影图案来照射物体，并且使用压缩感知算法中的TVAL3 算法来重构物体的图像。通过数值模拟和实验验证得出：将两者相结合达到了在降低测量次数的前提下，提高恢复图像质量的效果。

1 离散余弦变换散斑的计算鬼成像

1.1 理论分析

传统的鬼成像所使用光源为赝热光源，光源由激光撞击旋转毛玻璃组成，产生具有热状特征的光束，称为“散斑图案”。通过分束器产生具有相同热状特征的两束光束，一束光不通过物体被空间分辨检测器检测，其光强强度记为，另一束光通过物体被不具有空间分辨率的桶探测器收集，将桶探测器上所收集到的值记为B(n)，其中，n为采样次数(n= 1,2,3,…,n)，鬼成像通过关联光强强度分布和桶探测器值从而计算得出物体的像，其表达式为：

通过传统鬼成像方法来重构图像是非常耗时的，而在计算鬼成像（CGI）中，旋转磨玻璃可被计算机可控空间光调制器（SLM）取代，进一步来说就是可以通过计算得到IR(n)(x,y)，然后通过投影仪将散斑直接投射到物体上。本文以计算鬼成像为框架进行的仿真系统以及实验搭建，如图1 所示，该实验系统结构主要由投影仪、待测物体、透镜、桶探测器和计算机组成。在计算鬼成像中，通过投影仪将一系列光源调制矩阵投射在物体上，投射过来的物体信息通过透镜汇聚一点被桶探测器收集。

图1 计算鬼成像实验装置图

现在可以利用投影仪投射不同性质的散斑到物体上，以此提升物体成像质量，从最开始使用随机散斑换为现在有序的哈达玛散斑和离散余弦散斑。离散余弦散斑和哈达玛散斑都是通过离散余弦矩阵和哈达玛矩阵变换而来。其中哈达玛矩阵是一种正交矩阵，并且易于构建，其元素均由+1 和-1 组成，由于哈达玛矩阵的特性，哈达玛矩阵的列数N＝2q(q＝1,2,3,…,n)，其矩阵构造过程如下所示：

离散余弦变换矩阵被认为图像信息的最佳变换，通过离散余弦矩阵生成离散余弦散斑的过程如下：首先生成离散余弦矩阵，一维离散余弦变换定义为：设{f(x)|x= 0,1,2,…,N- 1} 为 离散的信号列，其公式如下：

其中，N为一维序列的长度；f(x)表示原始信号；F(u) 表示变换后的信号；C(u) 为补偿系数。令离散余弦变换矩阵为正交矩阵，并将离散余弦变换式中的系数矩阵提取出作为鬼成像中的光源调制矩阵，矩阵形式如下：

然后将离散余弦矩阵的每一列生成散斑。

综上所述，先生成变换矩阵，并将矩阵重组生成散斑照射待测物体，最后通过关联光源调制矩阵光强分布和被桶探测器收集得到的光强强度恢复出物体信息。为验证有序散斑的成像质量，将离散余弦鬼成像（Discrete Cosine Trans⁃form Ghost Imaging，DCT-GI）和哈达玛鬼成像（Hadamard Ghost Imaging，HGI）与随机散斑鬼成像在完备测量下进行成像质量比较。并且进一步分析离散余弦鬼成像和哈达玛鬼成像在非完备情况下的成像质量。

1.2 数值模拟

在模拟过程中，成像目标为图2 中分辨率为64 pixel ×64 pixel 的Lena。重构原始图像完备测量次数为4 096 次。图3 依次为随机散斑、哈达玛散斑、离散余弦散斑在完备测量情况下所重构出的图像。图3（a）为使用随机散斑所重构出的图像，可以发现几乎重构不出物体信息；而图3（b）的哈达玛散斑和图3（c）的离散余弦散斑可以清晰地重构出待测物体图像。就此可以发现有序的散斑重构图像的效果要远远优于随机散斑。

图2 原图

图3 完备情况下计算鬼成像重构图

但是在完备测量情况下比较不出哈达玛散斑和离散余弦散斑所重构的图像质量，为了更直观地观察图像变化过程，将选取不同的采样率采样，其采样率设置为14.65%、19.53%、24.41%、30%、50%。图4（a）～（c）为哈达玛散斑计算鬼成像重构方案中，非完备情况下采样率14.65%时所重构的图像，可以发现采集不到物体的信息并且存在大量重影；图4（d）为相同采样率下选用离散余弦散斑的计算鬼成像方案，虽然重构不出物体信息，但是不存在大量重影；图4（c）为采样率增加到24.41%且测量次数1 000 次时哈达玛散斑所重构的图像，依然存在大量重影；而图4（f）离散余弦散斑所重构的图像已经重构出物体的轮廓，虽然一些细节信息依旧恢复不完善。当直接选用哈达玛散斑，在非完备情况下进行重构时会产生大量重影，Sun 等人[22]提出了“俄罗斯娃娃”排序的方案来优化哈达玛基，但是这种方案很难构造，具有有限的空间分辨率。并且在现实生活中重构的图像大多数是无规律像素数，而哈达玛散斑只能生成2 的指数形式，而离散余弦散斑可以随机设置像素数；由此可以看出在选取有序散斑进行计算鬼成像重构时离散余弦散斑优于哈达玛散斑。

图4 计算鬼成像重构图

在非完备情况下离散余弦散斑所重构的图像质量还是较低，所以将压缩感知算法中的TVAL3 算法加入离散余弦鬼成像（Discrete Cosine Transform Ghost Imaging based on TVAL3 algorithm，DCT-TVAL3）以此来提高图像重构质量。在压缩感知鬼成像中，将光源调制矩阵作为观测矩阵Ψ，桶探测器的测量结果为B⇀，利用稀疏变换矩阵Φ，由测量结果来恢复原始图像的方法，相当于求解最小l1范数下的最优化问题。要想重构原始图像信息X，公式如下：

由于离散余弦矩阵具有稀疏性，观测矩阵可以直接变换成稀疏变化矩阵，那么在求解最优化问题过程中直接用观测矩阵更为简便，公式（6）简化为：

图5 为光源为离散余弦散斑情况下，使用TVAL3 算法所重构出的图像，如图5（a）为采样率14.65% 时，已经重构出了图像的部分轮廓。随着采样率的增加，当采样率达到24.41%时，图5（c）中图像的大部分信息都已恢复，只剩一些细节信息未恢复完善。加入压缩感知算法以后，与非完备情况下离散余弦鬼成像相比，同等采样率的情况下，显示的重建结果可以看出，加入压缩感知算法对比计算鬼成像在图像恢复重建上更具有优势。

图5 使用TVAL3 重构算法的压缩感知离散余弦鬼成像重构图

为了更进一步探索基于TVAL3 算法离散余弦鬼成像，为了更客观、准确地解释压缩感知算法的性能，进一步确切地分析图案质量，将引入结构相似性指标[23]（Structural Similarity，SSIM），对上述三种方案所恢复图像进行比较。

结构相似性定义为：

式中，x和y分别代表初始图像信息和重构图像信息；μx、μy为图像平均值；σx、σy为图像的方差；σxy为图像协方差；c1、c2和c3为常数。

图6分别是HGI、DCT-GI 和DCT-TVAL3 进 行重构以后的各项数据，结构相似性指标分别从亮度、对比度、结构三方面进行评价，SSIM 值的范围为[0，1]，当越接近于1 时，图像失真度越低。在相同采样率的情况下，HGI 的SSIM 值最低，在采样率14.65% 时DCT-GI 方案重构图的SSIM 值为0.691 9。加入压缩感知算法以后，使用DCT-TVAL3 方案重构后的SSIM 值增加到0.782 6。随着采样率的增加，测量次数为1 000次时，DCT-GI 的SSIM 值增加到0.796 0，而使用HDCT-TVAL3 方案的SSIM 值增加到0.846 1。总的来看，加入压缩感知算法的方案DCT-TVAL3在同等采样率的情况下为三种方案最高。经上述数据指标的对比，可以得出结论：计算鬼成像在低采样率的情况下图像失真度很高，但是在加入压缩感知算法以后图像质量得到明显提高。将TVAL3 重构算法应用离散余弦鬼成像中，提出基于TVAL3 算法的离散余弦鬼成像，并与哈达玛鬼成像、离散余弦鬼成像进行比较，实现了在降低采样次数的前提下，提高鬼成像的成像效率。

图6 结构相似性与采样率的关系

2 数值模拟和实验验证结果分析

图7 为基于压缩感知的离散余弦鬼成像的实验装置，在此实验装置中先选取64 pixel×64 pixel 的离散余弦散斑，用投影仪将散斑投射到图8 待测物体“光”上，物体信息通过透镜汇聚于一点，被桶探测器收集，最后在计算机上应用压缩感知算法运算桶探测器所收集的结果，恢复被测物体的图像。

图7 计算鬼成像实验装置

图8 待测物体

图9 为光源为离散余弦散斑情况下的计算鬼成像重构图，图10 为光源为离散余弦散斑情况下，使用TVAL3 重构算法的压缩感知离散余弦鬼成像重构图，从所恢复的图像可以看出当采样率相同时，根据图9（a）DCT-GI 所恢复出的图像只能看见物体信息的部分轮廓，而图10（a）DCTTVAL3 算法恢复了物体的整体轮廓信息。随着采样率的增加，物体的一些细节信息陆续恢复，图像失真度相对降低，可以看出应用压缩感知算法在低采样率的条件下恢复的图像质量也高于计算鬼成像。为了进一步验证实验结果，将选取评价指标进行再次对比，评价指标选取结构相似性指标。如图11 可以看出当采样率2.44%，即测量次数为100 次时，利用压缩感知算法的SSIM 数值，就可以达到没有运用压缩感知算法中测量次数800 次的效果。由此，实验结果再一次验证数值模拟结果，应用压缩感知的鬼成像高于计算鬼成像所恢复出的实验结果。

图9 光源为离散余弦散斑情况下的计算鬼成像重构图

图10 光源为离散余弦散斑情况下，使用TVAL3 重构算法的压缩感知离散余弦鬼成像重构图

图11 结构相似性与采样率的关系

3 结论

提出基于压缩感知算法离散余弦鬼成像并进行了数值模拟和实验验证。将传统计算鬼成像中的随机散斑替换为有序的离散余弦散斑，虽然提高了重构图像质量，但仍需大量重构次数。所以，将TVAL3 算法应用到离散余弦鬼成像中，DCT-TVAL3 相比于DCT-GI 在相同采样率的情况下重构图像质量更高；将TVAL3 算法与离散余弦鬼成像相结合达到了在降低采样次数的前提下，提高鬼成像的成像效率，为促进鬼成像技术在未来的广泛应用奠定基础。