吴天舒，苏 军，连梓旭

(中国人民解放军91388 部队，广东 湛江 524022)

0 引 言

当前，随着降噪技术的发展，以及水下目标声反射强度的不断降低[1-2]，使得水下目标定位的难度逐渐增加，单基地水下目标定位的精度不能满足其定位需求，为此可以联合多个测量平台组成多基地声呐定位系统，增加对目标的观测数据，实现联合定位。多基地声呐系统可分为[3-4]：一发多收型（T-Rn型）、多发一收型（Tn-R 型）和多发多收型（T-Rn型），其中TRn型相比于另外2 种具有结构简单、成本低，隐蔽性好的优点，因此研究T-Rn型多基地声呐系统更具有应用前景。在多个平台进行联合定位时，各个平台在接收观测信息后，不同平台产生的误差不一样，并且存在不知道其误差统计特性的情况，因此针对不同条件，为达到最优的定位误差，需要使用不同的线性优化算法。为此分析T-Rn型多基地声呐系统的定位算法，能够为未来的多平台联合定位提供参考，具有实际应用前景。本文主要对T-Rn型多基地声呐系统基于到达时间差定位（TDOA）信息进行水下目标定位的算法以及由此产生的定位误差进行研究，为此建立基于TDOA 信息的多基地声呐系统的定位模型，分析系统中不同误差的具体表达式，推导在未知误差和已知误差条件下的最优线性算法，并给出不同算法定位误差的计算公式，最后利用仿真对理论结果进行验证和分析。

1 建立定位模型

在多基地声呐定位系统中，接收站声呐的作用距离通常要远高于定位目标的深度[5]，针对深度可通过测量其俯仰角确定，因此为简化问题只考虑二维空间的定位。由于是一发多收的定位系统，以发射站为原点建立基于TDOA 信息的T-Rn型多基地声呐系统定位模型几何图如图1 所示。

图1 T-Rn 型多基地声呐系统定位模型几何图Fig.1 Geometric diagram of positioning model of T-Rn multistatic sonar system

1.1 定位模型定义

在T-Rn型多基地声呐系统中，由1 个发射站和n个接收站组成，发射站为发声声源，通常用T表示，其坐标为(xT,yT)；接收站是接收从发射站发射的声源信号经由目标反射后的信号并将其转化为接收信息的装置，通常用R表示，其中有多个接收站时接收站分别用Ri表示，坐标为(xi,yi)；假设理想状态下第i个接收站的接收信息为从发射站发射的声波经由目标反射接收的时延信息ti，根据时延信息ti可以计算出发射站到目标的距离rT和第i个接收站到目标距离ri的和，需要定位的目标用符号S表示，其坐标为(xS,yS)。

1.2 基于TDOA 的定位模型

建立基于TDOA 信息的T-Rn型多基地声呐系统目标定位方程，假设有N个测量时延信息的接收站Ri(i∈1,2,...,N)，声速用c表示，可以得到定位方程为：

在实际定位过程中，其发射站、接收站的站址和接收时间都可能产生误差，因此需要对上述理想条件的定位方程作变换，因此作如下假设：

1）发射站及接收站站址误差分为X轴误差和Y轴误差；

2）所有误差均为先验信息，且为均值为0 方差已知的相互独立的误差；

3）在通过时延信息计算距离时，声速保持不变。

通过以上假设，可以将上述理想定位方程化为带误差的定位方程：

其中，(xi,yi)(i∈1,2,...,N)表示接收站Ri的真实坐标，(Δxi,Δyi)表示接收站Ri的站址误差，(xT,yT)表示发射站T的真实坐标，(ΔxT,ΔyT)表示发射站T的站址误差，t～i表示发射站到接收站Ri的实际观测时间，Δti表示其时间误差。

由于在实际中各项误差很小，因此可以忽略其中二次项的误差，同时为计算方便，将发射站定为坐标原点，即有(xT,yT)为(0,0)，将上式进行线性化简，可以得到线性方程组如下：

1）观测时间误差

由于声源在水中传播时会有环境噪声和衰减[6]，从而导致接收到的观测时间与实际观测时间有误差，用wi_Δt表示观测时间为的接收时间误差，由式（3）可得：

2）接收站的站址误差

在多基地定位系统中，接收站所在的平台可能为水下固定节点、水中UUV 或是水面船只调放的接收装置，其在水中位置不像在陆地或空中做到位置实时精确，同时不同平台其产生的误差也各不相同，用wi_R表示接收站Ri的站址误差，由式（3）可得：

其中方程组中的每个Δxi和Δyi(i∈1,2,...,N)相互独立不相关，但在同一个接收站中Δxi和Δyi有相同大小的方差。

3）发射站址误差

发射站同接收站一样存在站址误差，用wT表示发射站T的站址误差，由式（3）可得：

其中，ΔxT和ΔyT为独立同分布的误差，有相同的方差。

由此每个接收方程中的误差可以表示为：

将上述三元一次方程组化为矩阵形式：

2 定位算法及误差分析

针对上述模型，要求解出目标的坐标，可分为线性方法和非线性方法。仅分析线性算法，其主要有3 种，分别为最小线性二乘法（LLS）、加权最小线性二乘法(W L L S) 和两步加权最小线性二乘法(2-WLLS)，其定位精度也是逐渐提高。目标的定位误差主要是以定位精度的几何解释（GDOP）[7]表示，其可以作为衡量定位算法好坏的一个指标。

2.1 最小二乘法

上述模型为线性矩阵，为求出目标的坐标，当只知道误差矩阵均值为零的随机分布，而其方差未知时，为求出无偏估计，则最小二乘法的解XLLS需满足该方程组的残差平方和最小，即有：

据此可以求出XLLS的表达式为：

为分析该算法的定位精度好坏，可以用GDOP 作为指标，其定义为：

其中，(xS,yS)为目标真实坐标点，()为算法估计点，为求出最小二乘法的GDOPLLS的值，可以将上述模型的两边同时乘一个(ATA)-1AT，则有：

代入上述根据最小二乘法得到的定位结果，即有：

根据上式，可以看出XLLS为无偏估计，并有：

所以有最小二乘法的GDOP 为：

2.2 加权最小二乘法

由于上面的最小二乘法是在误差矩阵未知其方差时的最优线性解，而当已知误差矩阵的方差时，则可以将其利用起来构建加权最小二乘法，则加权最小二乘法的解XWLLS需满足该方程组加权后的残差平方和最小，即有：

其中，K为误差权值矩阵，根据参考文献[8]有:

据此可以求出XWLLS的表达式为：

利用同样的方式在定位模型的两边乘以(ATKA)-1ATK后代入K=[E(WTW)]-1，可以算出加权最小二乘法的GDOP 为：

其中，PWLLS=(ATKA)-1，PWLLS,11和PWLLS,22分别为PWLLS矩阵对角线上的第1 个和第2 个元素。由于加权最小二乘法相比于最小二乘法，多用到了误差矩阵的方差信息，因此当误差矩阵中每个元素的方差不相等时，其加权最小二乘法优于最小二乘法；当误差矩阵中每个元素的方差相同时，则2 个算法的结果相同。若误差矩阵的方差相等，根据误差计算公式可以看出，其不仅与初始的误差有关，还与目标位置有关。因此总体来说，加权最小二乘法要优于最小二乘法。

2.3 两步加权最小二乘法

在加权最小二乘法求出的自变量XWLLS为3×1 的矩阵，其中不仅包括了目标的横纵坐标，同时还包括目标到发射站距离的信息。为充分利用模型中的信息进行求解，可以在求得XWLLS的基础上，将求得的xS_WLLS,yS_WLLS,rS T_WLLS作为新的观测信息，进一步构造线性方程组，求出更为精确的定位目标。为此可以构造如下线性方程组：

据此可以求出两步加权最小二乘法的定位结果为：

为求解两步加权最小二乘法的GDOP，在第2 个线性[方程组的]两边乘以(K2A2)-1K2G2后联立K2=E()-1可以得到两步加权最小二乘法的GDOP 为：

其中，tr(·)表示求矩阵的迹。

分析可知，两步加权最小二乘法是在加权最小二乘法的基础上利用了自变量矩阵中的目标到发射站的距离信息，因此其性能也要优于加权最小二乘法。

2.4 影响算法优劣因素的分析

通过分析利用信息的角度，得出了在未知误差分布时，线性二乘法为最优线性算法，在已知误差分布时，两步加权最小二乘法为最优算法。定义平均为在定位区域内的平均误差值，以此为指标衡量算法的优劣，表达式为：

其中：S为系统的定位区域；M为在定位区域内定位目标数目。

由于每个线性方程中的误差不同，同时根据前面对误差表达式的推导可以看出，在每个线性方程中的误差不仅与系统产生的误差有关，还与目标与发射站和接收站的距离有关，其距离越远，误差也越大，因此导致线性方程组中的误差分布不均匀，为衡量不均匀度，定义误差的平均值和不均匀度η为：

通过对3 个算法GDOP的分析，可以看出主要因素包括以下3 个部分：线性方程中wi的大小、线性方程中wi的不均匀度和接收站的数量。其中wi越大，则3 个算法中的越大；随着接收站的数量增加，接收到的信息也越多，使得3 个算法中的也越小；最小二乘法的不均匀度ηLLS越大则其越大，而针对另外2 种算法由于利用了误差信息进行加权，所以受到的影响较小。为验证理论分析结果，进行仿真分析。

3 仿真分析

3.1 观测时间误差对算法影响

为分析观测时间误差对算法的影响，将4 个接收站接收的观测时间误差分别设为：0.8 ms，3 ms，6 ms 和9 ms 并逐渐增加，图2 为不同观测时间误差下3 种算法的比较结果。

图2 3 种算法 与观测时间误差关系图Fig.2 Relationship between and observation time error of three algorithms

3.2 接收站站址误差对算法影响

为与前面的观测时间误差比较，将每个接收站的站址误差设为和观测时间误差一致，分析接收站站址误差对算法的影响。将4 个接收站的站址误差分别设为：1.2 m，4.5 m，9 m 和13.5 m 并逐渐增加，图3 为不同接收站站址误差下3 种算法的比较结果。

图3 3 种算法与接收站站址误差关系图Fig.3 Relation diagram between of three algorithms and site error of receiving station

3.3 发射站站址误差对算法影响

为与前面的观测时间误差和接收站站址误差比较，分析发射站站址误差对算法的影响。将发射站的站址误差设为7.05m 并逐渐增加。由于在T-Rn型多基地声呐系统中发射站只有一个，当误差仅为发射站站址误差时其E(WTW)为奇异矩阵，从而导致权值误差矩阵K无法计算，解决方法是在E(WTW)的基础上加一个单位矩阵，据此得到不同发射站的站址误差下3 种算法平均GDOP 值的比较结果，如图4 所示。

图4 3 种算法与发射站站址误差关系图Fig.4 Relation diagram between of three algorithms and site error of transmitting station

3.4 误差不均匀度对算法影响

根据仿真研究可以看出，观测时间误差对定位算法的影响最大，因此为分析误差不均匀对3 种算法的影响时，以观测时间误差为变量进行研究，保持观测时间误差的平均值为5 ms 不变，设置6 组误差不均匀度不同的情况进行仿真，其具体参数设置如表1 所示。

表1 参数设置Tab.1 Parameter setting

图5 3 种算法与 η关系图Fig.5 Relation diagram between andη of three algorithms

4 结 语

本文建立T-Rn型多基地声呐的定位几何模型，在基于TDOA 时间信息进行定位时，分析模型中存在的3 种误差的计算公式，并根据模型分别推导了在未知误差信息和已知误差的条件下的最优线性算法以及相应的表达式。以为指标，两步加权最小二乘法的定位效果最好。利用Matlab 进行数值仿真，比较模型中3 种误差对线性算法的影响。从仿真结果看，观测时间误差对定位精度影响最大；线性方程组中误差不均匀度对最小二乘法的影响最大，同时两步最小二乘法随误差不均匀的增加而减少。研究成果可为T-Rn型多基地声呐系统的总体设计、站址配置和误差分析提供理论支撑，为T-Rn型多基地声呐系统基于方位角、TOA等信息进行定位时提供分析思路，同时可为后续Tn-Rn型多基地声呐系统的研究奠定基础。由于水下环境的复杂性以及在未来的联合定位探测中，多基地系统的误差信息并未是完全已知或完全未知的，因此下一步将研究已知部分误差信息的多基地系统定位误差问题。