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特殊四边形运动型问题探究

2023-04-16张颖

初中生学习指导·中考版 2023年4期
关键词:对称轴对角线四边形

张颖

动点问题是近几年各地中考的热点,特殊四边形存在性问题是其中一类常见题型.下面带领同学们探究此类问题的常见考点及解题思路.

考点提炼

考点1:特殊四边形的判定定理

解题思路:结合分类标准,依据平行四边形、矩形、菱形的判定定理,寻找四边形确定位置.对于平行四边形,当已知线段为边时,通常使用定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,先将直尺的边缘与已知边重合摆放,通过平移直尺找到合适位置.当已知线段为对角线时,通常使用定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,先将直尺过已知线段中点摆放,通过旋转找到合适位置.对于矩形,通常使用定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”,先构造直角三角形,再构造平行四边形.对于菱形,通常使用定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”,先构造等腰三角形,再构造平行四边形.

易错点:不能灵活有效地利用题目中的已知条件结合判定定理构造所求图形;构造过程中情况分析不完整,存在丢解的情况.

解题要点:在分析题目时关注已知线段与未知线段的数量位置关系,寻找四边形确定位置.当已知线段为边时,利用直尺从已知位置向不同方向平移,动态观察对边长度变化趋势.当已知线段为对角线时,利用直尺绕已知线段中点旋转180°,动态观察另一条对角线是否可以达到被平分的效果,最终确定图形位置.

考点2:特殊四边形的性质定理

解题思路:对于平行四边形运动问题通常使用以下两条性质进行求解:“平行四边形的对边平行且相等”“平行四边形的对角线互相平分”.从图形中抽取出一组线段,利用其数量及位置关系进一步构造全等三角形或相似三角形,最终通过对应边关系求解问题.而矩形和菱形是特殊的平行四边形,在解决动点问题时通常将矩形分解成直角三角形和平行四边形,将菱形分解成等腰三角形和平行四边形.

易错点:方法选择不当,运算复杂,导致计算准确率低.

解题要点:利用图形性质,寻求变化过程中一组线段的不变数量关系和位置关系,转化成方程,进行合理求解.

真题精讲

例1 (2022·重庆)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线[y=-34x2+bx+c]与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交AB于点M,求[PM+65AM]的最大值及此时点P的坐标.

(3)在(2)的條件下,点P′与点P关于抛物线[y=-34x2+bx+c]的对称轴对称.将抛物线[y=-34x2+bx+c]向右平移,使新抛物线的对称轴l经过点A,点C在新抛物线上,点D在l上,直接写出所有使得以点A,P′,C,D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标,并把求其中一个点D的坐标的过程写出来.

分析:(1)将点A,B坐标分别代入抛物线解析式,解方程组即可;

(2)利用△AQM∽△AOB,得 [AM=53MQ],设P [p,-34p2+bp+c],用含p的代数式表示出[PM+65AM],利用二次函数的性质求出答案;

(3)先求出新抛物线的解析式,再利用已知线段AP'分别为边或对角线进行分类讨论,用对边平行且相等构造全等三角形列方程(组),从而解决问题.

解:(1)抛物线的函数表达式为[y=-34x2+94x+3].

(2)∵A(4,0),B(0,3),∴OA = 4,OB = 3. 由勾股定理得AB  =  5.

∵PQ⊥OA,∴PQ[⫽]OB,∴△AQM ∽ △AOB,∴[AMAB=MQOB],

∴[AM=53MQ],∴[PM+65AM=PM+2MQ].

∵B(0,3),A(4,0),∴直线AB的解析式为[y=-34x+3].

设P [p,-34p2+94p+3],M [p,-34p+3],Q(p,0),

∴[PM+2MQ=-34p2+32p+6=-34p-12+274].

∵[-34<0],∴抛物线开口向下.

∵0 < p < 4,

∴当p  =  1时,[PM+65AM]的最大值为[274],此时P [1,92] .

(3)[y=-34x2+94x+3=-34x-322+7516],

所以抛物线对称轴为直线x  =  [32],

∴P'[2,92] .

由题意知新抛物线的对称轴为直线x  =  4,

∴平移后抛物线解析式为[y=-34x-42+7516=-34x2+6x-11716].

设D(4,m),C [n,-34n2+6n-11716],

①如图2,AP'为对角线时,AP'与CD互相平分,

∴[2+4=4+n,0+92=m-34n2+6n-11716.]

∴[n=2,m=4516.] ∴D [4,4516].

②如图3,AP'为边时,AP'与CD平行且相等,

可得D [4,- 4516]或[4,9916].

综上,D [4,4516]或[4,- 4516]或[4,9916].

点评:此题点D的位置虽然不确定,但是由于点D和点A同时在对称轴上,所以也可以以AD为边或对角线进行分类讨论.

总结提升

解特殊四边形动点问题,应先根据题目特点确定分类标准,再利用相关判定定理,寻找四边形的确定位置,最后利用四边形性质灵活求解.

专题精练

例2 如图4,在平面直角坐标系中,经过点A(4,0)的直线AB与y轴交于点B(0,4).经过原点O的抛物线[y=-x2+bx+c]与直线AB交于点A,C,抛物线的顶点为D.点P是抛物线上一动点,Q是平面直角坐标系内一点. 是否存在以点A,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解析:易得抛物线的解析式为[y=-x2+4x],直线AB的解析式为[y=-x+4],C(1,3).

①如图5,若AC是矩形的边,设抛物线的对称轴与直线AB交于点R(2,2),过点C,A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1,P2,可得CD2 + CR2 = DR2,∴∠RCD = 90°,∴点P1与点D重合,当CP1[⫽]AQ1,CP1 = AQ1时,四边形ACP1Q1是矩形,则P1(2,4),Q1(5,1),此时直线P1C的解析式为y = x + 2. 可得P2A的解析式为y = x - 4,由点P2是直线y = x - 4与抛物线[y=-x2+4x]的交点,可得P2(-1,-5),则Q2(-4,-2).

②如图6,若AC是矩形的对角线,设P3(m,-m2 + 4m),当∠AP3C = 90°时,过点P3作P3H⊥x轴于H,过点C作CK⊥P3H于K,∴∠P3KC = ∠AHP3 = 90°,∠P3CK = ∠AP3H,∴△P3CK∽△AP3H,∴[P3KCK=AHP3H],∴[-m2+4m-3m-1=4-m-m2+4m],∵点P不与点A,C重合,∴m ≠ 1且m ≠ 4,∴m2 - 3m + 1 = 0,∴[m=3±52].

∴满足条件的点P有两个,即[P33+52,5+52 ,P43-52,5-52],由平移可得[Q37-52, 1-52],[Q47+52,1+52].

综上,点Q的坐标为(5,1)或(-4,-2)或[7-52, 1-52]或[7+52,1+52].

(作者单位:大连理工大学附属学校)

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