高冬

抛物线背景下根据定角（角的度数或三角函数值已知）求动点坐标是中考的热点. 此类问题考查角度灵活，解题方法多样，具有较强的综合性. 针对角的顶点为定点的情况，本文从“构图—转化”的角度，归纳出解决此类问题的一类通法.

考点提炼

考点1：定角的一边与x轴或y轴平行（或在x轴、y轴上）

构图思路：过动点作x轴或y轴的垂线，构造直角三角形.

例1 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y = -x2 + 2x + 3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，当tan∠COP = [12]时，请直接写出点P的横坐标.

解题思路：OC边在y轴上，过动点P作y轴的垂线，构造直角三角形. 如图1，当点P在y轴的右侧时，作PE⊥y轴，垂足为点E，设点P坐标为（m，-m2 + 2m + 3），在Rt△OPE中利用tan∠COP = [12]列方程求解. 当点P在y轴的左侧时，如图2，同法可求出点P的横坐标. 答案：2 - [7]或[3].

易错点：审题不清，导致丢解；坐标与点到线的距离混淆，如在例1中点P在y轴的左侧时，将PE的长表示为m.

考点2：定角的边与x轴或y轴不平行

构图思路：先以定角的顶点和已知边上的一个定点构成的线段为直角边，构造以定角为三角形内角的直角三角形，再以构造的直角三角形为基础构造“弦图”.

例2 如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y = -x2 + 2x + 3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，D为抛物线顶点，连接OD，点P是抛物线上一点，当∠ODP = 45°时，请直接写出点P的横坐标.

解题思路：定角的边与坐标轴不平行，构“弦图”. 如图4，当点P在OD的右侧时，先构造以OD为直角边、∠ODP为内角的直角三角形，即作OE⊥OD，交DP的延长线于点E；再以Rt△ODE为基础构造“弦图”，即分别过点E，D作EF⊥y轴，DG⊥y轴，垂足分别为点F，G，则可证△ODG≌△EOF，所以OG = FE，DG = OF. 因为点D坐标可求，所以OG，DG可求，所以可得点E坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，最后利用直线DE与抛物线的解析式联立方程组求出点P的横坐标. 当点P在OD的左侧时，如图5，用同样的思路可求出点P的横坐标. 答案： [83]或[25].

易错点：审题不清，导致丢解，比如在例2中只考虑点P在OD的右侧.

例3 在例2中，若点P是抛物线对称轴上一点，连接CD，当tan∠DCP = 2时，请直接写出点P的坐标.

解题思路：构图方式及求解思路同上，如图6，通过构造弦图，根据Rt△CDF∽Rt△DEG求点E的坐标. 答案： [1，83] .

解题要点：构造弦图，列方程求解.

当定角不是特殊角时（本文把30°，45°，60°的角称为特殊角），一般先根据隐含的已知条件将定角割補为特殊角，再构造直角三角形用三角函数列方程求解.

例4 在例2中，连接BC，点P在BC右侧，当∠BCP = 75°时，请直接写出点P 的横坐标.

解题思路：75°角不是特殊角，可挖掘题中隐含条件进行转化. 如图7，由y = -x2 + 2x + 3可得OB = OC，所以∠OCB = ∠OBC = 45°，因为∠BCP = 75°，所以∠OCP = 120°，过点P作PE⊥y轴，垂足为点E，则∠PCE = 60°，设点P坐标为（m，-m2 + 2m + 3），在Rt△CPE中，利用tan∠PCE = [PECE=3]列方程求解. 答案： [6-33].

例5 在例2中，连接CD，若点P在对称轴右侧的抛物线上，当∠DCP = 15°时，请直接写出点P的横坐标.

解题思路：15°角不是特殊角，挖掘题中隐含条件，添加辅助线构图，将15°角转化为特殊角. 根据已知条件，可求得点D坐标为（1，4），点C坐标为（0，3），如图8，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF = CF = 1，所以∠DCF = 45°，所以∠PCF = ∠DCP + ∠DCF = 60°，根据“定角的一边与x轴或y轴平行（或在x，y轴上）”的构图思路，过点P作PE⊥y轴于点E，设出点P坐标，在Rt△CPE中利用三角函数列方程求解. 答案：[6-33].

解题要点：构造直角三角形，灵活转化.

真题精讲

例6 （2022·湖北·黄冈）抛物线y = x2 - 4x与直线y = x交于原点O和点B，与x轴交于另一点，顶点为D.

（1）直接写出点B和点D的坐标；

（2）如图9，连接OD，点P为x轴上的动点，当tan∠PDO = [12]时，求点P的坐标.

解题思路：（1）由x2 - 4x = x可求点B坐标；由抛物线解析式y = x2 - 4x可求点D坐标.

（2）点P是x轴上动点，分类讨论：如图10，当点P在OD的右侧时，由点D（2，-4）可直接过点D作x轴的垂线；如图11，当点P在OD的左侧时，∠ODF没有与坐标轴平行的边，可依托已知的OD构造Rt△ODF，再构造弦图，根据△OFG∽△DOP1求出点F坐标，再利用待定系数法求直线DF的解析式，然后把x = 0代入直线DF的解析式即可求出点P2的坐标.

答案：（1）B（5，5），D（2，-4）；（2）P1（2，0），P2 [-103，0].

总结提升

总体来看，解决抛物线背景下的定角问题，要关注以下问题.

1. 要有数形结合的思想，要善于挖掘隐含条件. 比如，在抛物线y = -x2 + 2x + 3的背景中要注意隐含的等腰直角三角形.

2. 要有分类讨论的思想，当动点位置不明确时，注意分类讨论.

3. 要有方程思想，将求动点坐标转化为方程问题.

4. 无论定角有无与坐标轴平行的边或有无边落在坐标轴上，构图的关键都是向x轴或y轴作垂线，通过添加垂线进而构造弦图或直角三角形求解.

（作者单位：兴城市第三初级中学）