福建省武夷山市第二中学

林梦雨

1 试题呈现

图1

(2022湖北黄冈中考模拟)

问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，将△CAE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，AD的延长线交边BF于点P.

问题探究：(1)探究EP，FP之和与BP之间的数量关系.

①先将问题特殊化，如图2，当CE⊥AD时，直接写出EP，FP之和与BP之间的数量关系；

②再探究一般情形，如图1，当CE不垂直AD时，证明①中的结论仍然成立.

图2

图3

拓展探究：(2)如图3，若AD的延长线交BF的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示EP，FP，BP之间的数量关系.

2 考点及特征分析

本题是一道几何探究问题，以旋转为知识载体，探求几何图形在特殊情况和一般情况下的性质，问题由易到难，逐层深入.思考模式为：利用上一个问题的解决方法来类比解决下一个问题.如果不能解决，就把两个问题结合起来分析，找出不能类比的原因和“不变”特征，围绕“不变”特征进行新的探索.本题第①问易上手，利用旋转的性质，以及正方形、全等三角形等知识点就可以解决；第②问类比第①问的处理方式构造正方形，经过两次全等即可解决. 第(2)问，同样是在同一位置构造正方形，证两次全等，只不过过程与前两问不完全一致而已，结论由“线段之和”改成了“线段之差”，但解题所用的方法、知识基本相同. 此类题目体现“特殊与一般”，运用类比思想探究科学解决问题的基本思路，是促进学生深度学习，培养学生理性思维的较好素材.

3 试题解析

经过探究与思考，发现本题解法较多，签于篇幅有限，笔者重点分析最具研究价值的第(2)问，现整理如下.

解法1：设元思想.

图4

点评：解法1思路简单、清晰.由旋转得对应角相等和对顶角相等，直接得到相似三角形对应边成比例.由直角三角形联想到勾股定理，在线段相等的转换处理中，运用了设而不求的方程思想，转换非常巧妙，大道至简.

解法2:作垂证正方形.

图5

如图5，过点C作CH⊥AP交于点H，过点C作CM∥AP交BF的延长线于点M，则四边形CHPM为矩形.证△CEH≌△CFM，得到四边形CHPM为正方形.再证△CHD≌△BPD,得CH=BP.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.

点评：解法2延续了第①问的解题思路，类比特殊情况构造正方形解题.满分的学生大部分都是用这种方法，亦属本题的自然解法.

解法3:截长法，移花接木.

图6

如图6，在AE上截取一点P′，使得EP′=PF，过点C作CH⊥AP交于点H.易证△CEP′ ≌△CFP，得CP′=CP，∠P′CP=90°，则BP=CH=PH=P′H.

故EP+FP=EP+EP′=PP′=2CH=2BP.

解法4:补短法.

图7

点评：解法3和解法4思路来源于证明线段之间的和差关系，联想到截长补短法. 截长补短法也是初中阶段最为常见、最为经典的解决线段和差问题的策略.

解法5:“K字型”全等.

图8

如图8，过点C作MN∥AP，分别过点E，F作MN的垂线，垂足为点M，N.易证四边形EMNP是矩形，得EP=MN，DP∥CN.又由D为BC中点，可知点P为BN中点.易证△ECM≌△CFN，得CM=FN，CN=EM.则EP=MN=MC+NC=FN+PN=BP-FP+BP，即EP+FP=2BP.

点评：由等腰直角三角形联想到构造一线三垂直“K字型”全等，由中点和平行得到中位线，从而将线段之间的关系进行转换.

解法6:四点共圆.

图9

如图9，过点C作CH⊥AP交于点H，CM⊥BF交BF的延长线于点M.由∠ACB=∠APB=90°，得点A，C，P，B四点共圆，则∠CBA=∠CPD=∠CPF=45°.由角平分线性质，得CH=CM，从而得到四边形CHPM为正方形.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.

点评：由共斜边且在同侧的两直角三角形联想到四点共圆，再运用圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质得到CP为∠FPA的角平分线.此法看似简单，但对四点共圆及圆的性质要掌握得非常熟练，富有创新性，有鲜明特点，值得点赞.

4 解题反思

4.1 了解类比综合题特点

近几年，类比拓展探究问题越来越频繁出现在各类考试中.因为它既能很好地考查《义务教育数学课程标准》中对学生知识要求的掌握情况，也能更好地考查学生活学活用的能力，即能否把书本知识很好地迁移、拓展到新的问题情境之中. 这样的题型一般多以大题出现，涉及知识点较多，与图形变换知识有关，对学生运用知识的能力要求较高.

正如美国数学家G.波利亚所言：“类比是一个伟大的引路人.”类比探究问题的解决策略，将一般条件与特殊条件相结合，由特殊情形过渡到一般情形；或由简单到复杂，逐步深化；解决问题的思想方法一脉相承.体现了“条件类似，图形结构类似，解法类似”的特点.

解决类比探究问题的方法是类比.如，类比辅助线，类比思路，将特殊情形中的问题解决方法类比到一般情形中去.对比前后条件的变化，寻找并利用不变特征，类比方法，类比图形特征，进行推理求证. 正如德国天文学家、数学家开普勒曾指出：“我重视类比胜过任何别的东西，他是我最依赖的老师，在几何学中它应该不容忽视.” 因此，培养学生解决类比问题的解题策略、解题信心、解题心理及解题方向至关重要.

4.2 一题多解，培养创新素养

创新素养是初中生的核心素养，是现代数学教学的基本任务，独立思考、理性思考是创新的核心与关键.面对问题，认真审题是解题的基础.可以由已知向结论推理，或由结论向已知推证；或者从两边向中间追寻，寻找已知与结论之间的桥梁，由题目的已知条件能够挖掘出什么重要结论，由条件能联想到什么，由结果还能联想到什么.

一题多解是目前一般学校数学教学研究的方向，在课堂中一般都有体现.它是一种过程性变化变式教学，在实际应用教学中，也特别关注学生数学能力的有效提升.特别强调教师要结合数学问题，将条件与结论不断进行转换，凸显自身对不同教学模拟内容、方法的不同理解.这有利于学生知识方法的巩固，数学思想的发展，创新意识的提升.

总之，在平时教学中，教师要了解学生知识与能力的起点，明晰学生的困难与需要，不能浮光掠影，而应深度揭示题目的内涵，挖掘思想品质，提升思维品质.