卢宁

方法1：利用二次根式的非負性进行化简求值.

例1 若y = [x2-4] + [4-x2] + 3，求[yx]的值.

解析：[a]具有双重非负性，即[a] ≥ 0，a ≥ 0．

∵x2 - 4 ≥ 0，4 - x2 ≥ 0，∴4 - x2 = 0，∴x = ±2，

∴y = 3，∴[yx] = 9或[19]．

方法2：利用乘法公式及运算法则进行化简求值.

例2 计算（2 - [3]）2022 × （2 + [3]）2023.

解析：化简二次根式，不仅可以利用平方差公式和完全平方公式，还可以利用已经学过的所有的乘法法则和运算律.

原式 = [（2 + [3]）（2 - [3]）]2022 × （2 + [3]） = （4 - 3）2022 × （2 + [3]） = 2 + [3]．

例3   化简[7+43]．

解析： 将4[3]转化为2[4×3=24×3]后，正好可以和7 = 4 + 3凑成一个完全平方式. 而当被开方数恰好是一个完全平方式时，就可以利用被开方数的非负性，直接开方，并用绝对值的形式表示. 若为正数，则等于它的本身；若为负数，则等于它的相反数.

∵4[3] = 2[22×3] = 2[4×3] = 2[4] × [3]， 7 = 4 + 3 = （[4]）2 + （[3]）2，

∴[7+43] = [（4）2+24×3+（3）2] = [（4+3）2] = 2 + [3]．

方法3：利用三角形三边关系进行化简求值.

例4   已知a，b，c分别为△ABC的三条边，化简[（a-b+c）2-（a-b-c）2]．

解析：三角形三边关系有“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”. 我们可以利用三角形的三边关系确定代数式的正负性. 若为正数，则等于它本身；若为负数，则等于它的相反数. 同时，本题还利用了二次根式的被开方数的非负性，被开方数开出来时要等于它的绝对值.

∵a，b，c分别为△ABC的三条边，∴a + c - b > 0，a - b - c < 0，

∴原式 = [[（a+c）-b]2-[a-（b+c）]2=（a+c）-b-a-（b+c）]

= a + c - b - b - c + a = 2a - 2b.

方法4：利用分母有理化进行化简.

例5 化简 [122-3]．

解析：分母有理化时应用平方差公式即可，也就是分子和分母同时乘一个与分母构成平方差公式的另一部分，使得分母由无理数变成有理数.

[122-3] = [22+3（22-3）（22+3）] = -2[2-3]．

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：8分钟

请同学们试一试，用学过的方法技巧完成下面习题：（答案见本页）

1. 若xy是实数，且[y=x-4+4-x+3]，则[12xy]的值为 .

2. 化简：（4 + [3]）（12 - 3[3]）.

3. 实数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，化简

[（b-a）2+a-c-（b-c）2-b]．

4. 计算： [12+1+13+2+14+3+] … + [1100+99] .