章挺

排列组合问题是近几年高考数学试题中的常考内容之一.排列组合问题有很多种类型，如相邻问题、不相邻问题、分组问题、分配问题等，其中不相邻问题是指要求某些元素不相邻排列的问题，即将n个不同的元素排成一排，求其中k（） k≤n-k+1个元素互不相邻的排列数.解答此类问题的主要方法是插空位法.

运用插空位法解答不相邻问题的步骤为：

題目中要求5名儿童不相邻，则需采用插空位法解题，先将无限制条件的元素（5位母亲）进行全排列；再将不相邻的元素（5名儿童）插入已排好的元素（5位母亲）之间的空位及两端的位置上.

例2.将A，B，C，D，E， 5名同学按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数.

（1）5名同学排成一排，且A，B不相邻；

（2）5名同学排成一排，且A，B都不与C相邻；

（3）若一排有6个座位，将5名同学安排到其中的5个座位上，且A，B不相邻.

根据分类计数原理可知，满足条件的排列方法共有432+48=480种.

问题（1）中要求5名同学排成一排且A，B不相邻，则需先将无限制条件的C，D，E排好，再将A，B插入已排好的3名同学之间的空位中，即可确保A，B不会相邻.问题（2）中要求A，B都不与C相邻，则需先将不受限制的D，E排好，然后将A，C插入已排好的同学之间的空位中，最后按要求将B插入已排好的同学之间的空位或两端.对于问题（3），需先将A，B，C，D，E排好，再将一个空位插入.该题与问题（1）都要求A，B不相邻，但问题（3）中除了要求A，B中间隔着C，D，E之外，还可需要考虑空位的位置，因此，需要分情况进行讨论.

总之，利用插空位法求解不相邻问题需要注意以下两点：

1.要注意分辨清楚哪些是要求不相邻的元素，哪些是要求相邻的元素，不能混淆了；

2.要理清已排好元素之间的空位到底有几个，有时需加上两端的空位，有时不需要.

（作者单位：江苏省沭阳如东中学）