南京师范大学附属中学树人学校 刘密贵

概念是数学逻辑的基础，是学生认知数学的起点.在初中数学的课型中，概念教学往往难度较大.如何突破这个教学难点呢？

卜以楼老师指出，数学概念教学，要重视概念的生长过程，生长过程源于概念产生的事实背景.所以，教师要选择适切的问题情境，引导学生亲历建立数学概念的思维之路，领悟数学概念形成、生长之魅力[1].

受此启迪，笔者以苏科版八年级上册“ 一次函数(第1课时)”为例，进行了实践和思考.

1定位与设计

1.1 教学内容

在初中阶段，学生会学习一次函数、反比例函数、二次函数，这三种函数都是基于代数式的结构来定义的.《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出“教师应把握数与式的整体性”[2]，这个整体性完全可以延伸到函数的教学中.

笔者将本节内容设置为“举出不同的函数实例，根据表达式的结构初步认识不同种类的函数；初步认识一次函数(正比例函数)”，引导学生从宏观的角度鸟瞰初中阶段的函数全貌.

1.2 主问题串设计

(1)你能发现身边的函数吗？

(2)你能找到结构不同的函数吗？

(3)根据表达式的结构，将以上函数分类.

(4)哪些函数是一次函数(正比例函数)？

2 实践与说明

2.1 身边的函数

问题1我们班共29人，有1位同学缺勤，实到28人.这里其实就蕴涵着函数关系，你发现了吗？

师生活动：

生1：如果缺勤的同学有x人，实到y人，那么①y=29-x.

师：y是x的函数吗？为什么？

生2：是的，因为对x的每个值，y都有唯一的值与它对应.

师：很好！另外，该函数源于实际，还应确定自变量的取值范围，这里的x可以取哪些值呢？

生3：x是一个正整数，并且1≤x≤29.

说明：该实例是贴近学生实际的一次函数，学生容易理解和接受.一次函数是函数的外延，从实例出发，感受实例中函数的特征是形成概念的必经之路.

问题2我们的身边有形形色色的函数，你能再举出一个函数的实例吗？

师生活动：学生举出函数的实例，并说出表达式，老师板书并引导学生继续思考.

生4：一个水池原来有水50 m3，如果放水速度是5 m3/h，且放水xh后还有ym3.那么②y=50-5x.

生5：汽车油箱里有40 L汽油，行驶过程中每小时耗油2 L，如果行驶xh后油箱里剩余yL油，那么③y=40-2x.

师：请看①～③式，怎么感觉它们非常像？

生6：它们都是一个总量减去x的倍数.

师：难怪这么像，结构都一样！那么大家能举出和它们结构不同的函数吗？

说明：教师没有给出材料而是让学生自主发现，这样做是为了真实呈现学生的理解水平.看到学生举例的办法是换情境，教师指出以上函数的“同”，引发学生对“不同”的追索.

2.2 不同的函数表达式

问题3继续举出函数的实例，要求函数表达式的结构与以上不同.

师生活动：学生举例，老师板书并引导生思考.

生7：一颗小树高60 cm，假设它每年长高10 cm，如果x年后小树高为ycm，那么④y=60+10x.

师：哦，有变化了！从“减”到“加”了！不过它们的结构仍可以看作是相同的，大家试着从代数式的类型来看一看.

生8：29-x，50-25x，40-2x，60+10x都是多项式，并且都是一次二项式.

师：有没有函数的表达式不是一次二项式呢？

(课堂陷入了沉默中.)

师：想不出来不着急，我们一起来看个例子.(教师画出两个边长为x的正方形.)

师：第1个正方形，若y是它的周长，那么……

生：⑤y=4x.

师：在第2个正方形中，若y是它的……

生：若y是它的面积，那么⑥y=x2.

看到不同的代数式了吗？再想一想，试一试.

说明：什么是表达式的结构？学生刚开始的认识比较模糊，通过教师指明“代数式的类型”，学生对“结构”的认识开始明晰.由于生活经验不足，学生很难想到不同的实例.教师的举例让学生转变视角，从单薄的生活现实回归到熟悉的数学现实中.

生9：一个棱长为x的正方体，它的体积是y，那么⑦y=x3.

师：大家很棒！以上例子几乎已经涵盖了初中阶段所有可能出现的函数.

2.3 不同种类的函数

问题4观察我们刚才写出的10个函数，根据代数式的类型，你能给它们分类并命名吗？

①y=29-x； ②y=50-25x；

③y=40-2x； ④y=60+10x；

⑤y=4x； ⑥y=x2；

师生活动：教师请学生在黑板上写出代数式的分类图(图1)，学生自行尝试.教师巡视发现多数学生能依据代数式类型对10个函数进行简单分类，少数学生能类比图1画出图2.

图1

图2

学生普遍认为⑩是分式函数，⑧⑨是无理函数，多数学生认为⑤～⑦是单项式函数，①～④都是多项式函数.在此基础上，学生进行了如下讨论.

讨论1：

生13：刚才我们说①～④都中代数式都是一次二项式，整式既有项数(单项式项数是1)又有次数，所以只根据项数分类是不全面的，还可以按式子的次数分类，比如①～⑤都是一次函数，⑥是二次函数，⑦是三次函数.

生14：还可以根据次数、项数两个标准交叉分类，比如⑤是一次一项函数，①～④都是一次二项函数，⑥是二次一项函数.

讨论2：

师：发现得好！这告诉我们，将表达式化简到底，才能看到它的真面目.

综上，可将函数①～⑧的归类整理成下表1.

表1

说明：这个环节中还隐藏着一个问题，那就是对整式函数的划分，项数和次数哪个更重要.

2.4 一次函数

师生活动：通过阅读补充材料，学生知道正比例函数的命名来自小学阶段“正比例关系”.在定义的基础上，学生体会两种函数的关系，并举出一些不同的一次函数例子.

问题5正比例函数和一次函数二者之间有什么关系？我们学习过类似的关系吗？

生16：正比例函数是特殊的一次函数.

生17：像这样的特殊与一般的关系还有很多，比如，正方形是特殊的长方形，整数是特殊的有理数，有理数是特殊的实数……

问题6我们已经举了很多一次函数的例子，你觉得一次函数能举得完吗？

生18：举不完.因为系数、常数是无穷无尽的.

师：可以用什么代表无穷无尽、千变万化呢？

生：字母！

师：对，字母表示数！谁来试试看？

生19：y=ax+b(a，b为常数，a≠0).(括号是在其他学生提示下加的.)

师：由于正比例函数中的自变量系数又叫做比例系数，常用k表示.于是约定：

定义2一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.

特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0))，y叫做x的正比例函数.

例1表2中，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？如果是，指出k和b的值；如果不是，指出函数的类型.

表2

师生活动：教师引导学生总结要先把一次函数写成一般形式后再确定k和b的值.

例2已知一次函数y=-2x+3.

(1)当x为何值时，y=0？

(2)当x为何值时，y>2？

师生活动：教师引导学生发现当y的值确定时，实际上得到了关于x的一元一次方程、一元一次不等式，学生初步体会方程、不等式、函数之间是可以互相转化的.

2.5 结语

师：今天这节课拉开了丰富多彩的函数世界的帷幕，我们会从一次函数开始踏上认识函数、理解函数、应用函数的征程.

3 反思与提炼

数学概念不但是数学认知的基础，还是积累数学活动经验的载体，为培养学生“三会”提供了得天独厚的思维平台.概念教学不仅是教学任务，还是教学机遇.

3.1 概念形成需要多元化的实例——真

概念的形成常始于从实例抽象，而限于篇幅，教材中往往给出的都是符合概念的完美例子.在概念教学中，应该鼓励学生举出多元化的例子，学生在对比和冲突中自发摒弃不完美的例子，从而聚焦于完美例子，是概念形成的最好的模样.事实上，这指向了学生概念学习的一个重要要素——“真”.

3.2 概念形成要回归到概念体系中去——贯与破

数学概念之间有严密、精确的关联，任何一个概念总是概念体系中的一点，它们不是孤立、凭空而生的，新概念的形成往往既有“一以贯之”(合理性)，又有“破而后立”(必要性).

“贯”是内部和谐，“破”是外部需求，回到概念体系中认识贯与破，恰是概念教学的核心任务.

“贯”是继承，“破”是创造，其实哪个概念的形成不是贯与破的共舞呢！

3.3 概念形成不妨兼顾周边概念——穷

函数的外延不止有一次函数，还有反比例函数、二次函数等.在学习一次函数概念时，由于出现了不同类型的实例，因此完全可以顺势而为，穷尽不同的同级概念.本节课中，同级概念的提出，不但无损于一次函数概念的形成，反而通过对比强化了彼此的理解.

在概念形成的过程中，“真”是土壤，“穷”是花园，“贯、破”是阳光雨露，萌发的是学生思维之芽，绽放的是学生思维之花，结出的是学生思维之果，而教师在这个生长过程中，只需培土、浇水、维护，是一个护花使者.

进一步看，“真”指向以生为本的人文教育观念，“贯、破”指向数学教学特有的结构意识，为教学提供了生长视角，“穷”指向无限可能的生长课堂.

概念是这样开花的，开花的不止是概念，还有学生思考的心灵.