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关于函数极值问题的注记

2023-03-23吕伟

科技风 2023年7期
关键词:边界点极小值驻点

吕伟

山东省菏泽市郓城县黄泥冈镇初级中学 山东郓城 274700

极值理论是高等数学函数理论中的重要内容,函数极值反映了函数形态的一个重要特性。极值问题一直是数学理论中研究函数问题的重要内容之一,在科学和生产实践中存在着许多和极值有关的问题。比如在工农业生产、自然科学、工程技术和经济发展这类问题中出现的最大产量、最大收益、最小成本、最大利润等一系列问题,其实质都是函数极值问题,都可以利用极值理论和方法予以解决。因此,极值理论不仅具有抽象的理论意义,也是解决实际问题的重要方法和手段。

在教学过程中我们发现,很多学生对极值点的种类、极值(点)与最值(点)的关系等问题会产生疑惑,并且很多高等数学或微积分教材中对这类问题也没有进行有针对性的分析、讲解。一些相关专家、学者从不同角度对这类问题进行了探讨[1-12,14-16],本文针对在教学、学习极值理论过程中出现的上述问题进行进一步的探讨,以期为今后的教学和学习提供帮助和参考。

极值问题和极值理论通常可分为一元函数和多元函数两种情形。我们主要以一元函数为例进行探讨,相关结论也相应地被推广到了多元函数的情形。

1 函数极值的性质

首先,我们要明确极值、最值及相关概念。本文中,我们以I表示数轴上的某一区间。

定义1.1[13]设R为实数集合,x0∈R,δ>0均为实数,称开区间(x0-δ,x0+δ)为点x0的δ邻域,记作U(x0,δ)。x0称为该邻域的中心,δ称为该邻域的半径。

定义1.4 设函数f(x)在I上有定义,x0是I上一点。若对任意的x∈I,有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)是f(x)在I上的最大值(或最小值),x0称为f(x)在I上的最大(小)值点。最大值与最小值统称为最值,最大值点与最小值点统称为最值点。

由上述关于极值与最值的定义,我们可以得到函数f(x)在I上的极值与最值具有如下性质。

注记1.1 (1)极值是一个局部概念,最值是一个全局性概念。也就是说,极值是函数在一点的某一小邻域内的最大值或最小值,但最值是函数在区间I上的最大值或最小值。

(2)极值只能在区间I的内部取到,但最值可能在I的内部取到,也可能在I的边界点处取得,除非I是不包含边界点的开区间。这是因为,I的边界点不存在以其为中心的邻域,由定义1.3知,函数在I的边界点没有极值。

(3)极值在区间I上可能是不唯一的,但最值在I上若存在必是唯一的。

2 函数极值点的种类

首先给出驻点的定义和极值的必要条件。

定义2.1[13]设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0,δ)内有定义,且在x0处可导,若f′(x0)=0,则称x0为f(x)的驻点。

引理2.1[13]设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则f′(x0)=0。

引理2.1告诉我们,可导函数f(x)的极值点必是其驻点,但函数的驻点却未必是其极值点,具体例子见下面的例2.1。

另外,函数也可能在不可导的点处取得极值,具体例子见下面的例2.2。

下面我们再给出判断函数在驻点和不可导点取得极值的一个充分条件。

(1)若x∈(x0-δ,x0)时,f′(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值;

(2)若x∈(x0-δ,x0)时,f′(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)时,f′(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值;

该充分条件说明,若导数f′(x)在邻近点x0的左、右两边符号不同,则f(x0)是极值,否则不是极值。

例2.1 设函数f(x)=ex3-1的驻点,并判断f(x)的驻点是否为极值点。

由以上的讨论我们可以得到关于一元函数极值点的如下性质。

注记2.1 函数f(x)在区间I上的极值点包括两类点:驻点和不可导的点,但这两类点未必都是极值点。

3 函数最值点的种类及其与极值点的关系

由极值与最值的定义及注记1.1、注记2.1,我们可以得到关于一元函数f(x)在区间I上的极值与最值的如下性质。

注记3.1f(x)的最值若在I的内部取到,则其一定也是相应的极值;f(x)的最值若在I的边界点处取到,则其不是极值。反之,区间I上的极值可能是最值,也可能不是最值。

注记3.2f(x)在I上的最值点与极值点的关系如下:

我们以一个具体的例子来说明上述两个结论。

例3.1 已知函数:

试求f(x)在区间I=[-2,4)上的极值与最值。

解 由f(x)的表达式,可得:

利用引理2.2容易判断,x1=1是极大值点,x2=-1是极小值点,x3=3是极小值点。且f(-2)=5,f(-1)=0,f(1)=4,f(3)=0。故f(x)在区间[-2,4)上的极小值为f(-1)=f(3)=0;极大值为f(1)=4;最大值为f(-2)=5;最小值为f(-1)=f(3)=0。

4 多元函数极值问题的情形

在这部分内容里,我们以二元函数为例说明在学习和处理多元函数极值问题时应注意的问题。首先我们给出平面(R2)上一点邻域的概念。

定义4.1[13]设P0(x0,y0)是xoy平面上一点,δ是某一正数,与点P0(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体,称为点P0的δ邻域,记作U(P0,δ),即:

U(P0,δ)={P||PP0|<δ}

其中,P0(x0,y0)称为该邻域的中心,δ称为该邻域的半径。

由邻域的定义我们知道,平面上点P0的δ邻域是以点P0为中心,以长度δ为半径的开圆面,它实际上是一维情形中的开区间的推广。

在邻域这一概念的基础上,我们再给出在讨论多元函数问题时常用到的概念,即区域。

定义4.2[13]设P是平面R2上任意一点,E∈R2是平面上任意一点集。如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)⊂E,则称点P为E的内点。

定义4.3[13]如果点集E的点都是E的内点,那么称E为开集。

定义4.4[13]如果点集E内任何两点,都可以用折线连接起来,并且该折线上的点都属于E,那么称E为连通集。

定义4.5[13]连通的开集称为区域或开区域。

定义4.6[13]开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。

利用邻域和区域的概念,可以把一元函数极值与最值的概念推广到多元函数的情形,这里我们不再赘述这些概念,有需要的读者可参阅文献[13]等相关资料。

下面我们给出二元函数极值的必要条件和充分条件。

引理4.1[13](必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0。

我们称使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,同时成立的点(x0,y0)为函数f(x,y)的驻点。

引理4.2[13](充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数,又fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,记fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则有如下结论成立:

(1)当AC-B2>0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值。且当A<0时取极大值;当A>0时取极小值。

(2)当AC-B2<0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处不取极值。

(3)当AC-B2=0时,无法判断函数f(x,y)是否在点(x0,y0)极值,需要利用其他方法来判断。

显然,引理4.2只能用来判断二元函数是否在其驻点处取得极值。

仿照一元函数的情形,我们可以得到关于二元函数极值和最值的如下性质。

注记4.1 函数z=f(x,y)在区域D上的极值点包括两类点:驻点和不可导的点,但这两类点未必都是极值点。

注记4.2 针对引理4.2中的第三种情形和偏导数不存在的点,我们可以利用极值的定义来判断。

我们利用下面的例题说明注记4.2。

例4.1 设函数f(x,y)=x2+y2-2xy,试判断驻点是否为函数的极值点。

解 由已知,fx(x,y)=2x-2y,fy(x,y)=2y-2x。故该函数的驻点为直线y=x上的任意点(x,x)。又沿直线y=x上的点A=fxx(x,y)=2,B=fxy(x,y)=-2,C=fyy(x,y)=2。

这样,AC-B2=0,引理4.2无法判断该函数的驻点是否为极值点。但我们可以把函数整理为f(x,y)=(x-y)2,显然对y=x上的点(x,y)=(x,x)的任一邻域内的其他点(x,y)(x≠y),都有f(x,y)=(x-y)2>f(x,x)=0。因此,按照极值的定义知道,该函数的驻点是其极大值点,极大值为0。

因此,按照极值的定义,函数在(0,0)处取得极小值。

对多元函数极值的其他性质,可以仿照注记1.1和注记3.1给出,我们在此也不再赘述。

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