李文秋 唐彦娜 刘雅琳 王刚

(中国科学院空天信息创新研究院,北京 100190)

采用考虑粒子温度各向异性热等离子体介电张量模型,借助磁化、均匀密度分布等离子体中电磁波的一般色散关系,在低磁场、低气压螺旋波等离子体典型参量条件下,理论分析了电子温度各向异性对电磁模式传播特性和角向对称模功率沉积的影响.研究结果表明: 对于给定的纵向静磁场B0 (或波频率ω),存在一个临界波频率ωcr (或纵向静磁场B0,cr),当ω ＞ ωcr (或B0 ＜ B0,cr)时,电子回旋谐波遭受的阻尼开始显著增大;相比粒子温度各向同性情形,粒子温度各向异性彻底改变了波的传播特性,即相位常数和衰减常数均出现峰值现象;在考虑电子有限拉莫尔半径效应和电子温度各向异性情形下,Trivelpiece-Gould (TG)波碰撞阻尼在整个电磁波功率沉积中占据主导地位,电子纵向温度Te,// 存在某一临界值,在此临界值处TG 波功率沉积出现峰值Pabs,TG,且随着Te,⊥/Te,// 的减小,此功率沉积峰值 Pabs,TG 逐渐增强.

1 引言

在磁层中倾斜于背景磁场传播的无界Whistler 波,可通过电子回旋共振机制加热电子[1-4],其电磁模分支在有界、磁化条件下演化为螺旋波(helicon)[5],该螺旋波可渗入等离子体内部传播而产生高密度等离子体[6-8].自1985 年首次在实验中观测到高密度(≥ 1×1013cm-3)特性以来[9],螺旋波等离子体即得到广泛的应用,在NASA 的NextSTEP(next space technologies for exploration partnerships)先进空间电推进系统(包含VASIMR(variable specific impulse magnetoplasma rocket),ELF(electrodeless Lorentz force)和Nested Hall电推进系统)项目中,螺旋波等离子体源被用来产生初级低温等离子体[10-16];在半导体电路刻蚀中,螺旋波等离子体源被用来刻蚀产生纳米级高分辨率芯片[17-19];在核聚变应用领域中,借助高功率螺旋波等离子体源产生的高密度氘等离子体,研究者们正在分析等离子体-材料表面互作用机理[20-23].尽管关于螺旋波等离子体的应用已经十分深入,但其高密度特性背后的物理机制至今仍未完全被揭示[24-27],1991 年,Chen[28]提出朗道阻尼(Landua damping)机制,认为螺旋波是通过朗道阻尼机制产生高能电子从而实现波能量的沉积;后来,Chen和Blackwell[29,30]通过测量螺旋波等离子体中的电子能量分布函数,发现螺旋波放电中并不存在强朗道阻尼产生的高能电子,因此推翻了朗道阻尼加热机制.2002 年,Kline 等[31]发现在螺旋波等离子体中存在由静电慢波的局域低杂化共振离子朗道阻尼引起的离子加热现象.2006 年,在高频螺旋波等离子体中,Eom 等[32]在实验中发现当静磁场低于某一阈值时,存在由螺旋波向TG(trivelpiecegould)波的模式转换现象.2012 年,Tarey 等[27]在综合分析的基础上发现低气压(0.2—0.3 mTorr,1 Torr=133 Pa)情形下存在的热电子可能是由TG 波的朗道阻尼机制导致.2020 年,Cho[33]通过理论分析发现螺旋波和TG 波在功率沉积中的占比受到模式转换和碰撞频率的影响.2014 年,赵高等[34]通过实验研究了螺旋波等离子体的放电特性,观测到电子密度在射频功率增加过程中出现两次大幅增大.2019年,平兰兰等[35]通过计算程序,分析了静磁场强度和中心等离子体密度对功率沉积及其分布的影响.

作为螺旋波等离子体中被观测到的电子温度各向异性现象[36,37],其与波功率沉积之间的关系至今未有研究.为详尽研究螺旋波等离子体中高密度现象背后的物理机制,本文采用热等离子体介电张量模型,在螺旋波等离子体典型参量条件下,分析了电子温度各向异性对波传播和功率沉积特性的影响,所得结果为进一步理解螺旋波等离子体高密度物理机制提供了线索.

2 理论模型

螺旋波天线放电产生径向密度均匀分布的等离子体柱,其被厚度可忽略的玻璃管包裹,半径r=a的等离子体柱浸没在纵向(定义沿Z轴为纵向,用符号// 表示;垂直于z轴方向为横向,用符号⊥表示)静磁场中,玻璃管外为真空.假定等离子体柱中的离子携带单位正电荷,且具有有限温度.图1 所示为螺旋波等离子体柱示意图.

图1 螺旋波等离子体柱示意图Fig.1.Cross section of helicon plasma column.

在麦克斯韦分布等离子体中,假定波矢k在rz平面,在粒子温度各向异性和粒子存在纵向漂移速度情形下,等离子体介电张量的元素可表示为[38]

在均匀密度、磁化等离子体中传播的电磁波,其具有如下一般色散关系[42]:

式中κ ∧,κ ∨及κ∠为等离子体介电张量元素;k0=ω/c,c为光速;R=κ∧+κ∨;L=κ∧-κ∨.在无界等离子体中,(10)式对应Whistler 波的色散关系,它有两个关于横向波数k⊥的分支: 具有较小横向波数的电磁分支和具有较大横向波数的静电分支;对应在有界等离子体中,电磁分支演化为螺旋波,而静电分支演化为TG 波.对于右手圆极化占主导地位的Whistler 波,其传播方向平行于纵向静磁场,由此得到其色散关系:

注意到(11)式忽略了粒子的有限拉莫尔半径效应,但包含所有的回旋谐波次数,且考虑粒子纵向漂移速度的影响.

得到如下关于描述电磁波传播的微分方程:

求解(14)式,分别得到等离子体柱内和外部真空区域中的磁场纵向分量[44]:

利用边界条件,磁场切向分量在分界面连续,得到描述等离子体中关于本征电磁模式的色散关系:

元素由表1 给出.

表1 色散关系元素Table 1.Elements of dispersion relation.

在螺旋波等离子体中,波的能量沉积通常由粒子间的碰撞效应和动理学效应引起,其中动理学效应引起的阻尼机制主要包含朗道阻尼和回旋阻尼(cyclotron damping),纵向热速度略小于电磁波相速的粒子通过共振作会吸收波的能量造成波衰减,这称为朗道阻尼;在垂直于外部磁场方向上作回旋运动的粒子,当其回旋频率与平行于磁场传播的电磁波频率相同时,可以与粒子发生共振,形成波的回旋阻尼.这些阻尼机制在不同的参量情形下起着不同的作用,由这些阻尼机制产生的波功率沉积可由下式给出:

本文仅研究角向对称模(m=0)的能量沉积特性,在计算过程中,首先采用寻根函数fsolve 求解超越色散方程(18)式,然后借助横向波数得到精确场分布,最后利用(19)式计算波的功率沉积.本文假定工质气体为氩气(A=40),射频波频率为13.56 MHz,等离子体柱半径a=3 cm,离子-电子纵向温度比Ti,///Te,//=0.1 .

3 数值计算与结果分析

在分析波功率沉积特性之前,先对螺旋波等离子体中存在的两种典型波模式之间的耦合特性进行分析.在ω/ωce=0.1参量条件下,利用(10)式,计算得到不同气压条件下Whistler 波静电(electro static,ES)分支与电磁(electro magnetic,EM)分支的耦合曲线.图2 显示,在当前高密度、低磁场参量情形下,ES 分支与EM 分支在模式耦合层(mode coupling surface,MCS)发生模式耦合;每个纵向波数对应两个横向波数,ES 分支具有较大横向波数,EM 分支具有较小横向波数;随着工质气体气压的增大,模式耦合层的位置发生明显改变,但在典型螺旋波等离子体温度条件下,工质气体气压的增大并未明显改变静电波与电磁波的传播特性,这表明工质气体气压对Whistler 波的传播影响并不显著.

图2 Whistler 波色散特性Fig.2.Dispersion characteristic of whistler wave.

由于碰撞阻尼和回旋阻尼的存在,导致计算得到的纵向波数具有复数形式,即k//=β+jα,其中β为相位常数(单位为rad/cm),α为衰减常数(单位为Np/cm).基于(11)式,忽略粒子纵向漂移速度,在n0=1×1013cm-3,B0=48 Gs (1 Gs=10—4T),Te,//=3 eV 及p=1 mTorr 参量条件下,计算得到Whistler 波的n=1 次回旋谐波的相位常数和衰减常数如图3 所示,从图3 可以看到,在给定的参量区间ω/ωce∈(0,0.4) 内,对于相位常数,其幅值从参量区间初始处便随着波频率的增大而陡峭变大;而对于衰减常数,则存在一个阈值 (ω/ωce)cr,低于此阈值,波阻尼极其微小可以忽略,而超过此阈值时,波遭遇的阻尼开始显著增大.当电子温度各向异性因子Te,⊥/Te,//=0.5 时,图3 显示波在归一化频率阈值 (ω/ωce)cr≈0.1 处开始遭受显著阻尼,当Te,∧/Te,//变 为1.0 和1.5 时,(ω/ωce)cr分别变为0.15 和0.28;另一方面,对于给定的归一化频率(ω/ωce),电子横向温度越大,波的阻尼强度越小,这是因为当电子横向温度大于纵向温度时,电子与波的互作用时间主要发生在横向,这时回旋阻尼是主要的波能量衰减机制,而由于回旋阻尼在当前参量条件下并不显著,所以衰减常数幅值相比温度各向同性条件下要小;而当电子横向温度小于纵向温度时,电子与波的互作用时间主要发生在纵向,这时碰撞阻尼和朗道阻尼是主要的波能量衰减机制,在当前参量条件下,纵向的碰撞阻尼和朗道阻尼强度大于横向的回旋阻尼,所以衰减常数幅值相比温度各向同性条件下大.

图3 电子温度各向异性对Whistler 波n =1 次回旋谐波传播常数的影响 (实线代表相位常数,虚线代表衰减常数)Fig.3.Effect of electron temperature anisotropy on the propagation characteristic of the n =1 electron cyclotron harmonic (the solid lines represent the phase constant,and the dashed lines represent the attenuation constant).

忽略粒子纵向漂移速度,在n0=1×1013cm-3,p=1 mTorr,Te,⊥=Te,//=3 eV 参量条件下,Whistler波n=1,2,3 次回旋谐波的传播常数随纵向静磁场(以ω/ωce形式给出)的变化特性如图4 所示.结果表明: 在给定波频率条件下,随着纵向静磁场逐渐减小(ω/ωce逐渐增大),n=1,2,3 次回旋谐波的衰减常数在不同阈值 (ω/ωce)cr处开始显著陡升,而相位常数在变量区间初始处便开始陡升;同时注意到,当纵向静磁场逐渐减小时,n=1 次回旋谐波最先遭遇回旋阻尼,且在3 个谐波的回旋阻尼中占据主导地位.

图4 电子温度各向同性情形下n=1,2,3 次回旋谐波传播常数对纵向静磁场的依赖关系 (实线代表相位常数,虚线代表衰减常数)Fig.4.Dependence of propagation characteristic of the n=1,2,3 electron cyclotron harmonics on magnetic field in the case of electron temperature isotropy (the solid lines represent the phase constant,and the dashed lines represent the attenuation constant).

为进行对照,分析电子温度各向异性对不同谐波回旋阻尼的影响,采用与图4 一样的参量条件,在电子温度各向异性因子Te,⊥/Te,//=0.1 条件下,n=1,2,3 次回旋谐波的传播常数随纵向静磁场(以ω/ωce的形式给出)的变化关系如图5 所示.由图5 可知,在变量区间ω/ωce∈(0,0.5),对于n=1次回旋谐波,随着纵向静磁场逐渐减小(ω/ωce逐渐增大),相位常数先增大后减小,在ω/ωce≈0.11处取得峰值;而衰减常数所代表的回旋阻尼在ω/ωce≈0.11 处开始剧烈陡升,当ω/ωce＞0.3 时趋于平稳.与n=1 次回旋谐波情形类似,n=2,3 次回旋谐波的相位常数也在不同ω/ωce处取得峰值,衰减常数在不同ω/ωce处开始显著增大.联合分析相位常数和衰减常数曲线可以发现,衰减常数显著陡升和相位常数出现峰值两者对应的横坐标ω/ωce非常接近.这些现象结合图4 表明: 电子温度各向异性从根本上改变了波的传播特性,即电子温度各向异性的存在使得各次回旋谐波分别对应一个最佳的纵向静磁场强度,在此最佳纵向静磁场强度下,各个回旋谐波开始遭受显著回旋阻尼.

图5 电子温度各向异性情形下n =1,2,3 次回旋谐波传播常数对纵向静磁场的依赖关系 (实线代表相位常数,虚线代表衰减常数)Fig.5.Dependence of propagation characteristic of the n =1,2,3 electron cyclotron harmonics on magnetic field in the case of electron temperature anisotropy (The solid lines represent the phase constant,and the dashed lines represent the attenuation constant).

作为影响回旋谐波阻尼特性的两个重要参量,电子温度各向异性和纵向漂移效应可能对波产生显著的衰减效应.在n0=1×1013cm-3,ω/ωce=0.3,p=1 mTorr,Te,//=3 eV 参量条件下,计算得到两个参量对回旋谐波衰减常数的影响结果如图6 所示.在忽略粒子纵向漂移速度条件下,图6(a)所示为电子温度各向异性对n=1,2,3 次回旋谐波衰减特性的影响,由图6 可知,在变量区间Te,⊥/Te,//∈(0.01,10),随着Te,⊥/Te,//的增大,3 个回旋谐波的衰减常数均单调减小,且在Te,⊥/Te,//=1处急剧减小,之后3 个回旋谐波在不同的Te,⊥/Te,//临界值处衰减常数降至零.这是因为,当电子横向温度远小于纵向温度(Te,//=3 eV)时,波在横向遭受的回旋阻尼非常弱,此时波遭受的阻尼主要来自纵向的碰撞效应和朗道阻尼效应;当电子横向温度大于纵向温度时,波遭受的阻尼主要来自横向的回旋阻尼,而由于回旋阻尼在当前参量条件下非常弱,故随着Te,⊥/Te,//的持续增大,波遭受的阻尼急剧减小.在粒子温度各向同性条件下(Te,⊥/Te,//=1),图6(b)所示为纵向漂移效应对3 个回旋谐波衰减特性的影响,与图6(a)中的曲线变化特性类似,图6(b)显示3 个回旋谐波的衰减常数均随着电子纵向漂移速度的增大而单调减小.这是由于电子纵向漂移速度的存在扰动了波的相速、电子热速度及回旋频率之间的共振平衡条件,从而造成回旋阻尼和朗道阻尼效应的减弱,且随着漂移速度的逐渐增大,这种扰动越发严重,图6(b)说明当漂移速度超过电子热速度时,波的回旋阻尼和朗道阻尼变得非常微弱.

图6 n =1,2,3 次回旋谐波衰减常数随 (a) 电子温度各向异性和 (b) 电子纵向漂移速度的依赖关系Fig.6.Dependence of attenuation constant of the n =1,2,3 electron cyclotron harmonics on (a) the electron temperature anisotropy and (b) electron parallel drift velocity.

在计算螺旋波与TG 波功率沉积之前,首先有必要对介电张量元素中的有限拉莫尔半径效应因子进行详细分析.n0=1×1013cm-3,p=1 mTorr,Te,//=3 eV,Te,⊥/Te,//=0.1 参量条件下,在变量区间ω/ωce∈(0.01,0.3),图7 中的计算结果显示:在典型螺旋波等离子体电子温度条件下,由于螺旋波与TG 波的横向波数不相等,故有限拉莫尔半径效应因子存在两个不同的分支,螺旋波对应的螺旋模分支(H-mode branch)和TG 波对应的TG 模分支(TG-mode branch);当归一化频率ω/ωce逐渐增大(即静磁场B0逐渐减小)时,螺旋波与TG 波开始靠近模式耦合层,即两种波的横向波数逐渐相等,这表现为两个有限拉莫尔半径效应因子分支开始合二为一.值得注意的是,在典型低磁场条件下,例如B0=48 Gs (ω/ωce=0.1)时,TG 波对应的有限拉莫尔半径效应因子λe≈0.025,且随着纵向静磁场的减小,λe进一步变大,这说明在低磁场条件下,在计算波功率沉积过程中,必须考虑有限拉莫尔半径效应的影响.

图7 螺旋波与TG 波有限拉莫尔半径效应因子随归一化静磁场的变化关系Fig.7.Dependence of the FLR effect parameter of helicon and TG waves on the normalized static magnetic field.

联合图4 和图5 结果可知,随着纵向静磁场的减小,n=1 次回旋谐波在B0≈48 Gs 处最先遭遇回旋阻尼,忽略n≥2 次回旋谐波在阻尼计算中的贡献,因为它们在更低的静磁场值处出现回旋阻尼,而这些更低的静磁场情形不属于本文的讨论范围.基于此,在考虑有限拉莫尔半径效应和n≤1次回旋谐波的情形下,在n0=1×1013cm-3,B0=48 Gs,p=1 mTorr,Te,⊥/Te,//=0.1,v0,ℓ/vthℓ,//=0.1参量条件下,图8 所示为螺旋波与TG 波碰撞阻尼、朗道阻尼及回旋阻尼产生的功率沉积随纵向电子温度的变化关系.由图8 可知: 在当前低磁场条件下,螺旋波与TG 波碰撞阻尼产生的功率沉积在典型螺旋波等离子体电子温度范围内扮演主导作用,特别是 TG 波碰撞阻尼产生的功率沉积占据主导地位;而由朗道阻尼及回旋阻尼产生的波功率沉积完全可以忽略.这是因为在当前低磁场情形下,产生朗道阻尼的波相速和电子热速度之间的共振效应不明显,同时,由波频率、电子回旋频率及电子热速度之间的共振效应产生的回旋阻尼亦不是主要的波能量沉积机制,此时碰撞阻尼机制成为波能量沉积的主要方式;另一方面,在当前低磁场(B0=48 Gs)条件下,由于TG 波可渗入等离子体内部传播,电子在其电场中加速后通过碰撞效应将电磁波能量传递给等离子体.

图8 波功率沉积随纵向电子温度的变化Fig.8.Wave power deposition versus parallel electron temperature.

为更详细分析螺旋波与TG 波碰撞阻尼产生的功率沉积特性,在n0=1×1012cm-3,B0=48 Gs,Te,//=5 eV,p=1 mTorr,v0,ℓ/vthℓ,//=0.1参量条件下,图9 和图10 分别为低磁场条件下螺旋波和TG 波碰撞阻尼产生的功率沉积对电子温度各向异性因子的依赖关系.对于螺旋波,从图9可以看出,随着电子横向温度的增大,螺旋波碰撞阻尼产生的功率沉积更加聚焦在等离子体柱中心区域.而对于TG 波,图10 表明其由碰撞阻尼产生的功率沉积特性对电子温度各向异性的依赖关系较为复杂,在电子温度各向同性(Te,⊥/Te,//=1)条件下,功率沉积在某些半径值处取得较大值,在中心处出现峰值;而在电子温度各向异性情况下,当电子横向温度小于纵向温度(Te,⊥/Te,//=0.1)时,功率沉积在某些半径值处的强度减弱,当电子横向温度大于纵向温度(Te,⊥/Te,//=10)时,功率沉积在某些半径值处的强度变得可以忽略,功率沉积聚焦在中心处很小的半径范围内.这些结果说明电子温度各向异性对螺旋波和TG 波的功率沉积的影响并不相同,这可能是由于两种波的传播特性不同而致,螺旋波作为一种平行于外界静磁场方向传播的右手圆极化波,粒子温度各向异性对其传播影响较小;而TG 波本质上是一种倾斜于外界静磁场方向传播的准静电波,其对粒子温度参量空间分布的变化较为明显.这为深入研究螺旋波等离子体中由参量不稳定引起的湍流加热现象提供了切入点.

图9 螺旋波碰撞阻尼产生的功率沉积径向分布 (a) Te,⊥/Te,//=0.1;(b) Te,⊥/Te,//=1;(c) Te,⊥/Te,//=10Fig.9.Collisional damping induced radial power deposition distribution of the helicon wave: (a) Te,⊥/Te,//=0.1;(b) Te,⊥/Te,//=1;(c) Te,⊥/ Te,//=10.

图10 TG 波碰撞阻尼产生的功率沉积径向分布 (a) Te,⊥/Te,//=0.1;(b) Te,⊥/Te,//=1;(c) Te,⊥/Te,//=10Fig.10.Collisional damping induced radial power deposition distribution of the TG wave: (a) Te,⊥/Te,//=0.1;(b) Te,⊥/Te,//=1;(c) Te,⊥/Te,//=10.

基于以上分析,可以看出在低磁场、低气压条件下,TG 波在功率沉积中占有主导地位,为分析电子纵向温度Te,//和电子温度各向异性因子Te,⊥/Te,//对TG 波功率沉积的影响,在n0=1×1012cm-3,B0=60 Gs,p=1 mTorr,v0l/vthl,//=0.1参量条件下,图11 给出了TG 波功率沉积在(Te,//,Te,⊥/Te,//)变量区间的分布特性.由图11 可知,随着电子纵向温度Te,//的增大,功率沉积逐渐增大,在Te,//≈10 eV 处功率沉积出现峰值;另一方面,当电子纵向温度Te,//≈10 eV 给定,随着电子横向温度Te,⊥逐渐减小,功率沉积逐渐增强.这表明电子纵向温度和电子温度各向异性因子两者共同决定了TG 波的功率沉积特性;在变量空间(Te,//,Te,⊥/Te,//),存在某一临界点,在此临界点,TG 波的功率沉积取得峰值.这一临界点的位置是碰撞阻尼、朗道阻尼及回旋阻尼这3 种阻尼共同作用的结果;而功率沉积的峰值的大小,则取决于3 种阻尼在波功率沉积中各自占的比重,以及哪种波在主导功率沉积.

图11 TG 波功率沉积在 (Te,//,Te,⊥/Te,//) 空间的分布 (a) 三维分布;(b) 二维分布Fig.11.(Te,//,Te,⊥/Te,//) space power deposition distribution of TG wave: (a) 3D;(b) 2D.

4 结论

在磁化、均匀密度分布螺旋波等离子体中,考虑粒子热效应、纵向漂移速度及温度各向异性情形下,理论分析了螺旋波等离子体典型参量条件下Whistler 波的传播特性及低磁场、低气压条件下螺旋波与Trivelpiece-Gould 波的功率沉积特性.1)在电子温度各向同性情形下,不同回旋谐波的衰减常数在不同纵向静磁场阈值处开始显著单调增大,而相位常数则在初始即显著陡升;在电子温度各向异性情形下,不同谐波衰减常数显著增大时对应的纵向静磁场阈值变小,且衰减常数和相位常数不再单调变化,均存在峰值现象,衰减常数显著陡升和相位常数出现峰值两个现象步调一致.这是因为粒子温度各向异性彻底改变了波-粒互作用过程,在横向、纵向不同方向上主导波-粒互作用过程的回旋阻尼、朗道阻尼及碰撞阻尼,共同决定电磁波在给定参量条件下所遭受的阻尼强度.2)随着电子横向温度的增大,波遭受显著阻尼对应的纵向静磁场阈值变大,而波遭受的阻尼强度变小.这是由于随着电子横向热速度的增大,波-粒共振效应所需的回旋磁场强度也应增大,但回旋阻尼本身并不一定能够主导整个功率沉积过程.3)考虑电子有限拉莫尔半径效应,在低磁场、低气压条件下,分析结果表明TG 波碰撞阻尼产生的功率沉积在典型螺旋波等离子体电子温度范围内占据主导地位;且存在某一临界电子纵向温度值,使得在此临界值处TG 波的功率沉积出现最大值,随着电子横向温度的减小,TG 波的功率沉积峰值逐步增大,这说明相比纵向的碰撞阻尼和朗道阻尼产生的功率,回旋阻尼产生的功率沉积可以忽略.这可能是因为TG 波作为一种电子回旋波,其在当前低磁场情形下主要通过碰撞效应将波的能量传递给粒子.这些结论为揭示螺旋波等离子体高密度特性背后的物理机制提供了重要的理论线索.