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例析直角三角形中30°角的作用及构造方法

2023-03-14甘肃省平凉市泾川县第四中学

中学数学杂志 2023年4期
关键词:构造方法平分直角

甘肃省平凉市泾川县第四中学

吕银录

直角三角形中30°角是一个特殊的角,当其出现在一些几何题中时,往往需利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”解题.这一知识点很多学生已经掌握,但在利用时还不够灵活,只能解决一些简单的计算或证明题.而对于与其有关的综合问题,学生则表现得比较被动,尤其是不知如何构造出直角三角形中的30°角.基于此,本文重点谈一谈这个问题,希望对学生有所帮助.

1 直角三角形中30°角的作用

直角三角形中30°角的出现,往往意味着边与边之间存在一定的数量关系,或者角与角之间也存在着某种数量关系[1].直角三角形中30°角的作用主要体现在以下两个方面.

1.1 求边长

“求边长”主要依靠“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”体现,在使用时通常要注意几个问题:首先,该性质在直角三角形中使用;其次,30°角所对的直角边等于斜边的一半,不是其他边之间的关系.如例题1:

图1

例1如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AM平分∠BAC交BC于点M,且AM为15cm.求BC的长.

分析:本题有价值的条件较多,其中利用直角三角形中30°角解决问题是关键.

解:∵∠C=90°,∠BAC=60°,AM平分∠BAC交BC于点M,

∴∠CAM=∠BAM=30°,∠B=30°.

又∵AM=15,

∴BC=BM+CM=15+7.5=22.5(cm).

如上述,利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”解题时,首先要注意是否在直角三角形中,然后要找准是30°角所对的直角边等于斜边的一半,而不是其他边等于斜边的一半.很明显,从本题的解题过程来看,这两个方面都处理得当.

1.2 求角的大小

如果一个直角三角形或其他三角形中出现了30°角,那么通常可求出150°,60°,15°等角,其中求出角度为60°的情况居多,因为这可与等腰三角形、等边三角形等知识点融合起来对学生形成综合考查.如例题2:

图2

例2如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB.

求证:(1)AB=2BC;

(2)CE=AE=EB.

分析:(1)要想证明AB=2BC,已知∠ACB=90°,只需证明∠A=30°即可.

(2)利用等腰三角形及等边三角形的判定定理求证即可.

证明:(1)∵CD,CE三等分∠ACB且∠ACB=90°,

∴∠1=∠2=∠3=30°.

又∵CD⊥AB,

∴∠B=60°.

∴∠A=30°

在Rt△ABC中,∠A=30°,

∴AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

(2)由(1)可知∠A=∠1=30°.

∴CE=AE,∠CEB=∠A+∠1=60°.

又∵∠BCE=∠2+∠3=60°,∠B=60°,

∴△BCE是等边三角形.

∴CE=EB.

∴CE=AE=EB.

从本题的解题过程来看,直角三角形中30°角的两大作用在这里得到了充分体现.第(1)小题是利用直角三角形中30°角计算边长,而第(2)小题是利用其计算角度大小,继而得出三角形为等边三角形.

2 直角三角形中30°角的构造方法

由于直角三角形中的30°角具有“它所对的直角边等于斜边的一半”的性质,所以常利用构造含30°角的直角三角形,得到图形中更多的边角关系.

纵观这类题目,有些30°是在已知条件中直接告知,有些题目则没有告知,但是可通过其他途径构造出30°角.通常有以下几种情况:

(1)如果题目当中出现了一个角为60°,那么可借助角平分线将该角平分得到30°角;也可通过作垂线等方式构造直角三角形的方式得到30°角,这主要是利用了直角三角形两锐角互余的性质.

(2)如果题中出现了120°角,那么可以将之视为顶角,然后构造出相应的等腰三角形,这样也可得到30°角[2];或者将120°角分为30°和90°两个角,同样可以得到30°角.

(3)如果题目条件是150°角,那么直接将这个角的其中一条边延长,即可得到其补角30°.

(4)如果题中条件是15°,那么可以将之视为底角,然后构造出相应的等腰三角形,这样得到了顶角的外角为30°的等腰三角形[3].

事实上,无论何种方法,都是从以下两个方面构造直角三角形中的30°角.

2.1 在三角形内部构造

图3

例3如图3所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,DE=2.求BC的长.

分析:由AB=AC,∠BAC=120°,可知等腰三角形ABC的两个底角都是30°,连接AD,得到另一个以30°角为底角的等腰三角形和一个含30°角的直角三角形.

图4

解:如图4,连接AD.

∵AB=AC,

∠BAC=120°,

在Rt△DEC中,DE=2,

∴CD=2DE=4.

∵BC垂直平分AC,

∴AD=CD.

∴∠DAC=∠C=30°.

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°.

在Rt△ABD中,∠B=30°,

∴BD=2AD=2CD=8.

∴BC=BD+CD=12.

2.2 在三角形外部构造

图5

例4如图5所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,AC平分∠BAD,∠DAB=30°.求证:AD=2BC.

分析:如图6,因为AC平分∠BAD,所以根据角平分线的性质可得出CE=CB,再由“两直线平行,同位角相等”构造出含有30°角的直角三角形,得到CD=2EC,最后由“等角对等边”得到AD=CD,从而得到AD=2BC.

图6

解:如图6所示,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E.

∵AC平分∠BAD,

∴∠DAC=∠BAC.

∵∠B=90°,

∴CB⊥AB.

∵CE⊥AD,

∴CE=CB.

∵DC∥AB,

∴∠EDC=∠DAB=30°,∠DCA=∠BAC.

又∵∠DAC=∠BAC,

∴∠DAC=∠DCA.

∴AD=CD.

在Rt△DEC中,∠EDC=30°,

∴CD=2CE=2BC.

∴AD=2BC.

综上所述,直角三角形中30°角在实际计算和证明时发挥的作用非常明显.鉴于该知识点比较基础,很多学生掌握得较好,所以本文没有特别深入挖掘,只是重点分析了30°角如何构造.当然,构造方法不局限于此,还有待于后期进一步研究.

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