朱伟 王国华

(兰州大学湍流-颗粒研究中心,兰州 730000)

引言

为了纪念流体力学界极具传奇色彩的大师George Keith Batchelor 诞辰100 周年,剑桥大学应用数学与理论物理系(DAMTP)举办了主题为“Batchelor精神下的流体力学”的纪念大会.会议从2019 年开始筹备,2021 年3 月29—31 日举行,受到国际理论与应用力学联盟(IUTAM) 和欧洲力学学会(EUROMECH)的资助和高度重视,邀请了包括3 位Batchelor 奖获得者在内的共6 位在当代流体力学研究非常活跃的前沿领域学者各自介绍其所在领域的研究成果和进展,中国的郑晓静教授是亚太地区唯一一位受邀的大会报告人.作为大会的组织者之一,IUTAM 前主席、Batchelor 的学生、流体力学家Keith Moffatt 教授为大会手册设计了一张封面(图1),列出了近300 年为流体力学发展做出杰出贡献的150 位学者.这150 位学者中有115 位男性、35 位女性,已故学者34 位,仍在世的学者116 位;从国籍看包括英国及英联邦国家学者58 位,北美(美国、加拿大)学者45 位,欧盟国家学者27 位,俄罗斯学者13 位,亚洲学者7 位分别是3 位印度学者、2 位日本学者和2 位中国学者.其中包括理论流体动力学的奠基人欧拉(Leonhard Euler),首次导出黏性流体运动基本方程的纳维(Claude-Louis Navier)和斯托克斯(George Gabriel Stokes);在流体力学理论体系中开宗立派的大师普朗特(Ludvig Prandtl)、泰勒(Geoffrey Ingram Taylor)、冯·卡门(Theodore von Karman)、柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov),来自中国的世界流体力学巨人周培源先生,以及在当代流体力学诸多分支的代表性学者,如地球环境流体动力学的先驱Stewart Turner,计算流体力学的奠基人Brain Spalding 等等.整个封面可谓“群星璀璨”,每一位学者的代表性工作都是流体力学发展长河中的一颗珍珠,它们一起勾勒出从经典到近现代流体力学的发展谱线.

图1 “Batchelor 精神下的流体力学”纪念大会手册封面(由Keith Moffatt 教授设计并提供)Fig.1 The notebook cover of the Batchelor’s Centennial Symposium “Fluid Mechanics in the Spirit of G.K.Batchelor” (designed and provided by Prof.Keith Moffatt)

本文将围绕Batchelor 诞辰100 周年纪念大会封面对流体力学近300 年的发展进行简要回顾.第1 部分将简要介绍Batchelor 生平及学术贡献;第2 部分将回顾经典流体力学到近代流体力学阶段标志性的学术成就及其影响;第3 部分介绍现代流体力学流派特点及其传承;第4 部分以环境流体力学的发展为例,浅谈流体动力学理论发展与应用需求的结合,研究手段的更替以及发展趋势;最后是对未来的思考和展望.

1 Batchelor 生平及学术贡献概要

1.1 Batchelor 生平简介

1920 年3 月8 日,Batchelor (图2)出生于澳大利亚墨尔本,17 岁时以高分被墨尔本大学录取,并于1941 年获得了数学和物理双学士学位.由于二战的原因,从大学毕业的Batchelor 加入墨尔本(Commonwealth Scientific and Industrial Research,CSIR) 航空部从事与战争有关的航空课题研究,期间对湍流研究特别是当时流体力学大师泰勒(G.I.Taylor)在1930 年代提出的湍流统计理论产生了浓厚的兴趣.1945 年1 月,Batchelor 前往英国剑桥大学卡文迪许实验室跟随泰勒从事湍流问题的研究,1947 年他便当选为剑桥三一学院研究员(Fellow),后历任剑桥大学流体力学副教授(1948—1959),应用数学理论物理系主任(1959—1983),应用数学教授(1964—1983),荣誉教授(1984—2000).1956 年,Batchelor 创办了流体力学顶级期刊Journal of Fluid Mechanics(JFM)并担任其首任主编40 余年;1959年创建了剑桥大学应用数学与理论物理系(Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics,DAMTP)并担任系主任至1986 年;倡导成立了欧洲力学联盟(EUROMECH)并担任第一任主席.他是英国剑桥大学Adams 奖(1951)、意大利Agostinelli奖(1986)、英国皇家学会奖章(1988)、美国机械工程师协会Timoshenko 奖章(1988)等奖项的获得者.此外,Batchelor 还先后当选为伦敦皇家学会(1959)、美国艺术与科学院(1959)、波兰科学院(1974)、法国科学院(1984)和澳大利亚科学院(1989)等众多学会与国家科学院院士.

1.2 Batchelor 学术贡献概要

Batchelor 的研究工作主要集中在1945—1960年间,其学术贡献主要涉及到两个领域: 湍流和低Reynolds 数的微流体力学(也被称为悬浮力学).

在湍流研究领域Batchelor 的贡献包括: 对Kolmogorov 局部各向同性湍流理论(又称K41 理论)的解释和推广、均匀湍流衰减、快速畸变和湍流扩散理论.在K41 理论的解释和推广方面,Batchelor 最早发现并意识到K41 理论的重要科学意义,对其中的假设和猜想进行严格论证,并赋予清晰的物理解释.1947 年,Batchelor[2]发表长文向西方世界介绍Kolmogrov,Sedov 等苏联学者的湍流研究工作,重新推导了各向同性湍流3 阶结构函数,被Uriel Frisch 评价为湍流动力理论中唯一精确且非平凡的结果[3].此外,他还进一步挖掘Kolmogrov 随机场理论的内涵以及推广,包括将其应用于非对称湍流、时滞相关、湍流扩散等问题中.在均匀湍流衰减问题方面,Batchelor 和Alan Townsend 一起对均匀湍流衰减率进行了研究,指出各向同性湍流中均方涡度的变化率与平均涡度立方成正比,而平均涡度的立方与湍流速度导数的偏度因子有关,并发现均匀湍流衰减过程中,黏性耗散衰减占主导,非线性效应占次要地位,随着雷诺数增加二者的贡献能达到相当;在“衰减的最后阶段”非线性效应变得可以忽略,此时所有尺度的涡通过直接黏性耗散衰减[4-6].在快速畸变理论方面,Batchelor 继承了他的导师泰勒对此问题的思考,通过对湍流场的所有傅里叶分量进行积分,确定了在初始各向同性湍流场中诱导各向异性的方式,指出如果畸变尺度远大于湍流漩涡的时间尺度,线性处理是合理的[7].这一认识以及线性处理明显优于完全不处理的事实促进了快速畸变理论的许多后续发展和在广泛环境中的应用.在湍流扩散理论方面,Batchelor 推导了有限体积内颗粒的平均浓度满足的扩散方程,建立了两个粒子的相对扩散与Richardson 扩散定律的理论联系,提出了Batchelor 尺度,奠定了被动标量输运问题的研究基础[8].

在低Reynolds 数的微流体力学领域,Batchelor发现了爱因斯坦在推导小颗粒扩散的有效黏度时的漏洞,即,没有计算由于一个粒子的存在而产生的总附加耗散的体积积分,而是使用了另一个类似的非绝对收敛积分.在1972 年的文章“Sedimentation in a dilute dispersion of spheres”[9]中Batchelor 借用湍流理论的思想,通过更严谨的方式给出了小颗粒在黏性流体中的扩散以及扩散的有效黏度的数学推导.由于小颗粒扩散与气溶胶、沉降、布朗运动、流变学和复合材料等学科都有密切关联,Batchelor 在这一领域的开创性工作引领了后续许多学者一起参与到这个领域的研究中.

在Batchelor 的学术研究过程中,他形成了以物理的洞察力为基础,将物理思想注入数学之中,根据问题的特点建立模型并提出或者引入简化、近似方案的方法论与研究风格.1953 年,Batchelor 独立完成了湍流专著The Theory of Homogenous Turbulence[10],系统地总结了他和在他之前湍流理论的主要进展,是湍流领域影响深远的著作.而由他编写的流体力学的理论专著An Introduction to Fluid Dynamics[11]也将这种思想和方法论贯穿始终,成为流体力学的传世佳作.期间许多研究成果被后人以Batchelor 的名字命名,例如Batchelor 涡、Prandtl-Batchelor 定理、Batchelor-Chandrasekhar 公式、Batchelor 尺度等,至今仍是湍流研究领域中热议的话题.

2000 年3 月30 日,Batchelor 逝世.为了纪念他,2007 年国际理论与应用力学联盟(IUTAM)设立了The Batchelor Prize in Fluid Mechanics.该奖项被誉为流体力学界的“诺贝尔奖”,每4 年评选一次,是流体力学的最高荣誉之一.

2 流体力学发展回顾

图1 列举的150 位流体力学家横跨了近300 年,历经流体力学发展的3 个阶段: 经典流体力学(17 世纪中叶至19 世纪末)、近代流体力学(19 世纪末至20 世纪中叶) 和现代流体力学(20 世纪中叶至今),所涉及的领域包括流体动力学理论、实验流体力学、计算流体力学、湍流及稳定性、空气动力学、环境流体力学、多相流体力学、生物流体力学、磁流体力学、微纳米尺度流体动力学等.以下将结合学者与他们对流体力学的主要贡献,回顾流体力学的发展历程.

2.1 经典流体力学阶段

经典流体力学阶段始于力、速度、加速度、流场等经典力学概念的建立以及质量、动量、能量三大守恒定律的诞生,时间上大致处于17 世纪中叶至19 世纪末之间.150 人的名单中有8 位处于经典流体力学阶段的学者,他们分别是欧拉(L.Euler)、纳维(C.L.Navier)、泊肃叶(Jean-Louis-Marie Poiseuille)、弗劳德(William Froude)、斯托克斯(G.G.Stokes)、麦克斯韦尔(James Clerk Maxwell)、瑞利(Lord Rayleigh)和索菲•柯瓦列夫斯卡娅(Sofia Kovalevskaya),他们在流体力学领域作出的主要成就见表1.Kelvin 勋爵(William Thomson)评价这一时期的流体力学是“所有物理科学的根本,并且具有首屈一指的数学之美”[12].一方面这一时期数学分析方法包括微积分、微分方程等的建立和应用为流体力学基本理论框架奠定了牢固的基础,另一方面当时科学和技术的前沿研究对象大都绕不开流体力学的基本问题,而后者在数学描述上的成功也使得这一学科首先得到了蓬勃的发展.

表1 图1 中处于经典流体力学阶段的学者信息[13]Table 1 Information and contributions of the fluid dynamicists in the stage of classical fluid mechanics listed in Fig.1[13]

1665 年,牛顿(Isaac Newton)发现了微积分,在他的著作《数学原理》中研究了流体中运动物体受到的阻力,认为黏性切应力是流体黏度与速度梯度的乘积,提出了牛顿黏性定律.1738 年伯努利(Daniel Bernaulli)证明了“压力梯度与流体的加速度成正比”提出了“伯努利方程(原理)”.1752 年,欧拉提出理想流体概念,并基于连续介质(流体微团)假设和牛顿第二定律给出了描述理想流体运动的基本方程——欧拉方程.这是第一个将微分方程应用到流体力学领域的方程,同时也奠定了流体力学流场描述的标准形式.欧拉方程与牛顿黏性定律、伯努利原理一起构成了经典流体动力学大厦的3 块基石.从这3 位奠基人都兼具数学家身份这一点可以看出,经典流体动力学对现象的研究和理解都是建立在严谨的数学基础之上的,而对物理现象的数学处理也通过经典流体动力学的发展达到了登峰造极的地步.

同样是基于严格的数学推导,1752 年达朗贝尔(Jean le Rond d'Alembert)从欧拉方程出发得到了“达朗贝尔佯谬”,即: 不可压缩、无黏势流中匀速运动的物体不受力.这一结论意味着以相对于流体以恒定速度运动的物体受到的拖曳力为0.这与实验观测和工程实际中观察到的相对于流体(空气和水)匀速移动的物体受到阻力作用的现象有着尖锐的矛盾.

为了寻求达朗贝尔悖论的解答,19 世纪众多流体力学家和应用数学家针对物体在黏性流体中运动受到的阻力进行建模,并将其引入流体动力学基本方程.当时流体力学界的普遍观点认为造成达朗贝尔悖论的主要原因是欧拉方程不考虑流体的内摩擦,即黏性对流体运动的影响,只要在欧拉方程中增加一个摩擦项便能弥补理论与实践的不符.1822 年,法国工程师纳维基于分子机制的摩擦在欧拉方程的基础上加入一个额外项,建立了黏性不可压缩流体动量守恒的运动方程;随后柯西(1828)、泊松(1829)和圣维南(1943)等也对黏性机制进行了研究;1840 年,泊肃叶发表《小管径内液体流动的实验研究》,通过实验得到了圆管中黏性流体的流量公式——泊肃叶公式(定律),后世将也黏性流体在管道中的流动称为泊肃叶流动[14].在此基础上,1845 年,剑桥学者斯托克斯以更合理严谨的方式导出了黏性流体运动方程,开启了黏性流体运动理论.这组方程就是沿用至今的纳维−斯托克斯方程(简称N-S 方程).N-S 方程一经建立便被公认为是黏性流体运动理论的第一原理,它与描述电磁场的麦克斯韦尔方程、弹性介质的柯西方程一同成为19 世纪三大最著名的偏微分方程(组),是当时数学、物理、力学理论研究的前沿课题.1870 年,俄罗斯女数学家柯瓦列夫斯卡娅完成了柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的证明,该定理作为偏微分方程理论中第一个普遍性解的存在定理,保证了上述几类偏微分方程解的存在性.此后,诸多科学和工程问题得以建立在N-S 方程的基础上进行定量揭示和描述.然而,基于力学观点增加的对流项却成为N-S 方程的非线性项,处理非线性问题数学上的困难一定程度上也限制了黏性流体力学的全面发展.

除了黏性流体力学的发展,19 世纪流体力学的主要进展还包括非线性波动、旋涡运动和流动不稳定性方面的研究.非线性水波方面,1834 年罗素观察到了孤立波的存在,1847 年斯托克斯建立了非线性水波理论.1869 年,兰金给出了激波前后的关系式,这是对流动可压缩性的初步研究结果[15];旋涡运动方面,1857 年亥姆霍兹发表了“论描述涡旋运动的流体动力学方程之积分”,纠正了流动只能是势流的错误观点,首次研究了有旋流动并建立了3 个涡定理,开创了涡旋动力学的研究;流动不稳定性方面,1880 年瑞利(Lord Rayleigh)对平行剪切流的不稳定性(瑞利-泰勒不稳定性)进行了开创性研究,提出了“瑞利方程”.他在研究上下温差引起的对流(瑞利−伯纳德对流)时引入了一个描述浮力驱动对流的无量纲数(瑞利数),一直被沿用于解释由于地面−大气对流引起的现象.此外,他对超声速气流的双曲型方程数学理论方面也做出了奠基性的贡献.

2.2 近代流体力学阶段

近代流体力学时间轴上位于19 世纪末到20 世纪中叶.受到第二次工业革命的影响,这一时期实验技术手段有了巨大的进步,诞生了风洞、水槽实验以及热线等实验装置和测量仪器,因此流体力学的发展呈现出鲜明的理论与实验相互促进的特点,同时工业生产的实际需求也成为这一时期流体力学发展的“催化剂”.近代流体力学的主要研究对象是湍流和空气动力学,在这两个领域中,诸多新概念的提出极具想象力,结合数学推导建立模型并将其应用于解释或揭示新现象及其规律,是这一时期的流体力学研究的风格.多位流体力学开宗立派的大师均诞生于这两个领域,各具风格和特色鲜明的学派也于这一时期开始形成.图1 列举的处于这一时期的学者对流体力学发展的贡献见表2(摘选自文献[16]).

表2 图1 中处于近代流体力学阶段的学者贡献[16]Table 2 Major contributions of the fluid dynamicists in the stage of modern fluid mechanics listed in Fig.1[16]

1883 年,雷诺(Osborne Reynolds)通过圆管内水流实验向人们展示了管道中黏性流体从平滑流线型流动(层流)向不规则带旋涡的流动(湍流)的过渡,这是流动从层流向湍流转捩的首次实验展示,此外,雷诺还引入了表征流动中流体惯性力和黏性力之比的一个无量纲数,即雷诺数,作为判别两种流态的标准.此后,流动的雷诺数成为描述流体流动状态的关键参数.1895 年,雷诺在N-S 方程的基础上推导出时均流动的N-S 方程,同时提出了湍流切应力概念.可以说,雷诺的工作开启了长达一个多世纪湍流研究的序幕.

1904 年,在海德堡举行的第3 届国际数学家大会上,德国流体力学家路德维希·普朗特(Ludvig Prandtl)作了一个有划时代意义的演讲“关于非常小摩擦下的流动”[17],从物理直觉出发提出了边界层概念,这样就可以将整个流动分成两部分来处理,即“满足壁面附近黏附条件的黏性流动解和远离壁面处理想流动解”.边界层理论是突破性的,沿着这一思路,达朗贝尔悖论从实际应用的角度上得到了解决.同时,在边界层理论框架下,无黏流的理论找到了应用范围,而黏性计算限制在很薄的边界层内,使得N-S 方程得以大大的简化,很多实际问题能够得到解答,黏性理论也得到了一条新的发展道路.边界层理论适用于匹配渐近展开推导近似解,为流体力学中物面摩擦阻力、热传导、流动分离的计算奠定了基础,由此开创的奇异摄动理论也是20 世纪应用数学的重要成就之一.在航空领域,该理论可以直接应用于计算翼型的阻力,为航空工程也里程碑式的贡献.由此,普朗特被认为是空气动力学之父和近代流体力学奠基人.

1925 年,普朗特仿照气体分子运动论提出混合长度理论,用湍涡的混合长度代替分子自由路径,将湍涡的无规则脉动速度就和平均流场的平均速度梯度联系起来,化解了未知的雷诺应力,使雷诺方程封闭.虽然混合长度理论将雷诺应力化解掉了,但又多出一个混合长未知数需要确定.1930 年普朗特的学生冯·卡门(Theodore von Karman)提出一种相似理论来解决混合长度计算问题,然而这个方法比较复杂.1933 年,普朗特本人又提出一种简单直观的方法,即直接假定湍涡的混合长和距离壁面的距离成正比,而该比例系数只能由实验确定.因此,普朗特的混合长度理论前面加上了“半经验”二字,被称为“半经验混合长度理论”.将半经验混合长度理论应用到一种最简单的平面平板流动中,就可以推导出著名的平均流场的对数分布律,而后来的大量实验也证实了这种对数律的存在.随后,前苏联学者莫宁(Andrei Sergeevich Monin)和奥本霍夫(Alexander Mikhailovich Obukhov)将混合长度理论成功推广到大气边界层的中风速的分布问题中,为解决大气物理中大气扩散等问题开辟了道路.

同在1920 年代,Batchelor 的老师、剑桥大学数学、力学家泰勒致力于通过建立能与实验数据直接和定量比较的数学理论来描述湍流.在研究湍流扩散问题时,泰勒引入了流场中同一点在不同时刻脉动速度的相关(又称拉格朗日相关)描述流动的扩散能力,得到了在时间间隔小于相关时间时湍流扩散的弥散度与时间的平方成正比,而在时间间隔远大于相关时间时,弥散度与时间的一次方成正比的规律.1935 年,泰勒又引进同一时刻不同点上速度分量的相关(又称欧拉相关),并提出一种数学上容易处理的理想湍流−均匀各向同性湍流,用于简化脉动速度相关矩方程,以解决雷诺方程的封闭性问题.尽管最终泰勒没有完成这个理论,但他利用相关矩和谱分析等统计方法处理湍流问题的模式奠定了湍流统计理论发展的基础.不仅限于湍流领域,泰勒在低雷诺数流动、流动不稳定性、涡旋流动领域中也作出了诸多开创性的工作,包括阐明了激波内部结构;得出同轴两转动圆轴间流动失稳条件,在研究原子弹爆炸中提出强爆炸的自模拟理论;指出在液滴中起主要作用的是表面张力而不是黏性力等.在IUTAM“世纪之交的力学”报告中由IUTAM 大会委员会成员及诸位主席推荐的24 篇20 世纪的“力学学科里程碑式论文”中,泰勒的论文就占了4 篇之多.

1938 年,冯·卡门和霍沃思(Leslie Howarth)在泰勒的均匀各向同性概念的基础上,从N-S 方程出发得到了空间两点纵向二阶相关矩方程,即Karman-Howarth (K-H)方程.虽然K-H 方程仍不闭合,但它证明了N-S 方程不仅是支配层流运动的基本方程,也是支配湍流运动的基本方程,早期的均匀各向同性相关理论就是研究这一方程的各种封闭方法和解的形式.在近似条件下,K-H 方程能直接导出湍动能衰变的规律: 前苏联学者Mikhail Dimitrievich Millionshchikov (A.N.Kolmogorov 的博士生)导出了湍流发展末期的−5/2 次方律;湍流衰减的初期,忽略黏性项的K-H 方程可直接导出−10/7 次方律.结合泰勒由实验总结出的−2 次方衰减律,一起完整的刻画了湍动能衰减规律.

作为20 世纪最伟大的航天工程学家,冯·卡门还是钝体阻力理论、亚声速和跨声速流空气动力学、超声速流细长体理论等的建立者.不得不提的还有他在1943 年《美国应用数学季刊》创刊号卷首发表的“用数学武装工程科学”一文中号召工程师为非线性问题拼搏,预见到非线性力学在今后科学发展中的重要地位[18],开创了数学和基础科学在航空航天和其他技术领域的应用.

同在1940 年代,图1 中的两位中国籍力学家之一、中国近代力学奠基人周培源先生从另一途径出发,先对N-S 方程求解,再对所得的基元涡进行统计平均来研究均匀各向同性湍流,也得到了相关量的衰减律.此外,他还引进了湍流脉动的二阶和三阶矩方程,首先得到了相关函数的微分方程,为现代湍流高阶矩模式理论奠定了基础,之后还提出了湍流的旋涡结构模型,其建立的湍流模式理论是CFD 模拟湍流的关键.1995 年,周培源先生在《流体力学年鉴》(Annual Review of Fluid Mechanics)上发表了题为“中国湍流研究50 年(50 years of turbulence research in China)”的文章[19],回顾了上述成果.康奈尔大学教授约翰·拉姆利 (John Lumley)为这篇文章作序称: “在湍流领域,他(周培源)被认为是计算模式之父.在其发表于《中国物理杂志》一篇原创文章及以后发表在国际期刊上更为详细的3 篇论文中,他引进了湍流脉动二阶和三阶矩的方程……,遗憾的是,周的建议是在计算机发明之前,要靠手来进行大量的计算是很难的.尽管如此,毫无疑问的是,今天全世界数以百计正在从事发展湍流计算模式,使之可用于CFD 设计和规范的人们,追本溯源都可以算作周1940 年文章的后继……在这一代人中,在流体力学中至少有来自不同国家的4 位巨人,他们以自己的方法在国内外都产生了很大的影响.既是由于他们对流体力学的贡献,也是由于他们提供的智慧和指引.在每一个国家,那些非凡的后继者,在流体力学中的出色的工作者,都可以追踪为这些巨人的学术继承人.我所说的4 位巨人是: 美国的冯·卡门、前苏联的柯尔莫哥洛夫、英国的泰勒和中国的周培源.”

3 现代流体力学学派与传承

从20 世纪中叶开始,流体力学进入到现代流体力学阶段.图1 列举的这一时期流体力学学者主要的学术贡献见表3(摘选自文献[16]).这一时期流体力学发展形成了风格独特、特色鲜明的学派,包括德国的普朗特为代表的“哥廷根学派”、英国的泰勒为代表的“剑桥学派”、前苏联的柯尔莫哥洛夫为代表的“莫斯科学派”以及美国的冯·卡门为代表的“加州理工学派”.其中“哥廷根学派”的研究受到当时德国工业需求影响,关注工业、工程应用中的流体力学问题,提出了混合长度模式,建立了边界层理论,将理论与航空需求相结合创立了空气动力学;“剑桥学派”的研究风格是通过小型室内实验了解机理,挖掘物理本质,再用应用数学方法求解问题,研究对象更侧重于自然界中的湍流(如大气、海洋)问题;“莫斯科学派”的特点是将纯数学领域的工作拓展到实际应用中;而冯·卡门离开哥廷根加入美国加州理工大学后,沿袭了应用力学研究范式,以航空航天工程中的力学问题为对象,将现代力学中的数学理论和工程实际紧密结合,奠定了现代力学的基本方向,形成了“加州理工学派”.

表3 图1 中处于现代流体力学阶段的学者贡献[16]Table 3 Major contributions of the fluid dynamicists in the stage of contemporary fluid mechanics listed in Fig.1[16]

3.1 流体力学的四大学派

流体力学“哥廷根学派”的创始人普朗特一生培养了90 名博士,图1 中列出了其中3 位对流体力学作出了突出贡献的学者,他们分别是: Theodore von Karman (1881—1963),Hermann Schilichting(1907—1982),Dietrich Küchemann (1911—1976).H.Schilichting 因其对边界层转捩状态的Tollmien-Schilichting 波的研究而闻名,此外,他在黏性效应的流体流动和翼型空气动力学方面也有突出贡献,著有《边界层理论》[20];D.Küchemann 的工作集中在高速飞行、后掠翼理论方面,第一款商用超音速飞机“协和飞机”采用的就是由他设计的“Küchemann Coke Bottle”外形,此外,他设计的飞机后缘防震体被称为“Küchemann Carrot”.

“剑桥学派”的创始人泰勒培养了15 名博士,除了第1 节中介绍过的Batchelor 外,图1 中还列出了5 位,他们分别是: Alan Townsend (1917—2010),Stewart Turner (1930—),Owen Phillips (1930—2010),Philip Drazin (1934—2002),Francis Bretherton(1935—2021).Townsend 除了通过实验测量与Batchelor 一起揭示了湍流大尺度涡的间歇性外,他还是湍流拟序结构研究早期的开创者,Townsend 附着涡、Batchelor-Howell-Townsend 谱以及Townsend-Perry 常数均以他的名字命名,代表性著作The Structure of Turbulent Shear Flow[21].S.Turner 是地球物理流体动力学的奠基人,在分层流和重力流中的湍流输运、海洋中的混合层动力学、浮力羽流和热气流、室内通风流动动力学、双扩散对流等领域均作出了开创性的研究工作,1969 年和1974 年分别就浮力羽流和热气流、双扩散对流问题在《流体力学年鉴》上发表了2 篇综述[22-23].O.Phillips 的代表性工作是大气涡旋引发的海浪,即Phillips-Miles 过程,以及海浪能量传输模型,著有The Dynamics of the Upper Ocean[24].P.Drazin 致力于水动力稳定性问题的研究,提出N-S 方程全局模态解的概念,将非线性动力系统概念引入流体力学研究.F.Bretherton 则是弱非线性波扩散方程的建立者,波-平均流相互作用和大气锋生研究的开创性先驱,此外还领导了美国气象学会的全球气候变化研究项目.

此外,150 人中还包括4 位Batchelor 培养的博士: Brue Morton (1926—2012),Ian Proudman (1927—1999),Phillip Saffman (1931—2008)以及Adrian Gill(1937—1986).B.Morton 在烟囱、火焰流动,桥梁与飞机周围的气流以及涡度等方面作出了诸多成就;I.Proudman 致力于剪切流动稳定性以及各向同性湍流统计理论的深入研究;P.Saffman 的研究生涯成果丰硕,包括Saffman-Taylor 不稳定性、船舶与飞机在水和空气中运动产生的涡度理论、尾流湍流、流体中球形颗粒的运动等方面均有卓越建树,著有涡动力学经典著作Vortex Dynamics[25];A.Gill 则是气象学和海洋学的著名学者,在管道流动稳定性、热对流、南大洋环流、海洋的季节变化、旋转流体中的波浪、风引起的上升流以及海岸流和海平面变化等领域均作出了理论贡献,著有教材Atmosphere-Ocean Dynamics[26].此外,图1 的设计者K.Moffatt也是Batchelor 的学生,他是当代湍流理论和磁流体动力学领域公认的大家.

“莫斯科学派”创始人柯尔莫哥洛夫一生培养了82 名学生,图1 列举了其中6 位投身于流体力学领域的学者: M.Millionshchikov (1913—1973),A.Obukhov (1918—1989),Akiva Yaglom (1921—2007),A.S.Monin (1921—2007),Grigory Isaakovich Barenblatt (1927—2018)以及Vladimir Igorevich Arnold (1937—2010).M.Millionshchikov 在湍流理论方面提出了准正规封闭模式,在应用方面建立了应用气体动力学理论,提出了油气开采的新方法,并为前苏联军事工业包括气体喷射器和核工业的发展作出了奠基性工作;A.Obukhov 是大气物理学和现代边界层气象学的奠基人之一,M-O 相似理论的提出者;A.Yaglom 建立了均匀各向同性、黏性可压缩湍流理论,导出了湍流温度场的动力学方程,是继柯尔莫哥洛夫速度场动力学方程之后湍流理论中的第二个精确结果;A.S.Monin 是M-O 相似理论的另一位作者,领导了前苏联在海洋湍流方面的研究,A.S.Monin 和A.Yaglom 合著的Statistical Fluid Mechanics卷1 和卷2[27]是湍流统计理论的经典著作;G.I.Barenblatt 建立了湍流中重颗粒传输的数学模型,中间渐近与不完全相似性方法,稳定分层湍流中湍斑动力学、非稳态传热和传质、温度阶跃形成的数学模型,层间湍流演化的数学模型,湍流切变的比例定律以及沙尘暴、热带飓风的数学模型等;V.I.Arnold 是可积系统稳定性KAM 定理的3 位作者之一,在流体动力学领域提出奇点理论和ADE 分类问题.

“加州理工学派”创始人冯·卡门共培养了38 名博士,图1 只列举了其中2 位: Hans Liepmann (1914—2009)和林家翘(1916—2013).林家翘先生在流体稳定性理论方面用渐近方法获得了Orr-Sommerfeld 方程的解,发展了平行流动稳定性理论,确认流动失稳是引发湍流的机理,所得结果为实验所证实.他和冯·卡门一起提出了各向同性湍流的湍谱理论,发展了冯·卡门的相似性理论;H.Liepmann 在流动不稳定性、湍流剪切流、跨音速流动、稀薄气体流动、冲击波−边界层相互作用、湍流超音速摩擦、飞机抖振、磁流体动力学、等离子体物理、液氦流体动力学等领域均有建树,他的著作《可压缩流的空气动力学》[28]和Elements of Gas Dynamics[29]对现代空气动力学发展影响深远.

H.Liepmann 一生任职于加州理工学院,培养了55 名博士,图1 中有5 位师承于他的学者,分别是:Stanley Corrsin (1920—1986),John Laufer (1921—1983),Donald Coles (1924—2013),Satish Dhawan(1920—2002),Roddam Narasimaha (1933—2020).S.Corrsin 因其在被动标量湍流统计理论和外区间歇性方面的工作而闻名,此外他在湍流混合、湍流-非湍流界面以及生物流体力学方面也都作出了杰出的贡献;J.Laufer 在槽道湍流、湍流混合层以及各向同性湍流方面的工作至今仍被频繁引用;D.Coles 因其在流动实验装置设计与制造方面而闻名,是壁湍流尾流律的发现者,也是最早将群论用于流体力学研究的学者之一;S.Dhawan 是最早获得表面摩擦阻力直接测量结果的学者,他是印度实验流体动力学研究之父,建立了印度首个高速空气动力学和边界层实验室,领导了印度空间计划;R.Narasimaha 在湍流降噪、激波结构、湍流尾流和混合流方面成绩斐然,他还领导了印度的并行计算流体动力学研究计划、开发了印度第一套天气预报代码,参与设计了印度轻型战斗机等.此外,图1 中还有几位冯·卡门第3 代甚至第4 代的学生,包括师承于S.Corrsin的John Lumley (1930—2015)及J.Lumley 的学生Nadine Aubry 和Emily Stone;师承于R.Narasimha的Rama Govindarajan 等.可以说,“加州理工学派”为战后流体力学研究在美国的发展源源不断的输送着养分,使之迅速成为引领流体力学研究发展的中心之一.

3.2 其他分支

开放交流的发展模式才能让学科青春永驻,现代流体力学的发展亦是如此.除了有清晰师承关系的学者外,图1 列举的现代流体力学者还呈现出百花齐放之势,他们为现代流体力学发展作出的贡献同样值得铭记.

首先是现代流体力学圣地之一的剑桥大学.图1中的Harold Jefferys (1891—1989)是一位统计学家,在与其同时期的泰勒交流中他对海浪的生成、海啸的形成产生兴趣,并进行了大量深入的研究,他培养的学生Longuet-Higgins (1925—2016)在海浪、洋流和自然现象的数学模型上做出了杰出的贡献;他的另一位学生Sydney Goldstein (1903—1989)则因在稳定层流边界层方程和流体中圆盘旋转的湍流阻力方面的工作被誉为“20 世纪对流体动力学的进步影响最大的人之一”[30].此外,与Batchelor 同时代的Fritz Ursell (1923—2012)和Milton Van Dyke (1922—2010)经常参加泰勒和巴切勒的流体力学讨论班,前者建立了当代波动预测理论的数学基础,是波-结构作用研究领域的先驱,后者则是空气动力学中扰动分析法的创建者以及Annual Review of Fluid Mechanics的创刊人.此外,建立椭球粒子在黏性流体中的运动方程的George Jeffery(1891—1957)、气动声学奠基人James Lighthill(1924—1998)、磁流体动力学及应用领域的Arthur Shercliff (1927—1983)、波浪理论和气动声学领域的David Crighton(1942—2000)也均是这一时期剑桥大学流体力学学派浓郁学术交流氛围的参与者和受益者.他们的学生中也不乏享誉世界的流体力学大家,例如A.Shercliff的学生Julian Hunt 便是当代环境流体力学领域的翘楚,培养了包括目前湍流多相流领域的著名学者S.Balachandar 在内的一大批流体力学家;J.Lighthill则培养了超音速推进器、动力波、非线性扩散波理论和连续介质振动理论方面的著名学者Gerald B.Whitham (1927—2014),后者是目前湍流边界层和壁湍流领域著名学者Javier Jimenez 的导师.此外,环境和工业流动领域的著名学者Paul Linden、高雷诺数壁湍流领域的著名学者Ivan Marusic、湍流动力系统理论方面著名学者Rich Kerswell 也都可追根溯源到剑桥大学的师承关系.

其次是现代流体力学的另一处圣地美国.约翰霍普金斯大学的著名学者Charles Meneveau 师承于纽约大学的流体力学家Katepalli R.Sreenivasa,后者的导师则是上文提到的加州理工学派的R.Narasimha;图1 中的Robert Kraichnan (1928—2008)是爱因斯坦的最后一任助手,也是湍流统计理论近现代方法的建立者,他培养了目前湍流动力系统理论领域的著名学者U.Frisch.计算流体力学领域,大涡模拟(LES)方法的先驱William Craig Reynolds (1933—2004)是斯坦福湍流研究中心的创始人,他培养了涡动力学、湍流小尺度结构动力学领域的著名学者Fazle Hussain 和DNS 方法的奠基人Parviz Moin,后者是目前DNS 应用数值计算领域著名学者Robert Moser的导师.

近现代流体力学发展史中还有一支不得不提的分支——中国学派.图1 中只列出了两位中国籍的流体力学家: 周培源和郑晓静,事实上陆士嘉、钱学森、郭永怀、罗时钧、庄逢甘等均是“哥廷根学派”和“加州理工学派”在中国的传承者.其中陆士嘉先生是普朗特的唯一女弟子,是我国第一个空气动力学专业的创始人;钱学森(1911—2009)先生同冯·卡门一起建立了高亚声速流气动力的卡门一钱公式,提出跨声速流动相似律、上下临界马赫数等概念,开创了高超声速流和稀薄气体动力学新领域[31];郭永怀先生在跨声速流的稳定性、激波边界层相互作用及高超声速流等领域均作出了突出的贡献,为解决边界层的奇异性,他改进了庞加莱、莱特希尔的变形参数和变形坐标法,发展了奇异摄动理论,后被钱学森命名为PLK 方法[32];罗时钧先生是我国最早使用有限差分法计算飞机空气动力的学者,主持完成了我国跨音速−机身−平尾−垂尾组合体纵向空气动力差分计算程序,首次解决大迎角非线性气动力计算收敛问题,系国际上首次得到非对称气动力计算结果,并取得计算方法上的突破,具有很高的理论和应用价值[33];庄逢甘先生在旋涡、激波和非平衡起主导作用的复杂流动方面取得了当时国际领先水平的成果,长期从事导弹、火箭、再入飞行器的空气动力学研究,在大型风洞设计与建造、运载工具的气动研究试验、非定常旋涡主导的空气动力学、计算流体学研究等方面均做出了重要贡献,在湍流统计理论方面,在Heisenberg 谱传输项的假设下,首次得到了准确的湍流谱解,给出了Burger 方程的初值问题的准确解,对有随机边界条件的N-S 方程进行了长期的研究,提出了双尺度湍流概念[34].此外,我国在科技发展和应用需求的大背景下涌现处了一批杰出的流体力学学者,并对现代流体力学发展做出了重要贡献.文献[19,35]对流体力学在中国的发展及中国学者的贡献进行了系统的论述,受篇幅所限,本文不再详述.

4 流体力学理论发展与应用需求的结合

现代流体力学的活力源于不同学科中流体力学应用需求的强力驱动.随着研究对象一步一步的拓展细化,从20 世纪中后期开始流体力学发生了与多个学科的交叉融合,流体力学自身也从对普适流动机理、模型的孜孜追求拓展变得更加务实.针对环境流动问题,通过应用流体力学的基本原理解释自然界,特别是大气和海洋中流动现象的动力学性质,逐渐形成了环境流体力学,派生出海岸/海洋工程流体力学、大气环境流体力学、水环境流体力学和地球流体力学等分支学科,主要研究地球表层(土壤上层,海洋表层与大气近地层)的流动与输运;针对生物医学等领域的流动现象机理,发展演变出了生物流体力学,主要研究动物和人体内循环、呼吸系统的生理流体(如血液、气体、尿液、淋巴液和其他体液等)的流体力学问题;针对核物理、天体物理中的等离子体流动,发展了磁流体力学,主要研究导电流体与磁场相互作用的动力学或运动规律,包括磁流体力学波与稳定性问题等;针对工业中的界面和摩擦问题,发展了浸润与界面力学;针对物理化学过程中与燃烧、扩散、渗析、电泳、聚并、流态化、毛细流等现象,发展了物理化学流体力学等等.根据我国力学学会流体力学专委会下设的专业组的划分,也可以看出学科分支发展的不断衍生.目前下设的专业组有相对传统的分支,如湍流与稳定性,非牛顿流体力学等,也有包含了显著应用背景和学科交叉特征的分支,如工业流体力学、高温气体动力学等.

新兴的分支为流体力学发展注入了新的发展动能,成为了流体力学研究活跃的前沿领域,新兴分支的重要代表性研究成果也引起了学术界的积极评价和鼓励.以Batchelor 奖为例,自2007 年该奖项设立以来每四年评选一次,至今共评出了4 位获奖者,分别是: Howard Stone (2008),Detlef Lohse (2012),Raymond E.Goldstein (2016)和Alexander J.Smits(2020).这些获奖者从事的研究及其获奖的代表性工作均来自新兴的学科分支,其中H.Stone 从事的是生物流体动力学、胶体动力学方面的研究,包括建立了新的广义泡沫排水方程,提出和检验了表面张力和表面活性剂效应;D.Lohse 从事的是多相流、气泡声致发光、湍流对流和微流体动力学方面的研究;R.E.Goldstein 从事的是自然界中的非平衡现象,特别是生物物理学方面的研究,贡献包括对活性物质的实验研究、多细胞物理学等;A.J.Smits 从事的是高雷诺数和高马赫数下壁面湍流结构的实验研究,以及仿生推进和减阻方面的工作.随着流体力学与其他学科交叉融合的深入,来自应用流体力学分支的学者获得Batchelor 奖将成为趋势.

流体力学的新兴学科分支的产生并非突然,而是伴随着流体力学基本理论、计算模拟和实验研究方法的不断发展更替以及实际应用需求的不断萌生而逐渐衍生出来的.诸多流体力学分支学科的发展都验证了此规律,如文献[36]介绍的等离子体流体力学、文献[37]介绍的爆炸气动力学、文献[38]介绍的小型器件中的工程流体力学、文献[39]介绍的化学流体动力学等等.此处仅以环境流体力学的研究为例,图1 列举的流体力学家中,环境力学领域的学者占了20 席,其中5 位处于20 世纪中叶前,有15 位处于现代流体力学阶段.最早的环境力学研究可追溯到1904 年挪威物理学家Vilhelm Bjerknes(1862—1951)开始的从动力学和热力学角度研究大尺度大气和海洋运动,以及他在Meteorologische Zeitschrift杂志上发表的文章“Das problem der wettervorhersage,betrachtet von standpunkt der mechanik und physik (从力学和物理学的角度研究天气预报问题)”[40].20 世纪初近代流体力学的4大学派创始人也都不约而同的将理论研究的成果应用到环境流动规律的揭示和理解中.1915 年,泰勒在Phil.Trans.R.Soc.Lond.A上发表的“Eddy motion in the atmosphere”[41]可视为大气湍流研究的最早文献;1932 年,普朗特在德文期刊上发表过题为“Meteorologische anwendung der strömungslehre (流动理论的气象应用)”[42]的论文,将边界层理论应用于气象学的研究;1940 年代,柯尔莫哥洛夫最得意的两位学生A.Obukhov 和A.S.Monin 将K41 理论成功应用于大气和海洋湍流的研究,建立了至今仍是大气边界层研究的理论基础O-M 相似理论;即使是身为航空航天大师的冯·卡门,在1947 年也发表过题为“Sand ripples in the desert”[43]的论文,试图通过风剪切的涡旋结构对风成沙波纹的形成进行建模.

时至今日,环境流体力学的研究内容已经发展得十分丰富,根据李家春先生在《力学进展》上的综述[44],大致可以分为: 大气海洋环流,大气海洋中的旋涡运动,大气海洋中的湍流运动,污染物、溶质的输运与湍流扩散,沉积物异重流,风沙、泥沙运动,海气相互作用,陆气相互作用8 个方面,虽然各个方向针对的问题不同,但其共性特征是流动过程中的多相多组分、多场多过程耦合、多尺度和跨尺度、高度非线性和多自由度等.

以环境流体力学中的重要分支风沙环境力学为例,简要回顾其研究历程可以清楚地看出在应用需求明显的分支发展过程中,流体力学基本理论、方法的发展在其中起到的重要作用.从流体力学的角度,风沙运动被定义为高雷诺数气-固两相稀疏流动.R.A.Bagnold (1941)在最初建立经典风沙物理学体系时就用到了流体力学的剪切应力、摩阻速度、粗糙度等概念,并利用边界层理论对风沙边界层的流场进行简化[45],当时边界层理论由普朗特建立不久,并由冯·卡门等逐渐发展完善.1964 年,P.R.Owen在Journal of Fluid Mechanics上发表了“Saltation of uniform grains in air”[46],首次对风沙运动进行了流体力学角度的建模,其中的风场模型仍是采用边界层理论中的平均流廓线基本解.随着计算机技术的发展,雷诺平均方程封闭模式的数值求解成为可能,风沙流的研究很快也跟上数值模拟的步伐.Anderson等[47]利用RANS 对一维风沙流开展了模拟研究,获得与实验上量级可比的输沙通量模拟结果.此后,数值模拟研究成为了风沙流问题研究的重要手段,计算流体技术上的每一次进步都推动着风沙环境力学的跃变.例如1960 年代,J.Smagorinsky发展了流动的大涡模拟(LES)技术[48],这种方法可以解析大尺度涡,弥补了RANS 模拟对全尺度湍流进行平均导致的完全忽略湍流脉动的不足.I.Vinkovic 等[49]首先基于Smagorinsky-Germano 亚格子模型(SGS)的大涡模拟研究颗粒在湍流边界层的扩散问题,获得了与风洞实验在跃移高度、冲击速度等方面定量上较RANS 模拟吻合更好的结果;上世纪70 年代初,J.W.Deardorff[50]发展了大雷诺数流动的壁解析大涡模拟(WRLES)技术,考虑到床面颗粒运动的随机性及其对壁面湍流结构的影响,Zheng 等[51]将WRLES方法运用到可侵蚀床面风沙流的模拟,并第一次将该方法两相壁湍流模拟的摩擦雷诺数(Reτ)扩展到4200 以上,获得了与自然界真实风沙流情况一致的比较结果,同时刻画了实验上难以获得的沙粒对壁面湍流结构调制影响的规律.

流体力学应用学科中产生的需求也反过来促进着流体力学的内生发展.仍以风沙环境力学为例,沙尘暴的形成和发展是一项重要的研究内容.作为大气边界层内发生的一类极端流动过程,Reτ高达1.0×(106～ 107),湍流结构的最大尺度与其携带的颗粒特征尺度相差9 个量级,且存在多结构层次、多物理场、多过程、多演化速率的强非线性耦合.1990 年代末,高雷诺数壁湍流中超大尺度结构在管道流动中被发现,随后被大气表面层的实验观测证实[52].这一壁湍流外区的典型湍流结构已经被证实对质量、动量、能量的输运具有重要的影响.郑晓静教授领导兰州大学风沙研究团队在巴丹吉林沙漠边缘的青土湖地区设计建设了广受关注和好评并被认为全球范围内“独一无二”的青土湖观测列阵,用于对大气表面层净风和沙尘暴流动进行观测研究,并围绕高雷诺数壁湍流和两相流问题取得了一系列成果,她在其有关高雷诺数壁湍流研究的综述论文中系统回顾了该领域的研究脉络和重要研究进展[53],同时也指出目前的高雷诺数壁湍流研究仍面临着许多困难和挑战,尤其是对沙尘暴这一类极端流动的深入研究需要流体力学发展新的理论、新的计算模型甚至模式,并需要针对这一类流动全面系统的实验观测以及新的数据分析手段作为基础,这种需求无疑将对湍流及其稳定性、多相流体力学、计算流体力学、实验流体力学等的内生发展提供驱动力.

5 总结与展望

以Batchelor 诞辰100 周年纪念大会封面为据,本文简要回顾了流体力学近300 年的发展历程,发现流体力学历经了3 个重要阶段: 第1 个阶段是与应用数学、物理学伴生的阶段,得益于严谨的数学基础,流体力学很早便建立了完美的方程,成为数学“皇冠”上最闪耀的宝石,但此阶段建立的理论在描述广泛的真实流动现象时还存在挑战;第2 阶段是由工程和自然环境背景的应用需求驱动的发展阶段,这一阶段流体力学的核心进步集中在湍流和空气动力学领域,逐渐形成了通过对实际问题的观察、分析,提炼力学模型,并利用数学方法计算和求解模型,最终获得规律或方案的研究范式,这一时期诞生了4 位对流体力学发展产生深远影响的“大师”以及诸多“丰碑式”的成就,形成了特色鲜明的学派;第3 阶段是4 大学派的传承和多样性拓展的阶段,流体力学的发展呈现百花齐放的势态,与多个学科的交叉融合一方面拓宽了流体力学的外延,另一方面也为流体力学的内生发展注入了新鲜活力和驱动力.

此外,通过对近300 年来流体力学重要进展的回顾,可以发现未来流体力学的进一步突破会更依赖于理论方法和技术的持续进步和创新,包括但不限于以下领域: 理论方面,非线性方程普适理论与数值方法、统计理论的现代方法、群论在流体力学研究中的更广泛运用、湍流的动力系统理论、湍流结构的数学理论等;数值计算方面,RANS,LES,DNS,Lattic-Boltzmann 法、小波等数值算法在更广泛流动应用范围上的拓展以及计算效率、分辨率、紧致性、网格自适应性等方面的大幅提升等;实验方面,面向极端(极高雷诺数、马赫数或微纳米尺度)流动的实验装置与测量显示技术、面向非平稳数据的处理分析方法、面向大数据的同化与人工智能方法等.