许思诗，叶一蔚

（重庆师范大学数学科学学院，重庆沙坪坝 401331）

Kirchhoff-type问题是研究弹性弦自由振动的波方程，在弹性理论、等离子体问题、非牛顿力学和天体物理学等领域有广泛的应用。Kirchhoff[1]给出了Kirchhoff方程的动态模型，，其中，L为弦的长度，h为横截面的面积，E为材料的Young-模量，ρ为密度，P0为初始张力。该方程考虑了横向振动产生的弦的长度变化，推广了经典的D'Alembert波方程。Kirchhoff方程具有较好的物理意义，同时吸引了大量研究者的关注。文献[2]利用变分法研究了3中非线性Kirchhoff型问题正解的多重性和集中性行为。文献[3]利用山路引理和对称山路引理研究了一类具有径向势的Schrödinger-Kirchhoff方程非平凡解的多重性和一列高能量解的存在性，这些结果随后被文献[4]推广到 p-Schrödinger-Kirchhoff型问题。文献[5]研究了N中的周期位势Kirchhoff方程，分别在临界情形和次临界情形下证明了非平凡解的存在性。文献[6]研究了3中超线性Kirchhoff方程高能解的多重性。文献[7]研究了一类半线性Schrödinger方程无限多个非平凡解的存在性。文献[8]研究了非齐次Kirchhoff型椭圆问题解的存在性和多重性。文献[9]研究了具有组合非线性的Kirchhoff方程多个正解的存在性。文献[10]讨论了全空间上带渐近非线性的非齐次Kirchhoff方程两个正解的存在性。文献[11]研究了非齐次四阶Kirchhoff方程的多解性问题。

考虑如下非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题

文献[12]利用Ekeland变分原理和山路引理证明了两个非平凡解的存在性。随后，文献[13]推广了文献[12]的结论，在非线性满足f更一般的假设条件下，利用新的证明方法获得了非齐次Schrödinger-Kirchhoff型问题式(1)非平凡解的多重性结果。……