山东省邹平双语学校(256200) 姜坤崇

我们知道,对于一个不等式,如果任意交换其中的两个变元所得的不等式与原不等式相同,则称此不等式关于所有变元是对称的不等式(简称对称不等式).如果一个不等式中的所有变元按某种次序轮换后得到的不等式与原不等式相同,则称此不等式关于所有变元为轮换对称的不等式(简称轮换对称不等式).对称不等式一定是轮换对称不等式,反之不然.证明对称不等式可以转化为轮换对称不等式进行,证明轮换对称不等式也可以转化为对称不等式进行,这为对称不等式和轮换对称不等式的证明开辟了一条途径.

一、将轮换对称不等式转化为对称不等式进行证明

对于某些轮换对称不等式,可以转换为对称不等式进行证明.

例1(2002 年巴尔干数学奥林匹克试题,文献[1]例1)若a,b,c均为正数,求证:

分析这是一个关于a,b,c的轮换对称不等式,但不是关于a,b,c的对称不等式,不能直接使用排序不等式证明,但我们可将其转化为证明一个关于a,b,c的对称不等式.

证明先证明一个对称不等式:

由(1),(2)式即得所证不等式.

说明(i)以上证明的可贵之处是得到了一不等式链:设a,b,c ＞0,求证:

由(3),(4)式即得所证不等式.

说明(i)由以上证明可得不等式链:设a,b,c ＞0,求证:

于是由(5),(6)式可知要证的不等式成立.

说明(i) 由以上证明可得不等式链:设a,b,c ＞0,且abc=1,求证:

综合(9),(10),所证不等式得证.

下面的三例,则是通过代换,将轮换对称不等式等价转化为对称不等式进行证明.

说明(i)例7 中,若令x+y=b,y+z=c,z+x=a或x+y=c,y+z=a,z+x=b,则同样可将所证不等式化为(11)式.

(ii)类似的可证明:设x,y,z ＞0,求证:于是,不等式(18)是不等式(19)的加权推广.

(iii)仿不等式(13)可证如下两个变式(证明从略):

二、将对称不等式转化为轮换对称不等式进行证明

对于某些对称不等式,也可以转化为轮换对称不等式进行证明.

例10(2005 年罗马尼亚数学奥林匹克试题) 已知a,b,c ＞0,证明:

分析这是一个关于a,b,c的对称不等式,其证明方法很多,这里我们利用排序不等式转化(分拆)为证明两个轮换对称不等式(以下的(20)式与(21)式),然后相加即可获证.