广东省河源高级中学(517000) 李佳炎 张玉婷

全概率公式是概率论中最基本且最重要的公式之一,它能帮助我们从简单已知事件的概率推出复杂事件的概率.“全概率公式”已经成为2019 版普通高中教科书数学选择性必修第三册的重要内容,可以预见,未来在高考、强基竞赛等试题中将常看到全概率公式的身影,因此如何应用全概率公式变得非常重要.

完备事件组[1]设A1,A2,···,An为n个事件,若满足:

(1)完全性:A1∪A2∪···∪An=Ω;

(2)互不相容性:AiAj=∅,i/j,i,j=1,2,···,n;

(3)P(Ai)＞0,i=1,2,···,n,

则称A1,A2,···,An为Ω 的一个完备事件组.

全概率公式[1]如果事件A1,A2,···,An是样本空间Ω一个完备事件组,则对任意事件B,有

利用全概率公式计算复杂事件的概率,关键在于找到适当的完备事件组对样本空间进行分割,这里的“适当”指在完备事件组下该事件的条件概率能够较为容易地求出.下面本文总结三种常用的完备事件组的类型.

类型一:以“前n-1 次试验结果”构成的事件列作为完备事件组

例1从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出一个球,摸出的球不再放回,显然,第一次摸出红球的概率是那么第n(n≤a+b)次摸球摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率?

分析由于是不放回的摸球,每次摸球时,袋中的总球数和红球数都会发生变化,这给概率计算带来很大的麻烦.事实上,要计算第n次摸到红球的概率,需要知道前n-1次摸球的结果如何,不妨考虑选择“前n-1 次摸球中摸到红球的个数”来分割样本空间,设Ai={前n-1 次摸球中恰好摸到i个红球},i=0,1,2,···,n-1,容易验证这些事件可以构成一个完备事件组,并且利用古典概型,可以求出P(Ai)=,而对任意的i,在事件Ai发生的条件下,第n次摸球时,摸到红球的概率也是可求的,等于于是可以利用全概率公式求出第n次摸球摸到红球的概率.

评注巧合的是,不管是不放回摸球还是有放回摸球,在第n次摸球时,摸到红球的概率是相等的,与摸球次数无关,只与袋中的红球数与蓝球数有关.而上述以“前n-1 次摸球结果”构成的完备事件组时,解法相对复杂,不妨换个角度思考.

既然第n次不放回摸球时,摸到的是红球的概率只与袋中的红球数与蓝球数有关,假设第一次摸球摸到的是红球,则此时袋中还剩a-1 个红球和b个蓝球,在这种条件下,第n次摸到的是红球的概率,可以看成是从装有a-1 个红球和b个蓝球的袋中,从头开始不放回地摸球,第n-1 次摸到的是红球的概率,其值为,同理若第一次摸球摸到的是蓝球,则在该条件下,第n次摸球摸到的是红球的概率是,由于例1 的结论与试验次数n无关,我们不妨对其先猜想,然后利用数学归纳法反复归纳证明,证明过程中可以反复使用该结论来求上述条件概率.

类型二:以“第一次试验结果”构成的事件列作为完备事件组

例2题目同例1.

例3(2018 年湖南省高中数学联赛预赛B 卷)棋盘上标有第0,1,2,…,100 站,棋子开始时位于第0 站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99 站(胜利大本营)或第100 站(失败大本营)时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为pn.

评注根据例2 和例3 的分析,我们可以看到,当随机试验需要进行n次时,若已知第一次试验结果的条件下,进行剩下n-1 次的试验,某个与试验相关的事件的概率,等于从头开始试验,试验次数为n-1 次时该事件的概率,这时可以选择以“第一次试验的结果”构成的事件列作为完备事件组,利用全概率公式去计算该复杂事件的概率.

类型三:以“前一次试验结果”构成的事件列作为完备事件组

例4设有n个袋子,每袋装有a个红球,b个蓝球,从第一袋摸出一球放入第二袋,再从第二袋中摸出一球放入第三袋,以此类推,直至从第n袋中取出一球,求最后摸出的是红球的概率.

分析在已知第一袋中摸到的是红球放入第二袋的条件下,这时第二袋有a+1 个红球和b个蓝球,要求最后摸出的是红球的概率并不等于从头开始摸球放入下一袋,直至第n-1 袋取出的是红球的概率,因为后者要求每一袋中的红球数及蓝球数都是一样的,而前者并不符合,故不适合选择“第一次试验结果”构成的事件列作为完备事件组.

例5(2022 湖北省八市高三(3 月)联考)2022 年5 月6日,中国女足在两球落后的情况下,以3 比2 逆转击败韩国女足,成功夺得亚洲杯冠军,在之前的半决赛中,中国女足通过点球大战6:5 惊险战胜日本女足,其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球,表现神勇.

(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右、三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球,不考虑其他因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和数学期望;

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙、丁4 名女足队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外3 人中的1 人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外3 人中的1 人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住,记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,易知p1=1,p2=0,

①试证明{pn-}是等比数列;

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较p10和q10的大小.

分析(2)传球具有这样一个特点——若上一次传球前,球在甲脚下,则下一次传球前球必然不在甲脚下,而如果上一次传球前,球不在甲脚下,则下一次传球前,球在甲或者其他两个人脚下的概率是相等的,均为,因此选择“前一次试验结果”构成的事件列作为完备事件组是很自然的想法.

例6(2020 年高考江苏卷)甲口袋装有2 个黑球和1 个白球,乙口袋装有3 个白球,现从甲、乙口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球的个数为Xn,恰有2 个黑球的概率为pn,恰有1 个黑球的概率为qn,

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).

分析(2)每次交换球前都先要确定此时甲、乙两袋的黑球数与白球数,因为不同的黑球数和白球数,会直接影响下一次交换球时,甲袋中黑球数为0,1,2 的概率,比如说在已知交换前甲袋中有2 个黑球和1 个白球,乙袋有3 个白球,则交换后甲袋黑球数为0 的概率是0,而甲袋中黑球为1 的概率是,这是因为这次交换是将甲袋中的黑球与乙袋中白球作交换,而在甲袋中摸到黑球的概率是,在乙袋中摸到白球的概率是1,同理可以得到交换后甲袋中黑球数为2 的概率是,根据同样的分析,我们可以得到在交换前甲袋中的黑球数分别是0,1,2 的条件下,交换后甲袋中黑球数分别是0,1,2 的所有概率,于是,考虑选择“前一次试验结果”构成的事件列作为完备事件组,即选择“交换前甲袋中黑球的个数”构成的事件列{Xn=0},{Xn=1},{Xn=2}来作为完备事件组,利用全概率公式建立起pn和qn的地推关系,从而解决问题.

解答(2) 由题设可知:Xn的可能取值为0,1,2,P(Xn=2)=pn,P(Xn=1)=qn,故P(Xn=0)=1-pn-qn,显然,对任意n ∈N*,事件{Xn=0},{Xn=1},{Xn=2}均构成完备事件组,因而由全概率公式可得:

P(Xn=2|Xn-1=2)表示在第n次交换前,甲口袋已经有两个黑球,而第n次交换后,仍然有两个黑球,即只把甲口袋中的白球与乙口袋的白球交换,因此

P(Xn=2|Xn-1=1)表示在第n次交换前,甲口袋恰有1 个黑球,第n次交换后,甲口袋有两个黑球,即甲口袋的白球与乙口袋的黑球交换,因此

P(Xn=1|Xn-1=2) 表示第n次交换前甲口袋有两个黑球,第n次交换后仅剩1 个黑球,即把甲口袋的黑球与乙口袋的白球交换,因此

评注通过对上面三道例题的分析,可以看到,在已知上一次试验结果的条件下,可以直接确定下一次试验各种可能情况发生的概率时,可以选择“前一次试验结果”所构成的事件列作为完备事件组.

不妨对比例1 和例4,对于例1,若已知前一次摸球摸出的是红球,我们只能知道袋中红球数和总球数减一,至于红球还剩多少并不能因此确定,还需要知道前面每一次摸球的结果,因此不宜选择“前一次摸球的结果”所构成的事件列作为完备事件组;反观例4,由于每次摸球只会影响球被摸出和球被放入的两袋球的红球数或蓝球数,因此若已知在前一袋中摸球的结果,便可得到下一袋摸球中摸出的是红球的概率,所以可以选择“在前一袋中摸球结果”所构成的事件列来作为完备事件组.

同时我们还可以看到,每一次试验中的某个事件发生概率可以看成一个数列,若是能得到这个事件在已知上一次试验结果的条件下发生的概率,我们便可以利用全概率公式得到这个数列的递推关系,进而求解出这个数列的通项公式.

总之,复杂事件的概率计算一直是概率统计中的一个重难点问题,其技巧性强,方法比较灵活,往往还都与试验次数n有关,很难一一枚举,学生难以掌握.通过本文的实例分析,不难发现,找准完备事件组,把事件的概率看作一个数列,利用全概率公式建立起递推关系,结合数列递推关系的求解方法和数学归纳法,能有效解决许多复杂事件的概率计算问题.