王博, 初丽

(1. 福州大学数学与统计学院，福建 福州 350108； 2. 福建工程学院计算机科学与数学学院，福建 福州 350118)

0 引言

本研究分析一类较为一般的含有二阶锥互补约束(SSOCMPCC)的随机优化模型:

min{E[f(z,ξ(ω))]|KmE[G(z,ξ(ω))]⊥E[H(z,ξ(ω))]∈Km}

SSOCMPCC模型是有实际意义的. 其中随机变量的引入可以源于数据的误差和未来的不确定性； 互补约束可以来自于逆问题[1-2]或双层规划问题[3]的转化.

SSOCMPCC模型在所有二阶锥维数都为1(即m1=m2=…=mn=1)时，退化为随机互补模型(SMPCC):

min{E[f(z,ξ(ω))]|0≤E[G(z,ξ)]⊥E[H(z,ξ)]≥0}

关于相对简单的随机互补模型的理论研究和求解方法，可参考相关文献[4-7]. 需要指出，SSOCMPCC模型并非SMPCC模型的平凡推广. SSOCMPCC模型可行集合不再有多面体性质，其一阶必要性条件更为复杂. 稳定性理论可参考Zhang等[8]、 Liang等[9]和Ye等[3]的工作. 需要注意关于C稳定点的定义是有歧义的，具体可以参见Chu等[10]的工作.

本研究希望构造一个求解SSOCMPCC模型的不依赖具体光滑化函数的光滑化SAA方法的一般框架. 该框架的构造对SSOCMPCC模型有效算法的研究具有积极作用.

假设E[f(z,ξ(ω))]、E[G(z,ξ(ω))]和E[H(z,ξ(ω))]对所有的z∈Rm都是有定义的.ξ(ω)简记为ξ.对应于锥Km，映射G(z,ξ)和H(z,ξ)可以进行如下分块，即：

假设可以抽样得到随机向量ξ的N个独立同分布的样本ξ1,ξ2, …,ξN.由此可构造SSOCMPCC模型的近似问题:

(1)

问题(1)依赖于ε的解z(ε)是随机变量.期望当ε→0时，z(ε)在某种概率意义下能接近SSOCMPCC模型的解.若Γε(·)为CHKS 光滑化函数时，由文献[10]知，上述期望是成立的.后续讨论将指出较一般的一类光滑化函数也有类似的性质.

1 预备知识

给定x=(x1;x2)∈Rt，在二阶锥Kt意义下的谱分解为：

x=λ1(x)c1(x)+λ2(x)c2(x)

(2)

其中:i=1, 2,λi(x)和ci(x)分别为x的特征值与特征向量，即：

(3)

SK(x)=[λ1(x)]+c1(x)+[λ2(x)]+c2(x)

SSOCMPCC模型的拉格……