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回归函数本质,提升数学能力

2023-02-11陶虹萍

中学数学杂志 2023年1期
关键词:奇函数对数性质

陶虹萍

广西防城港市高级中学

函数是高中数学的重要基础知识,贯穿于整个高中数学体系,是历年高考数学的一个重要考点.在高考数学试卷中,涉及函数的知识往往以“2+1”(两个小题,一个大题)的形式考查,一般占分为20分及以上,“函(数)”概重点知识,“导(数)”向高考的命题趋势与考查热点.破解涉及函数的高考试题,一定要正确回归函数本质,让学生学会从最基本的函数概念出发去理解数学问题,根据函数性质与数学运算去推理、演算、论证,结合数学思维去思考与分析问题,借助相应的技巧方法去解决函数问题,利用相关的数学知识来综合与应用.

1 关注函数概念,回归数学本源

函数概念是函数的本质属性,涉及函数概念的问题也是高考中比较常见的一类题型,其破解的实质就是回归数学本源,通过相关函数概念建立联系,构建方程、不等式等来合理解决.

分析:结合题目条件,要求解反函数中的函数值问题,利用反函数的概念,即求解原函数中对应的函数值即可.

故填答案:-3.

点评:在破解一些函数的相关问题中,经常要合理关注函数的基本概念,切实回归数学基础,从根源上切入数学问题的实质,回归数学本源,合理建立相应的联立,构建对应的方程、关系式等,进而得以合理解决.

2 关注函数求值,回归数学基础

函数求值问题往往以形式多样的题型在高考试卷中出现,或分段函数,或实际应用,或融合交汇.剖析函数问题的本质,结合函数求值,回归数学基础,合理构建联系,巧妙破解涉及函数求值的数学问题.

故填答案:2.

点评:对于分段函数的求值与应用问题,解题的关键就是回归数学基础,根据自变量的值所对应的解析式加以“对号入座”或分类讨论,建立相应的联系以及对应的关系式,合理构建,巧妙转化.

3 关注函数性质,回归数学内涵

函数性质是历年高考数学试卷中最常见、最基本的考点,通过函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质,或显性表现,或隐性包含,充分挖掘与应用函数的基本性质,回归数学内涵,巧妙破解数学问题.

例3(2021年高考数学新高考Ⅰ卷第13题)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=______.

分析:通过函数基本性质的应用,借助函数奇偶性的相互转化,把偶函数转化为奇函数,利用奇函数的性质代入应用,进而确定对应的参数值.

解析:由于函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,而y=x3为R上的奇函数,利用函数的基本性质,可知y=a·2x-2-x也为R上的奇函数.

借助奇函数的性质,可得a·20-20=a-1=0,解得a=1.

故填答案:1.

点评:熟练利用函数的基本性质,巧妙将条件中涉及函数解析式的问题进行拆分或组合,合理转化并应用函数的基本性质,从而达到巧妙解决函数问题的目的.

4 关注数学运算,回归数学规则

数学运算是函数问题中最基本的数学规则,借助幂指数运算、对数运算等运算法则与应用,合理“串联”起函数的相关基本知识,或直接利用函数应用,或交汇融合其他知识,得以合理应用,巧妙破解.

A.-1 B.lg 7

C.1 D.log710

分析:通过剖析题目条件,将给出的指数式进行对数化处理,然后合理分离参数,巧妙代入所求的代数式,结合对数运算与合理变形来进行有效地化简与求解.

解析:由条件2a=5b=10,两边同时取常用对数,可得alg 2=lg 10=1,blg 5=lg 10=1.

故选择答案:C.

点评:在函数问题中,幂指数、对数等基本运算是最常见的一些基本数学运算,破解此类运算问题,巧妙同底化处理,指(数)对(数)互化,幂运算与对数运算法则等都是必须熟练掌握的基本数学规则.

5 关注技巧方法,回归数学应用

技巧方法是破解函数问题比较特殊的一类策略,借助一些函数问题中的基本技巧方法,可以更加简单快捷地处理涉及函数的相关问题.比如,利用特殊值确定函数的大致图象,借助特殊函数的构建来确定函数的基本性质,等等.

图1

分析:结合条件中给出的函数解析式,先通过确定其定义域,结合奇偶性的定义判断函数图象的对称性,再结合自变量的取值情况加以分类讨论确定其函数值的正负情况,从而得以确定函数图象的大致情况.

故选择答案:B.

故选择答案:B.

点评:借助常规方法,结合函数解析式,从定义域、函数性质、函数值等角度切入,对比分析,合理排除,正确破解.而借助特殊值代入,通过特殊值所对应的函数值的正负情况,直接加以排除,从而得以巧妙判断,更快更简捷.

回归函数本质,从函数概念、函数性质、数学运算、技巧方法等思维视角切入,有效培养、形成、发展和拓展解题思维与方法,形成正确分析问题与解决问题的能力,从而简捷快速解题,提高解题效率,提升数学能力,培养数学核心素养.Z

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