任丽宇，姜金平，刘生清，罗轩怡

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

近年来，许多学者关于拉回指数吸引子的研究已有一定的成果［1-5］，其中LI［4］通过新的构造，对于离散过程缺乏平滑性或连续过程不满足连续的演化过程，建立了拉回指数吸引子的抽象结果。后来，LI等［5］利用简化的非自治系统的紧性条件以及利用拉回ω-极限紧，证明了非自治系统的拉回指数吸引子的存在性。MIRANVILLE 等［6-7］给出了一种研究具有记忆的演化方程解的长期行为的方法，并获得了带记忆的弱阻尼波动方程和带记忆的半线性热方程的轨道和全局吸引子。WANG 等［8］研究了具有记忆的非经典扩散方程的轨道和全局吸引子。孟凤娟等［9］研究了带记忆项的强阻尼波方程解的长时间行为。吴晓霞等［10］研究了无界域上带有线性记忆的波方程解的长时间行为。

在记忆型强阻尼波方程中轨道吸引子和全局吸引子存在的基础上，本文将文献［4］中使用的方法应用到记忆型强阻尼波方程，得到该方程的拉回指数吸引子的存在性。

本文考虑下列记忆型强阻尼波方程的拉回指数吸引子的存在性：

其中，Ω是在Rn上的有界光滑区域，n≥3，g(x，t) ∈非线性项满足

假设f∈C'(R)，f(0)=0，满足如下耗散条件：

μ满足以下假设：

1 预备知识

插值结果如下：给定s＞r＞q，对于任意δ＞0，存在Cδ=Cδ(s，r，q)，使得

定义1［5］令{U(t，τ)|t≥τ}是度量空间X中的一个过程，称非空有界集族M={M(t)|t∈R}为U(t，τ)的一个拉回指数吸引子，如果

1）对于∀t∈R，集合M(t)∈B(X)在X中是紧的；

2）M(t) ∈B(X)关于U(t，τ)是正向半不变的。也就是说∀t≥τ，U(t，τ)M(τ) ⊂M(t)；

3）M(t)的分形维数在X 中是一致有界的，也就是说存在F＞0，∀t∈R，使得dimfM(t) ≤F。……