李佩杰, 万海涛, 赵晓慧, 韦 化, 杨 明

定制化求解机组组合混合整数线性规划模型的固定—推断法

李佩杰1, 万海涛1, 赵晓慧2, 韦 化1, 杨 明3

(1.广西电力系统最优化与节能技术重点实验室(广西大学)，广西 南宁 530004；2.广西民族大学电子信息学院，广西 南宁 530006；3.电网智能化调度与控制教育部重点实验室(山东大学)，山东 济南 250061)

为了突破机组组合算法的自主可控问题，基于开源混合整数线性规划求解器CBC，提出一种快速获取机组组合问题可行解的固定—推断法。首先将机组组合模型转换为推断标准模型，然后按重要性对所有整数变量进行排序。并利用约束违反函数依次确定整数变量的值，实现整数变量的固定，利用约束关系推断出与其相关的整数变量值。最后经过多轮的固定—推断可以实现所有整数变量的取值，从而求解一个线性规划问题即可得到各机组的出力。仿真结果表明，所述算法能有效求解大规模机组组合问题，可在更短时间内获取质量较好的可行解。与CBC求解器结合，能显著提升CBC求解器对于机组组合问题的求解效率。此外，所述算法还具备在其他求解器上进行定制的潜力。

机组组合；混合整数线性规划；CBC求解器；固定—推断法

0 引言

电力现货市场能够充分发挥市场在电力资源配置中的决定性作用，是我国电力市场深化改革的重点内容[1]。机组组合(unit commitment, UC)问题作为电力现货市场出清的核心计算问题之一，其结果直接影响电力市场交易的公平性、经济性以及电力系统的安全性[2]。

UC问题在数学上属于大规模的混合整数非线性优化问题，难以求得精确最优解。几乎所有的优化方法均被运用于求解UC模型[3]，大致可分为三类：第一类是启发式方法，如优先顺序法[4](priority list, PL)、逆序停机法[5](unit decommitment, UD)；第二类是智能优化算法，如粒子群算法[6-8](particle swarm optimization, PSO)、遗传算法[9](genetic algorithm, GA)、人工鱼群算法(artificial fish swarm algorithm, AFSA)[11]；第三类是数学规划方法，如拉格朗日松弛法[11-12](lagrangian relaxation, LR)、动态规划[13](dynamic programming, DP)、鲁棒优化[14-15](Robust Optimization, RO)和混合整数线性规划法[16-18](mixed integer linear programming, MILP)。近些年，MILP理论的发展和计算机硬件水平的进步，极大地提升了MILP通用求解器的计算性能。以CPLEX求解器为例，从1998年至2012年其计算效率提高了近百倍[19]，MILP已经成为现货电力市场出清的“标准”算法。目前，我国大规模机组组合混合整数线性规划(unit commitment mixed integer linear programming, UC-MILP)模型的求解主要依赖国外商用MILP求解器，国内仅有杉树公司开发的商用COPT求解器具有一定的工业应用能力，虽然其线性规划求解部分已处于世界领先地位，但求解MILP模型的能力与国外老牌的商用求解器相比尚有差距。面对日益繁杂的UC-MILP模型，COPT求解器想要实现完全取代国外商用求解器仍有较长的路要走。由于国际形势的变化，国外商用求解器存在被管制的风险，因此，研究一种自主可控的UC-MILP求解算法是当务之急。

基于机器学习[20-21]方法是UC求解的一个重要创新方向，通过学习大量的UC历史出清结果，可以得到一个很好的训练模型，从而快速得到UC解。然而，这种方法所得到的解一般不是可行解，常常作为UC-MILP方法的启动解使用，最终还是要借助传统运筹学的数学规划算法进行修复才能得到可行解。

为加快开发进度和降低研发风险，本文借助开源MILP通用求解器CBC[22]的分支切割算法(branch and cut, B&C)框架，针对其内嵌启发式策略获取问题可行解较慢的缺点，根据UC问题特点进行定制化开发，提出一种快速获取UC问题可行解的固定—推断(fix and implicate, F&I)法。该方法首先将UC-MILP模型转化为推断标准模型，然后按重要性对所有整数变量进行排序，并利用约束违反函数依次确定整数变量的值，实现整数变量的固定。固定一个整数变量后，可利用约束关系推断与其相关整数变量的值，称为一轮固定—推断，每轮固定—推断可确定多个整数变量的值，多轮固定—推断后可实现所有整数变量的快速固定。固定完所有整数变量后，原问题由混合整数线性规划问题变为线性规划(linear programming, LP)问题，求解LP问题即可得到各机组的出力。F&I法能充分考虑UC问题物理特征和UC-MILP模型的约束结构，可行解的质量较高，而且不存在复杂的计算过程，执行效率高。该方法不仅可以在CBC求解器上进行定制化开发，也可与其他MILP求解器相结合，提升其求UC问题的能力。仿真结果表明，F&I法能有效求解大规模UC问题，可在较短的时间内获取质量高的可行解，与CBC求解器相结合，可显著提升其求解UC问题的效率。

1 UC问题的MILP数学模型

本文利用文献[16]的UC-MILP模型论述F&I法的原理。F&I法也可以推广到考虑其他约束的UC-MILP模型中，下面具体介绍所用模型的目标函数和约束条件。

1.1 目标函数

UC问题以发电总费用最少为目标函数，即

发电成本通常用二次函数表示，但在UC-MILP模型中则可表示为分段线性化公式。

启动成本可表示为

1.2 约束条件

1) 系统功率平衡约束

2) 旋转备用约束

3) 机组出力约束

4) 爬坡约束

5) 最小启停时间约束

6) 逻辑约束

2 MILP问题与CBC求解器

对于上述UC-MILP模型，可以统一表示为MILP问题一般形式，并使用CBC求解器求解。

2.1 MILP问题

式中：、分别表示整数变量和全部变量的索引集合；、分别表示目标函数系数列向量和约束右端项列向量；、分别表示变量上下界列向量；表示约束系数矩阵；表示所有变量的列向量。

B&C算法是求解以上MILP问题的主要方法之一，也是许多成熟MILP通用求解器所采用的基础框架[23]。该方法在分支定界(branch and bound, B&B)法的基础上，以割平面收紧LP松弛节点(去掉变量整数约束的节点)，并通过树形结构搜索解空间，根据整数变量的分数值不断分支，产生子LP节点，求解各个节点的LP问题以获取可行解。为了提高整个算法的速度，MILP通用求解器还加入了启发式、预处理、节点选择等策略。其中，启发式策略通过快速提供可行解，剪掉B&C搜索树上的大量分支，从而极大地提高了求解器的计算效率，是B&C算法提速的关键技术[24]。

2.2 CBC求解器

CBC开源求解器属于COIN-OR基金会项目，由IBM研究中心的John Forrest牵头开发，现已在Github设立主页，社区活跃度高，代码更迭速度快。该项目遵循EPL(eclipse public license)2.0[25]开源协议，允许免费应用于商业项目，二次开发部分可以进行闭源发布，这一点恰好能够满足定制化UC算法自主可控的需求。

CBC求解器同样采用B&C算法作为基础框架，同时内嵌丰富的启发式策略。对于大规模UC问题来说，CBC的启动启发式策略效果较差，如：可行性泵[26]和潜入法[24]需要花费很长时间才能找到可行解，而舍入法[24]在大多数情况下找不到可行解，因此，CBC求解器的启发式策略是无法快速求解UC问题的瓶颈之一。

当取整完所有整数变量即可得到一个解时，舍入法执行效率很高，但由于取整策略较为简单，所以很难保证解的可行性。因此，本文借鉴舍入法的算法思想提出F&I法，在保证效率的前提下，结合UC问题的模型结构及物理特点设计了新的变量取整策略，提高了解的可行性和质量。将它作为启动启发式策略嵌入到CBC求解器中，通过快速提供可行解，极大地提高了CBC求解器解决UC问题的效率。

3 F&I法

本节首先介绍F&I法的思想，然后具体给出其步骤。

3.1 F&I法的思想

F&I法是一种整数变量的快速固定方法，下面借助一个简单的MILP问题阐述F&I法的思想，如式(22)所示。

通过上述MILP问题的举例，可以提炼出F&I法的核心思想：从零解点开始(所有整数变量初始化为0 )根据变量重要性依次固定整数变量，每固定一个整数变量，就可利用约束关系推断出其他相关整数变量的值，多轮固定—推断后可快速固定所有的整数变量。虽然F&I法与分支定界法有一定的相似之处，但是F&I属于启发式方法，是为了找到一个可行解，而非最优解，它每轮都可以固定一个变量，还可以推断得到很多其他变量的值。而分支定界法通过将0-1变量分别取为0和1时，得到两个对应的LP松弛子问题，并求解这两个松弛子问题，得到子问题的目标值和整数解情况，而此时并不能将这个变量最终固定为0或1，它只是为后续寻优提供依据。

F&I法固定完所有整数变量后，使求解MILP问题转化为求解LP问题，LP问题的解即各机组的出力，从而得到原MILP问题的可行解。

3.2 F&I法的主要步骤

3.2.1 模型转换

观察模型(22)，可以总结出它的两个结构特点：I) 整个问题不包含连续变量，且所有整数变量均为0-1变量；II) 所有约束的系数均属于区间[-1, 1]。

结构特点II)使得利用约束系数所构成的指标具有可比性，F&I法将该结构特点运用到了变量的重要性指标中。

本文将同时具有上述2个结构特点的模型称为推断标准模型。下面介绍如何将UC-MILP模型转换为推断标准模型。

可以看出，该变换为等价变换，不会影响可行域。

下面给出UC-MILP模型转换为推断标准模型的过程。

对于第1节的UC-MILP模型，约束(13)、(14)、(17)—(19)已是推断标准约束，无需转换。

约束(7)只含有连续变量，消除连续变量后约束失效，推断标准模型将不含该约束。

约束(8)不含连续变量，已经满足结构特点I，但不满足结构特点II，只需将约束两端同时除以所有机组出力上限的最大值。

约束(9)—(12)既不满足结构特点I也不满足结构特点II。以机组1在时段1~2的约束(11)为例进行模型转换，假设约束为

经过上述变换，可将UC-MILP模型转换为推断标准模型，如式(29)所示。

F&I法所有后续步骤均在模型(29)的基础上进行。

3.2.2变量的重要性排序

变量的重要性排序是把重要的变量放在前面，有利于推断出更多的变量，提高了获得问题可行解的概率。为了获得整数变量的固定顺序，这里提出重要性指标，并据此对变量进行排序。

本文的UC-MILP模型包含四类0-1变量，这里认为机组开机状态变量比其他3类变量重要，这是因为UC问题的主要目标为确定机组的开机状态，其他几类变量均受机组开机状态变量影响，当机组开机状态确定时，利用式(17)—式(19)的逻辑约束即可确定其他3类整数变量。

首先，考虑机组开机状态变量的固定顺序问题，下面分两种情况给出具体的比较方法。

1) 对于不同机组的开机状态变量，利用文献[4]中的优先列表法对所有机组进行排序，即最大出力越大的机组越重要。对于最大出力相同的机组，根据热率(heat rate, HR)指标确定先后顺序，热率指标定义为

然后，对于剩下的3类0-1变量，根据推断标准模型的结构，定义重要性指标如式(31)所示。

3.2.3变量的固定值选取

按重要性对整数变量排序之后，依次为未固定的整数变量确定固定值，下面介绍整数变量固定值的确定方法。

综上，固定值的选取采用了贪婪式原则，尽可能地使所选固定值满足更多约束，提高了获得问题可行解的概率。

3.2.4推断原理

固定某一个整数变量后，就可利用约束关系来确定其他相关整数变量的值，这是一个推断过程，在CBC求解器中提供了相应的实现函数，下面介绍推断原理。

该值可以依据各变量的系数符号代入上下界快速求得，即系数符号为正的变量取0，系数符号为负的变量取1。然后，计算式(36)的参数。

可见，推断的变量取值一定是在可行域内，推断的过程是可靠的，固定变量后推断出来的值是唯一的。充分利用推断过程，有利于提高变量取值的可行度。

3.2.5回溯

在某一整数变量固定为1后，利用推断原理可能会发现该固定值使得其他变量违背边界约束，即下界大于上界，此时，需要将该变量重新设置为0，并跳过该变量，继续选择下一个变量固定，这个过程称之为回溯。后续的某些推断过程，可能得到这个跳过变量的可行值。

3.2.6 F&I法流程图

根据上述主要步骤， F&I法的基本流程总结如图1。

图1 F&I法流程图

4 算例分析

为了更加清晰地展示固定—推断过程，设计一个2机3时段系统，机组和负荷的数据如表1和表2所示。

表1 机组参数

表2 负荷及备用

表3给出了每轮固定—推断的详细情况，其中：○代表在本轮固定—推断中被固定的值；£代表本轮固定—推断中被推断出的值；加粗数字表示在之前的固定—推断轮数中已经被确定的值。

在第一轮固定—推断中，根据式(38)可以得到如下约束并进行模型转换。

表3 固定—推断过程

为了进一步验证F&I法的有效性，以文献[13]中的10机24时段算例数据为基础，复制产生20~1000机24时段数据，系统的负荷按同等比例扩大得到。在Windows 10系统上用C++实现算法，硬件环境为Intel(R) Core(TM) i7-10700 CPU 2.90 GHz，16 GB 内存，CBC版本为2.9.4。

表4和图2比较了在不同算例上F&I法与其他方法的求解时间与总费用，如：扩展优先顺序法EPL[4]、结合启发式策略的粒子群算法DPSO[7]、基于邻域搜索的拉格朗日松弛法LSLR[12]及量子近似动态规划法QIADP[13]。由表4和图2可以看出，F&I法的求解时间远少于其他方法，同时在总费用方面也具有竞争力，所以F&I法可以在更短时间内求得一个质量较高的可行解。

表4 不同算法的时间比较

图2 不同算法的总费用比较

然后，对F&I法的计算特性进行了测试。图3展示了用F&I法求解100~1000机组24时段算例的计算时间和内存消耗折线图。由图3可以看出，随着机组规模的增加，F&I法无论是在计算时间还是内存消耗上都近似呈线性增长。说明F&I法在大规模UC问题上同样适用，求解时间和内存消耗不会随问题规模的增大而呈指数级增长。

图3 固定—推断法的计算特性

为了验证F&I法对CBC求解器性能的提升作用，比较了引入F&I法前后CBC求解器求解UC问题的计算能力。设置CBC求解器的收敛间隙为0.1%，通过关闭CBC求解器默认的启动启发式策略FeasibilityPump，启用F&I法作为替代，对比CBC求解器的计算速度差异，如图4所示。可以看出，F&I法的加入显著提高了CBC求解器求解UC问题的能力，特别对于600机以上的大系统来说，平均计算速度提升40%左右。系统越大，F&I法对CBC求解器计算性能的提升愈加明显。说明了结合问题本身设计专用的启动启发式策略，用以替换CBC求解器内置的通用启动启发式策略，进而提高CBC求解器性能这一做法是具有可行性的。

图4 CBC计算能力对比

最后，将结合了F&I法的CBC求解器与主流的商用求解器进行比较，包括Gurobi 9.5.1、CPLEX 12.9.0.0和COPT 4.0.3，设置收敛间隙为0.1%，结果如表5所示，CBC-1表示未结合F&I法的CBC，CBC-2表示结合了F&I法CBC。可以看出，未结合F&I法的CBC求解器性能已经超过了COPT求解器；但相较于Gurobi、CPLEX仍有不小差距，F&I法的引入，有效缩小了CBC与它们之间的差距。

表5 各求解器性能比较

5 结论

为解决开源求解器CBC求解UC-MILP模型速度慢的问题，本文提出了快速获取UC问题可行解的F&I法，作为启动启发式策略提高CBC求解器计算能力。F&I法是一种整数变量的快速固定方法，借鉴了rounding的算法思想，在固定的过程中充分地利用了UC问题的物理特征和UC-MILP模型的约束结构，并且在每轮固定后加入推断过程，在保证解可行性的同时提高了解的质量。固定完所有整数变量后，原始MILP模型变为LP模型，求解LP模型获得所有机组的出力方案。仿真结果表明，该方法在求解速度方面具有明显优势，适用于大规模UC问题，而且所得可行解质量较好。该方法可以快速为CBC求解器提供初始可行解，显著提升了CBC求解器对于UC问题的求解能力。不仅如此，F&I法还可以方便地嵌入其他MILP求解器中，用于提高求解器的计算性能。该方法为结合问题本身特点定制化地提高求解器计算能力提供了新思路。

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A customized fix and implicate method for mixed integer linear programming models of unit commitment problems

LI Peijie1, WAN Haitao1, ZHAO Xiaohui2, WEI Hua1, YANG Ming3

(1. Guangxi Key Laboratory of Power System Optimization and Energy Technology (Guangxi University), Nanning 530004,China; 2. College of Electronic Information, Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006, China; 3. Key Laboratory of Power System Intelligent Dispatch and Control (Shandong University), Jinan 250061, China)

To obtain an independent and controllable method for unit commitment (UC) , based on the open source mixed integer linear programming (MILP) solver CBC, this paper proposes a fix and implicate (F&I) method to fast obtain the feasible solution of UC problem. First, the implicate standard model is obtained by transforming UC model, and all integer variables are sorted by their importance. Then, the integer variables are sequentially fixed to values determined by the constraint violation function. The values of other related integer variables are implicated by constraint relation in each round of fixing. Through some rounds of fixing and implicating, all integer variables are fixed quickly. Finally, the power output of each unit can be obtained by solving a linear programming problem. The simulation shows that the proposed method can effectively solve large-scale UC problems and obtain better feasible solution in a short time. Combined with the proposed method, CBC solver can solve UC problems more effectively. In addition, the F&I method also has the potential for customization on other solvers.

unit commitment; mixed integer linear programming; CBC solver; fix and implicate method

10.19783/j.cnki.pspc.220548

国家自然科学基金项目资助(51967002，52267006)

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 51967002 and No. 52267006).

2022-04-18；

2022-08-25

李佩杰(1984—)，男，通信作者，博士，副教授，博士生导师，主要研究方向为电力系统小干扰稳定与优化运行；E-mail: lipeijie@gxu.edu.cn

万海涛(1996—)，男，硕士研究生，主要研究方向为电力系统最优运行；E-mail: wanhaitao@st.gxu.edu.cn

赵晓慧(1983—)，女，博士，讲师，主要研究方向为电力系统最优运行。E-mail: zhaoxiaohui586@163.com

(编辑 姜新丽)