王丰效

(喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844000)

模糊集理论及其推广在许多领域得到了广泛应用.模糊集、双极值模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集以及区间值直觉模糊集等理论被广泛应用于各类代数系统[1-4].半群是应用广泛的一类代数系统，模糊半群理论在许多等领域起着重要作用.Kim等[5]将模糊集应用于半群，研究半群的模糊理想的特征.谢祥云等[6]详细介绍了模糊半群理论.文献[7-8]分别讨论半群的区间值模糊子半群和区间值模糊理想的相关特性.作为模糊子半群的推广，带限度的模糊集的概念被应用于半群等代数系统[9-10]，如文献[11-12]引入了半群的区间值直觉模糊子半群和区间值直觉模糊理想的概念，研究了它们的特性.作为双极值模糊集的推广，文献[13-16]引入了多极模糊集的概念，并将多极模糊集应用于图论、群论等.论文引入多极区间值模糊集的概念，将多极区间值模糊集的概念应用于半群，给出了半群的多极区间值模糊子半群的概念，并讨论了它的相关特性.

1 预备知识

为了讨论方便，先给出几个相关概念.

定义1[6]设·是S的一个二元运算，如果对任意x,y∈S，有①x·y∈S；②(x·y)·z=x·(y·z).则称(S,·)为一个半群.

为讨论方便，二元运算x·y简写为xy.

定义2[6]设半群S的非空子集I称为S的子半群，如果I2⊆I，即如果x,y∈I,则xy∈I.

定义3[6]设μ是半群S的模糊集，如果对任意x,y∈S,有μ(xy)≥μ(x)∧μ(y),则称μ为S的模糊子半群.

定义4[10]设A是半群S的区间值模糊集，如果对任意x,y∈S,有A(xy)≥A(x)∧rA(y),则称A为S的区间值模糊子半群.

定义5假设Ai=[μi,νi]⊂[0,1](i=1,2,…,n)是非空集X的区间值模糊集，称

为非空集X的n-极区间值模糊集.

1-极区间值模糊集即区间值模糊集.另外，如果n-极区间值模糊集的分量区间Ai都退化为一个数，则n-极区间值模糊集就是多极模糊集.因此n-极区间值模糊集的概念既是区间值模糊集的推广，也是多极模糊集的推广.

如果A=[a1,a2]和B=[b1,b2]是两个区间值模糊集，定义A≤B⟺a1≤a2,b1≤b2,有

A∧rB=[min{a1,b1},min{a2,b2}],

A∨rB=[max{a1,b1},max{a2,b2}].

2 半群的n维区间值模糊子半群

即

Ai(xy)≥Ai(x)∧rAi(y),i=1,2,…,n，

例1假设S={a,b,c,d,e},S的二元运算·如下

·abcdeaaaaaabaaaaacaaccedaacdeeaacce

例2假设S={0,1,2,3},S的二元运算·如下

·012300000101202022130133

γmin((A1(x),…,An(x)),(A1(y),…,An(y)))=

(A1(x)∧rA1(y),A2(x)∧rA2(y),…,An(x)∧rAn(y)),

即Ai(xy)≥Ai(x)∧rAi(y),i=1,2,…,n,从而A1,A2,…,An都是半群S的区间值模糊子半群.

证明I是半群S的子半群，定义半群S的n-极区间值模糊集为:当x∈I时，有

当x∉I时，有

综上，对任意x,y∈S，有

因此

证明对任意(x1,y1),(x2,y2)∈S×R,有

(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2,y1y2).

因此

下面讨论半群的n-极区间值模糊子半群在同态映射下的相关性质.假设S和R是两个半群，f:S→R是S和R的同态映射，即对任意x1,x2∈S,有f(x1x2)=f(x1)f(x2).

故

所以

3 结 论

论文将多极区间值模糊集的概念应用于半群，讨论半群的多极区间值模糊子半群的概念和其基本性质，得到半群的多极区间值模糊子半群与区间值模糊子半群、子半群的关系；进一步研究了半群的多极区间值模糊子半群关于交运算和直积的封闭性质，以及半群的多极区间值模糊子半群在同态映射下像与原像的相关性质.论文所得结果能够丰富模糊半群理论.