张萍吴楠邢蕾

（银川能源学院电力学院，宁夏 银川 750105）

0 引言

当前，自动控制技术渗透到国民经济各领域和社会生活各方面，在我国工业化、信息化与现代化建设中发挥着巨大作用。随着技术革命和大规模复杂系统的发展，促使控制理论向智能控制理论发展[1]。但经典控制理论的形成，对控制科学的发展起到不可磨灭的推动作用。“自动控制原理”课程主要研究经典控制理论，它是以系统的数学模型为基本框架，以时域分析、根轨迹法和频域分析法为主要分析、设计工具，在控制理论的分析中，传递函数贯穿始终[2，3]。由于课程教学内容量大、理论性强、知识抽象，学生时有晦涩难懂的感觉，存在教师难教、学生难学的现象[4，5]。针对以上问题，本文以传递函数的求解为例，将“一例多解”教学方法应用其中，归纳总结了四种求取传递函数的方法，供大家参考。

1 传递函数

传递函数指线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为G（s）=。式中：G（s）为线性定常系统的传递函数；C（s）为系统输出量的拉氏变换；R（s）为系统输入量的拉氏变换。使用传递函数分析或设计系统时，需要说明：（1）传递函数在零初始条件下定义。（2）传递函数是复变量s的有理真分式，且所有系数均为实数[6]。（3）只适用于线性定常系统。（4）只适用于单输入单输出系统[7]。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律[8]。

2 传递函数的求取方法

2.1 微分方程法

微分方程是描述自动控制系统动态特性最基本的方法。一个完整的控制系统通常由若干元器件或环节以一定方式连接而成，对系统中每个元器件或环节按照其运动规律列出其微分方程，然后将这些微分方程联立起来，求出了整个系统的微分方程，再对微分方程进行拉氏变化，将其整理成输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，即得到系统的传递函数。

2.2 复阻抗法

对于由电阻、电容、电感组成的无源网络等，在求取其传递函数时可直接用复阻抗法。线性元件的复阻抗是依据线性元件的V-I关系而成立的。三种基本线性元件即电阻R、电容C和电感L，各自的复阻抗分别为和Ls。复阻抗法即利用各元件的串联、并联等关系或遵从的物理规律直接列写出表示输出量与输入量在复频域s内的关系的方程，从而得到系统的传递函数[9]。

2.3 结构图化简法

控制系统的结构图是用来描述系统中各元部件之间信号传递关系的数学图形，表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算[10]。控制系统的结构图是一种网络拓扑约束下的有向线路，由信号线、引出点、比较点和方框四个部分组成。

采用结构图化简法求取系统传递函数具体步骤是：（1）由系统原理图绘制系统结构图；（2）根据研究目的确定系统的输入和输出；（3）移动引出点或比较点，将串联、并联、反馈连接的方框由等效环节代替；（4）把闭环系统化简成最基本的结构图形式，并求出其总的传递函数。

2.4 梅逊公式法

梅逊公式法是在信号流图基础上利用梅逊公式求取传递函数的方法。它由节点和支路两部分组成：梅逊公式给出了在系统信号流图中，任意输入节点与输出节点之间的传输等于他们之间的增益，即传递函数，公式为：

式中：n为从输入节点到输出节点的前向通路的总数目；Δ为特征式；Pk为第k条前向通路总增益；Δk为第k条前向通路特征式的余因子式。

采用梅逊公式法来求解系统传递函数的具体步骤是：（1）绘制信号流图，并标出各支路的增益；（2）利用梅逊公式求控制系统总增益，得到了系统的传递函数。

3 举例说明

例题：图1是由电阻R1和R2、电容C1和C2所组成的无源网络，试以ui（t）为输入、uo（t）为输出，采用不同的方法求取该网络的传递函数。

图1 系统电路原理图

解法一：微分方程法

据基尔霍夫定律，列写微分方程组如下：

消去中间变量i1（t）、i2（t）、u1（t），整理得到该网络的微分方程为：

零初始条件下，对上式两边同时取拉氏变换，整理得系统的传递函数为：

解法三：结构图化简法

将系统原理图改画为系统结构图，并分别标出系统的三个比较点A、B、C和三个引出点1、2、3，如图2所示。

图2 系统结构图

将比较点B前移、引出点2后移，并将各环节等效，得新的系统结构图如图3所示。

图3 等效后系统结构图

由负反馈传递函数计算公式得系统传递函数：

解法四：梅逊公式法

系统信号流图，如图4所示。

图4 系统信号流图

三个互不接触的回路不存在，所以：

前向通路增益及其余子式为：

最后，由梅逊公式，得系统的传递函数为：

4 结语

应当指出，对于系统传递函数的计算，方法有很多。本文只介绍了其中的四类，而这四类方法各具特色。可以根据具体题目，有所选择地使用。给定条件不同，选择方法不同。

本文针对自动控制原理教学内容量大、理论性强、知识抽象的特点，以求解传递函数为例，将“一例多解”教学方法应用其中，归纳总结了四种求取传递函数的方法，既缓解了知识难于理解的问题，为例题求解寻求了多种路径，也解决了教学手段单一的不足，使师生在教学过程中共同进步，享受获取知识的满足感和成就感，加强了课堂效果，提升了学习效率。希望能真正帮助大家共同学好“自动控制原理”这门课程，也希望对实际工程人员能有所裨益，欢迎共同探讨交流。