张昭琪，李平

(华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门 361021)

近年来，被广泛应用于众多领域的无人机(飞行器)受到了工业界和学术界的关注[1].无人机按照需求分为消费级无人机及工业级无人机.其中，工业级无人机主要应用于较为复杂的环境中，如运送货物、环境保护、事故检测等.相较于传统飞行器，四旋翼飞行器具有结构简单、灵活性强、携带方便等优点[2-5]，但四旋翼飞行器是一个强耦合、非线性的欠驱动系统，导致其轨迹跟踪问题面临诸多挑战.因此，如何实现工业四旋翼飞行器稳定、快速地跟踪期望轨迹成为一个热门的研究课题.

滑模控制(SMC)作为一类非线性控制，具有快速相应、对应参数变化及扰动不敏感、物理实现简单等特点.目前，研究人员已提出许多扩展滑模控制的方法，并应用于四旋翼飞行器的控制器设计中[6-11].文献[6]提出一种用于稳定四旋翼飞行器姿态的鲁棒二阶滑模控制器，可以克服经典滑模控制中的抖颤现象，并保留滑模的不变性.文献[7]提出一种稳定一类串级控制系统的滑模控制方法.此外，为说明滑模控制的鲁棒性，四旋翼飞行器在飞行过程中，风扰被视为一种特定的扰动因素[12].文献[13]提出二阶滑模控制，以改善四旋翼飞行器存在模型不确定性时的系统性能.然而，上述方法未对滑模面参数选择进行进一步的研究.为避免有限时间控制在整定时间上的缺陷，文献[14-16]提出有限时间观测器和固定时间观测器，以及在不同被控对象上与控制算法结合的控制策略.文献[17]将超级扭转算法与积分滑模控制相结合，解决喷气式飞行器的预分配时间和跟踪控制问题.文献[18]提出与模糊学习结合的固定时间控制方案，以保证足够快的收敛时间及零跟踪误差.然而，上述方法需构造复杂的李雅普诺夫(Lyapunov)函数以保证跟踪结果.基于此，本文采用固定时间扩张状态观测器的二阶滑模控制(FTESO-2-SMC)策略，设计四旋翼飞行器系统的控制及扰动补偿的方案.

1 四旋翼飞行器模型

图1 四旋翼飞行器结构模型Fig.1 Structure model of quadrotor

四旋翼飞行器结构模型，如图1所示.图1中：F1～F4分别为4个电机的升力；ω1～ω4分别为4个螺旋桨的转子角速度；[x，y，z]为地球固联坐标系；O为地球固连坐标系的原点；[xB，yB，zB]为机体坐标系；OB为机体坐标系的原点；φ，θ，ψ分别为四旋翼飞行器的滚转角、俯仰角和偏航角；g为重力加速度；m为四旋翼飞行器的质量.

4个螺旋桨作为直接动力源，2根硬杆垂直交叉于中心，旋翼对称分布于4个机臂末端.动力学模型由地球固连坐标系建立的位置模型和机体坐标系建立的姿态模型组成.通过欧拉角建立的四旋翼飞行器动力学模型基于以下3个假设[19-20].1) 四旋翼被视为1个刚体，且结构对称.2) 四旋翼的几何中心与重心重合.3) 在四旋翼飞行器的飞行过程中，系统受到的扰动是有界的，各输出受到的扰动db≤D，b=1，2，…，6，D为扰动的上界.

基于上述假设，可得动力学模型为

(1)

式(1)中:u1～u4为四旋翼飞行器各控制输入量(控制律)；Ix，Iy，Iz分别为四旋翼飞行器绕机体坐标系的转动惯量；l为螺旋桨到四旋翼飞行器中心的距离；k1～k6为气动摩擦系数；Jr为螺旋桨的转动惯量；ωr为螺旋桨整体的角速度，ωr=-ω1+ω2-ω3+ω4.

在控制策略中，需要考虑内部参数不匹配及外部扰动对系统的影响.由于四旋翼飞行器的欠驱动特性，滚转角和俯仰角的期望值φd，θd需要根据期望轨迹进行姿态解算得到.令ux=u1(cosφsinθcosψ+sinφsinψ)，uy=u1(cosφsinθsinψ-sinφcosψ)，uz=u1cosφcosθ1，则φd，θd分别为

(2)

式(2)中：ψd为偏航角的期望值.

2 四旋翼飞行器控制策略设计

通过四旋翼飞行器的6个状态量及控制输入量的信息建立固定时间扩张状态观测器的二阶滑模控制策略.在控制结构中，采用二阶滑模控制器来保证状态变量在有限时间内收敛，同时采用固定时间扩张状态观测器(FTESO)来估计四旋翼飞行器的位置、姿态及相应的扰动.四旋翼飞行器控制结构图，如图2所示.图2中：xd，yd，zd为x，y，z的期望值.

图2 四旋翼飞行器控制结构图Fig.2 Control structure diagram of quadrotor

根据系统状态将系统分为全驱动子系统和欠驱动子系统，分别采用二阶滑模控制器来保证状态变量在有限时间内收敛.利用固定时间扩张状态观测器在时间上限内观测到扰动项的特点，到达时间上限后，将趋近律中的符号项取消，从而保证系统状态收敛的同时减少扰动.

2.1 固定时间扩张状态观测器的设计

相较于传统扩张状态观测器，固定时间扩张状态观测器允许状态在固定时间内从任意初始位置收敛至真实值.固定时间扩张状态观测器的设计以x轴为例进行说明，有

(3)

引理1固定时间扩张状态观测器的参数如下.

根据式(3)、引理1及文献[21]可以得到任意的初始观测误差在时间上限内收敛至零的数学推导.因此，观测误差将在固定的时间上限内收敛到零，且收敛时间与初始观测误差无关.与现有的线性扩张状态观测器(ESO)相比，FTESO采用两个多项式分量，即阶数小于1的多项式分量和阶数大于1的多项式分量，故FTESO的固定时间收敛特性是基于两个多项式分量及Tu.当时间t

2.2 二阶滑模控制器的设计

二阶滑模控制结构图，如图3所示.

图3 二阶滑模控制结构图Fig.3 Structure diagram of second order sliding-mode control

根据四旋翼飞行器的动力学模型，将系统划分为全驱动子系统及欠驱动子系统.全驱动子系统是由状态变量[zdψd]T组成的高度和偏航角的双通道子系统.欠驱动子系统是由状态变量[xd，θd，yd，φd]T组成的俯仰角和滚转角的双通道子系统.

全驱动子系统的滑模面S1，S2分别为

(4)

(5)

式(4)～(5)中：C1，C2为滑膜面系数，C1，C2>0.

(6)

式(6)中：趋近律参数ε1，ε2，γ1，γ2均大于0.

对滑模面进行求导，并根据相应的趋近律，可得全驱动子系统的控制律为

(7)

(8)

式(8)中：C为比例系数.

欠驱动子系统的滑模面S3，S4分别为

(9)

(10)

式(9)～(10)中：C3～C10均为滑模面系数.

(11)

对欠驱动子系统的滑模面进行求导，并根据相应的控制律，可得欠驱动子系统的控制律为

(12)

(13)

2.3 FTESO-2-SMC策略的稳定性分析

FTESO主要用于四旋翼存在内部参数不确定及外部扰动的情况中，以保证系统状态的快速收敛，并消除控制输入的抖颤问题.FTESO-2-SMC策略分为3个部分:1) 当t为[0，T1]，主要利用趋近律中的sgn(·)函数保证系统状态收敛至滑模面；2) 当t为[T1，T2]，此时固定时间扩张状态观测器已经跟踪上误差项，主要通过前馈补偿的方式抵消扰动项，同时取代sgn(·)函数，从而减少控制输入的抖颤现象；3) 当t为[T2，+∞]，系统状态从滑模面收敛至平衡点，滑模面参数根据Hurwitz判据得到.

由二阶控制器可知，系统状态误差可从状态空间中的任意位置收敛到滑模面.在此基础上，引入固定时间扩张状态观测器，以前馈的方式对控制器进行补偿.

当t为[0，T1]，全驱动子系统的控制律为

(14)

(15)

当t为[0，T1]，欠驱动子系统的控制律为

(16)

(17)

根据FTESO的特点，即系统状态误差在固定的时间上限内从任意初始位置收敛至零，这意味着达到固定时间后跟踪上相应的误差项.因此，当t为[T1，+∞]，取消控制输入内的符号项，采用FTESO补偿取而代之.

(18)

当t为[T1，+∞]，全驱动子系统的控制律为

(19)

(20)

当t为[T1，+∞]，欠驱动子系统的控制律为

(21)

(22)

定理1在整个控制过程引入扰动的情况下，对于四旋翼控制系统及滑模面，分阶段采用式(14)～(17)，(19)～(22)进行计算，系统状态变量将在有限时间内收敛至期望值.更进一步，系统状态的跟踪误差将在有限时间内收敛至零.

证明：选取Lyapunov函数为

第1阶段([0，T1]).根据式(5)～(7)，(11)～(12)，(15)～(18)，对选定的Lyapunov函数进行求导，可得

基于扰动有界的假设db∈|D|，参数εi的选择遵循εi≥|D|，可以将上式改写为

上式中：ιi=εi-|D|.

第2阶段([T1，T2]).根据式(4)～(6)，(9)～(11)，(19)～(22)，有

根据FTESO的特性，当时间为[T1，T2]时，观测值已经跟踪上扰动值，可将上式改写为

第3阶段([T2，+∞]).根据上述推导，全驱动子系统的状态变量误差将在有限时间内收敛至零，而欠驱动子系统的滑模面参数S3，S4需要满足Hurwitz判据，从而保证系统状态误差收敛至零.以S3为例进行说明.

(23)

当S3=0，可得

(24)

将式(24)带入式(23)，可得

(25)

(26)

(27)

上式中：ξ1～ξ3为足够小的常量；a，b，c，A21，A22，A23均为矩阵A的系数.

λleft(A)为矩阵A在负半平面中实部处于最左边的特征根.矩阵A中的参数选择需要使λleft(A)≪0.因此，矩阵A满足Hurwitz判据，并且可以得到相应的状态变量在平衡点附近是渐近稳定的.

令C4≠0，C6≠0，矩阵A的系数为

令|λI-A|=0，可得

相应的特征多项式为

λ3-(A22+c)λ2+(cA22-A21-bA23)λ+cA21-aA23=0.

(28)

设计相应的特征根α1～α3，则特征方程为

(λ+α1)(λ+α2)(λ+α3)=0.

(29)

式(29)中：设计的特征根需要保证在复平面的负半平面.

3 仿真结果及分析

为了直观地验证控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平台上进行仿真实验.仿真实验中，四旋翼飞行器模型参数及控制器参数，分别如表1，2所示.

表1 四旋翼飞行器模型参数Tab.1 Parameters of quadrotor model

表2 控制器参数Tab.2 Parameters of controller

仿真实验中，将初始状态设置为零，为模拟真实的作业环境，分别对z，φ，θ引入扰动dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.固定时间扩张状态观测器的二阶滑模控制策略的轨迹跟踪仿真图，如图4所示.位置轨迹跟踪仿真对比图，如图5所示.由图5可知：相较于二阶滑模控制(2-SMC)策略，FTESO-2-SMC策略在期望轨迹变化时更稳定，且收敛速度更快.

图4 FTESO-2-SMC策略的轨迹跟踪仿真图 图5 位置轨迹跟踪仿真对比图Fig.4 Simulation diagram of FTESO-2-SMC strategy tracking trajectory Fig.5 Simulation comparison diagram of position tracking trajectory

为了更清晰地对比两个控制策略的响应速度及控制输入，选取其中一点进行定点悬停分析.分别对z，φ，θ引入扰动dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.设定目标点x，y，z，ψ分别为1，0，10，0，仿真对比图如图6，7所示.全驱动子系统和欠驱动子系统的控制输入对比图，如图8，9所示.由图8，9可知：FTESO-2-SMC策略控制输入更为平滑，有效地减少了控制输入的抖颤现象.

图6 位置定点悬停仿真对比图 图7 姿态定点悬停仿真对比图 Fig.6 Simulation comparison diagram of position fixed point hovering Fig.7 Simulation comparison diagram of attitude fixed point hovering

图8 全驱动子系统控制输入对比图 图9 欠驱动子系统控制输入对比图Fig.8 Comparison diagram of fully-actuated subsystem control input Fig.9 Comparison diagram of under-actuated subsystem control input

4 结束语

提出固定时间扩张状态观测器的二阶滑模控制策略，针对二阶滑模控制存在输入抖颤的问题，采用固定时间扩张状态观测器来观测并抵消扰动.当观测值未跟踪上准确的真实值前，由二阶滑模控制器确保所有的状态变量在可控范围内；当到达时间上限时，取消趋近律中的符号项，从而减少控制输入的抖颤现象.在今后的工作中，将会把观测器的时延考虑到控制设计之中.