西华师范大学数学与信息学院

彭 亚 高 明

1 如何实现一题多解

一题多解，是指从不同的视角出发来分析题目，用多种方法来解题.它不仅能促进学生对题目本质的理解，还能发展他们的思维，更能激发他们解题的兴趣，使数学解题教学充满趣味性，数学课堂氛围也变得活泼.本文中以一道常见的解三角形题目为例，分析题目的多种解法，展现解题过程，促进学生对一题多解的进一步认知.

解题的本质就是对题进行变换和化归.要想实现一题多解，首先要拆解题目，明白题目具有的信息特征.比如数量、结构、关系、图形等特征，不同的特征会带给我们不同的解题视角.其次，选择解题的策略.解题策略包括变、换、构、拆、凑，这也是一题多解的角度，不同的角度拟定不同的解题计划.接着，根据解题计划逐步实施.最后反思解题过程能否继续优化拓展.

2 典例分析

例在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若角A,B,C的大小成等比数列，并且b2-a2=ac，求角B的大小.

思维视角一：根据余弦定理解题.

分析：由题中的条件b2-a2=ac出发，观察该式的结构，联想到余弦定理，二者联合可以得到角A与角C的关系，结合题中条件角A,B,C成等比数列，求出角B.

解：由余弦定理，可得b2=a2+c2-2accosB.

又因为b2-a2=ac，所以c2-2accosB=ac.

即a=c-2acosB.

由正弦定理，得

sinA=sinC-2sinAcosB.

即sinA=sinC-[sin(A+B)+sin(A-B)].

即sinA=sin(B-A).

由于A,B∈(0，π)，所以A=B-A，即B=2A.

又因为角A,B,C成等比数列，所以B2=AC.

即C=4A.

点评:这道题是典型的解三角形问题.常规思路是分析题中的已知条件，观察各边和各个角的关系，根据题中的边角关系来选择解题方法.解题的大方向会涉及到用正弦定理和余弦定理来求解.本题根据边和角的关系选择余弦定理，结合三角成等比数列，求解得到角B.这个方法是最常见的解三个角形方法，是大多数同学容易想到的.

思维视角二：根据托勒密定理解题.

分析：可以从几何角度将式子b2-a2=ac变成b2=a·a+a·c.由此根据平面几何中的托勒密定理来求解此题.托勒密定理的内容，即圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.那么，我们构造一个圆的内接四边形，作出对角线，便可得出各个角之间的关系.

解：由b2-a2=ac，得b2=a·a+a·c.构造一个圆O及其内接四边形ABCD，使AB=c,CD=a,BC=AD=a,BD=AC=b，如图1所示.

图1

即四边形ABCD满足托勒密定理：

AC·BD=BC·AD+AB·CD.

由于BC=CD=AD=a，故

点评：这种解法是从变换b2-a2=ac的角度出发，观察式子的特征联想到托勒密定理，进而构造几何图形来求解.这种视角将代数式与几何图形联系在一起，即代数问题几何化，是一题多解的一种独特视角.

思维视角三：根据相交弦定理解题.

分析：相交弦定理说的是，圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长度的积相等.所以将b2-a2=ac看成(b-a)(b+a)=ac,即将线段a,b,c构造成满足相交弦定理的图形，再从图形中寻找各个角之间的数量关系，结合三个角成等比数列的条件进行求解.

解：如图2所示，作一个半径为b的圆C，直径MN过圆心C，取线段MN上的点B，使BC=a,过点B作弦PA，使PB=a,BA=c,连结PC，AC.则BN=a+b,BM=b-a，BP=a,BA=c,满足相交弦定理.

图2

因为PB=PC,所以∠BPC=∠BCP.

因为CP=CA，所以∠BPC=∠A.

所以∠ABC=∠BPC+∠BCP=2A.

点评：将b2-a2=ac看成(b-a)(b+a)=ac，即对式子进行变换，并且联想到相交弦定理，构造图形找到角与角的数量关系，降低了解题的难度.

3 总结

一题多解的解题教学是非常有必要的.如何系统地对学生进行一题多解教学，如何培养学生从多视角观察分析问题，是当下数学教育工作者需要思考的问题.一题多解不仅有益于思维的拓展，更有利于展现数学之美，是对学生进行数学美育渗透的一种重要渠道.