刘 春 , 李跃清 , 刘自牧 , 叶秣麟

（1. 高原与盆地暴雨旱涝灾害四川省重点实验室, 成都 610072；2. 四川省内江市气象局, 内江 641000；3. 中国气象局成都高原气象研究所, 成都 610072；4. 四川省气象服务中心, 成都 610072）

引言

西南低涡（简称西南涡）是青藏高原东侧700 hPa或850 hPa 等压面的一种次天气尺度系统，其水平特征尺度约为300～500 km[1-5]。西南涡是造成我国暴雨的重要天气系统之一，我国历史上许多罕见的特大暴雨洪涝灾害都与西南涡有关，它不仅是西南地区的重要降水系统，而且夏季西南涡或其诱生扰动能可沿着梅雨锋辐合带东移发展，导致其下游地区大暴雨的发生[5-7]。因此，西南涡生成、发展、移动的研究，长期以来都受到人们的广泛关注，特别是西南涡的发展问题，无论是理论研究或实际预报都极为重要。

黄福均等[8]认为，当中层有扰动重叠在低涡上空，扰动后部同时有冷平流从涡的西侧进入时，是低涡演变成斜压涡发展的重要原因。陈忠明[9]指出，大尺度环境场散度和自由边界层摩擦作用参数的次级环流积云定量释放的潜热是西南低涡发展的主要因子。赵平等[10-11]针对一次西南涡形成过程的数值试验和诊断分析指出，潜热加热不影响西南涡的形成，只对其起加强作用，潜热加热通过使低涡区气压降低，低层气旋性辐合以及高层反气旋性辐散加强，从而使西南低涡进一步发展。 Kuo 等[12]对1981年7月11～15日四川盆地特大暴雨的研究表明，对流涡旋感热和潜热通量辐合引起的加热，其中有一半来自凝结潜热释放，指出与积云对流相伴的凝结潜热释放时对西南涡的发展起着重要作用。Chen 等[13]的研究也表明凝结潜热释放是低涡维持与发展的重要机制之一。范可等[14]基于Hoskins 位涡理论，从等压面位涡守恒和湿等熵位涡守恒角度，研究了对流层高层位涡扰动对低层西南涡发生发展的影响，发现对流层高层位涡扰动是低层西南涡发生发展的重要因素，它对西南涡的影响表现在它有向南向下倾斜伸展的特点，高层湿等熵位涡面下滑的高度及风场的辐合强度与低层西南涡的发生发展有很好的对应关系。

上述理论研究在解释西南涡的发展问题方面取得了一些有意义的成果，本研究希望从低涡的结构出发，分析西南涡结构的稳定性，进一步揭示西南涡发展与消亡的物理机制。关于涡旋的稳定性研究，是从Rayleigh[15]的开创性工作开始，但真正取得较大进展的是Howard 和Gupta[16]导出集中涡无粘线性稳定性分析的控制方程。此后，人们先后分析了各种涡旋的稳定特性，包括Hamel-Oseen 涡、Rankine 涡、Burger 涡等[17-24]。在气象方面，人们试图用涡旋模型模拟台风、龙卷等过程，一直在努力寻找满足Navier-Stokes方程的涡旋解，这方面的工作有Sullivan、 Long、Martin、 Yih 和Wu 等[25-29]。但这些更多的是通过涡旋解来刻画台风、龙卷等的几何结构，对于发展问题则涉及不多。而对于采用涡旋运动稳定性来分析西南涡的发展问题，目前未见有相关的研究。

近来，Liu 等[30]在研究西南涡的形成机制中，认为初生西南涡的结构是纯涡结构，即无垂直速度的涡旋结构，这就使得采用涡旋运动稳定性来分析西南涡的发展问题有了可能。而陈忠明等[31]分析认为：西南涡在初生阶段是一个500 hPa 以下的浅薄天气系统，成熟阶段的西南涡，正涡度可伸展到100 hPa 以上，中心轴线垂直，是一个准圆形而非对称的中尺度系统，而且还是一个深厚的暖湿低压系统[32]。由此可以看出，西南涡在不同的阶段，具有不同的结构，尤其是垂直结构。因此，关于西南涡的发展问题，可分为以下两个阶段：初生阶段以纯涡为基本场；成熟阶段为旋拧涡（具有垂直速度的涡旋运动）为基本场。本文仅讨论初生阶段西南涡的发展问题，下一步将讨论成熟阶段西南涡的发展问题。

西南涡除了自身的运动外，主要受大尺度环境场和小尺度的积云对流潜热释放的影响。为此，本文首先建立具有大尺度环境场和潜热加热的涡旋热力-动力学方程组，然后通过讨论西南涡的稳定性与发展的关系研究大尺度环境场和潜热加热对初生西南涡发展与消亡的影响，最后研究大尺度环境场和潜热加热对初生西南涡向成熟西南涡转变的影响。

1 研究思路与方法

引起涡旋运动失稳的物理机理是离心力。考虑流体作旋转运动，某一流体质点受到扰动后移动到更大的半径处，如果在新的环境下流体旋转得更快，则产生更大的离心力，而原来基本流动的压力差不足以平衡离心力，流体元就要继续向外移动，扰动不断增强，最终导致运动失稳。以无粘流体作分析，设流体质点初始半径为r1，角速度为 Ω1，受到扰动后移动到半径r2。因为是无粘流体，角动量守恒，所以该流体元在r2处 的角速度为。如果，那么离心力超过以 Ω2在半径处旋转的未受扰动流体的离心力，所以当r2＞r1时，若有，旋转运动就会失稳，亦即(Ω1r2)＜0时，旋转流体运动是不稳定的。这就是著名的旋转Couette 流动的Rayleigh 准则。西南涡是一种典型的涡旋结构，因此，本研究将按照Rayleigh 准则的思路，从涡旋稳定性的角度讨论西南涡的发展与消亡问题。

2 初生西南涡热力-动力学方程

考虑到西南涡是准对称系统，因此，可采用对称柱坐标系 (r,θ,z)下的Boussinosq 近似大气热力-动力学方程组对其进行描述。其无量纲方程[33]如下：

根据刘春等[30]的研究结果，可知初生西南涡的雏形涡是纯涡结构（无轴向流的定常、二维、轴对称基本流）。因此，设基本流动为纯涡运动，即为：

在基本流动中引进小扰动，设扰动后的速度、压力和位温为：

将（3）式带入到方程（1）中，可得方程如下：

略去方程（4）中的强非线性项，即略去形式(*)′(*)′的项，得到拟线性方程如下：

令vr=U,vθ=V,vz=W，将基本场（2）带入到方程（1）中，可得到基本场满足关系式如下：

对于方程（7）的边界条件，本文做如下考虑：

（1）在近场，即西南涡中心，此时r=0虽然是方程（7）的奇点，但从物理意义上不是奇点，所以物理量在r=0处应该是单值的、光滑的和有界的，可得到如下条件：

（1）在近场r=0时：

（2）在远场r=R且所有扰动消失时：

下面，将以方程（7）为基础，结合条件（9）和（10），研究初生阶段西南涡发展和消亡的物理机制，内容包括：（1）初生西南涡（二维的纯涡结构）发展和消亡的物理机制；（2）初生西南涡（二维的纯涡结构）向成熟西南涡（三维的旋拧涡结构）转变的物理机制。

3 初生西南涡发展和消亡的物理机制

由于描述初生西南涡的运动方程（7）不是线性方程，而是拟线性方程，无法通过直接求解的方式讨论初生西南涡发展和消亡的物理机制。为此，本研究将采用Sturm-Liouville 特征值理论分析运动方程（7）的稳定性，进而讨论西南涡发展和消亡的物理机制。

为了采用Sturm-Liouville 特征值理论，需对运动方程（7）做进一步处理。根据方程（7）的第5 式，即轴对称下的不可压性质，可引入扰动流函数 ψ′，将扰动径向速度和扰动垂直速度用扰动流函数表示如下：

将表达式（11）带入到方程（12）中，得到关于扰动流函数 ψ′的方程：

根据马晖扬[22]的研究结果，涡旋运动传播的扰动波是频散波，对于西南涡稳定性的分析可以采用正则模式，即：

在本小节，主要讨论二维的纯涡结构发展和消亡的物理机制，因此，只需要讨论扰动径向速度的稳定性，根据（11）式和（13）式，需要讨论的稳定性。为此，将（13）式带入到方程（12）中，得到关于扰动振幅的方程：

其中：λ=k2/ω2,f(r)=/β2ω2+(Rs-Ri)r,h(r)=k2ω2/β2ω2+(Rs-Ri)r。

根据边界条件（9）和（10），以及（11）式和（12）式，可得扰动流函数的振幅方程（14）的边界条件：

（1）近场r=0的边界条件：

（2）远场r=R的边界条件：

方程（14）与边界条件（15）和（16）构成典型的Sturm-Liouville 特征值问题。根据Sturm-Liouville 特征值理论，可知，如果g√(r)在 [0,R]上 恒大于零，则特征值 λ也全是正的，ω =±是实数，涡旋流动是稳定；如果g(r)在 [0,R]上 不恒大于零，则特征√值 λ全是负，或者在部分区域内是负的，于是 ω=±至少在部分区域内是纯虚数，根据正则模式（13）式，可知涡旋流动是不稳定的。因此，下面将进一步分析g(r)在[0,R]内的取值。

在讨论稳定性之前，先讨论西南涡的基本场，即V(r)的分布情况。由于气压梯度力为被动力，涡旋内的气压梯度力由大尺度运动场所传导，因此，基本场气压梯度力可视为大尺度运动场对涡旋运动的作用。在不考虑粘性的情况下，由方程（6）的第一式得到西南涡基本周向速度表达式：

由于涡旋运动的扰动波是频散波，在正则模式下，主要考虑扰动随时间的演化。因此，本文仅考虑时间模式，此时，沿z方向的波数实数。对于初生西南涡，Vr≈100m/s，Vz≈100m/s，R≈102m，H≈102m，得Ro≈102，Re≈107，Pr≈100，β ≈1,Rs≈10-1。当大气为稳定层结时，Ri≈100；当大气为不稳定层结时，Ri≈-100。令σ=β2ω2+(Rs-Ri)，根据Sturm-Liouville 特征值理论，可知存在两种情况：

（1）当大气层结稳定时，(Rs-Ri)＜0。

（2）当大气层结不稳定时，σ＞0。当大尺度运动场为辐合时，(r)为稳定的，对应的扰动径向速度v′r稳定，初生西南涡将得到维持和发展；当大尺度运动场为辐散时，(r)为不稳定的，对应的扰动径向速度v′r不稳定，初生西南涡将消亡。

根据上述分析，在稳定层结条件下，只有当大气扰动频率超过临界频率时，辐合大尺度运动场才能够克服惯性离心力，使得初生西南涡发展，否则，将趋向消亡；而在不稳定层结条件下，只要大尺度运动场辐合，就可以使初生西南涡发展。应该注意的是，这里的发展，并不意味着二维的纯涡结构能够向三维的旋拧涡结构发展。初生西南涡向成熟西南涡的发展，需要更为苛刻的条件，这一点将在下节详细分析。

4 初生西南涡向成熟西南涡转变的物理机制

上一小节，通过分析扰动径向速度的稳定性讨论了大气稳定层结和不稳定层结条件下，初生西南涡的维持发展和消亡的物理机制。这一小节，将通过扰动垂直速度的稳定性进一步讨论初生西南涡向成熟西南涡转变的物理机制。根据方程（11）和（13）可得：

显然，为了讨论扰动垂直速度v′z的稳定性，必须要讨论的稳定性。为此，方程（14）两边除以λg(r)-h(r)，然后将其对r微分可得：

根据Sturm-Liouville 特征值理论，可知，如果φ(r)在[0,R]上恒大于零，则特征值-|λ|全为√正，系统（19）有无穷多离散的特征值谱，于是ω=±，垂直运动是稳定的；如果 φ(r)在 [0,R]上不恒大于零，则特征值-|λ|全 是负，或者在部分区域内是负的，于是ω=±至少在部分区域内是纯虚数，根据正则模式（18）式，可知垂直运动是不稳定的。因此，下面将进一步分析φ(r)在 [0,R]内的取值。

同第3 小节，分大气层结稳定和不稳定两种情况讨论：

（1）当大气层结稳定时，(Rs-Ri)＜0。

①|ω|＜-(Rs-Ri)，则σ＜0，此时，扰动频率过低，则初始西南涡频散至消亡。

②|ω|＞-(Rs-Ri)，则σ＞0。当＜0时，ζ(r)为 不稳定的，对应的扰动径向速度vr′不稳定，初生西南涡将消亡；当时，ζ(r)为稳定的，对应的扰动垂直速度vz′稳定；ζ(r)为稳定的，对应的扰动径向速度vr′稳定，初生西南涡将维持纯涡结构，直至大尺度运动场提供的气压梯度力不足以维持条件为止；当＞0时，ζ(r)为不稳定的，对应的扰动垂直速度vz′不稳定；ζ(r)为稳定的，对应的扰动径向速度vr′稳定，纯涡结构在维持发展的过程中，向旋拧涡结构转变。

（2）当大气层结不稳定时，σ＞0。

5 结论与讨论

本文在已有研究的基础上，采用涡旋运动稳定性方法，以纯涡结构为基本场，结合大尺度环境场和积云对流潜热释放，研究初生西南涡发展与消亡的物理机制，得到以下主要结论：

（1）在稳定层结和不稳定层结条件下，当大气扰动频率超过对应的临界频率时，初生西南涡均可以维持并向成熟涡转变；当大气扰动频率没有超过临界频率时，初生西南涡要么因频散而消亡，要么在维持一段时间的纯涡结构后消亡，不能发展为成熟西南涡。

（2）在初生阶段，大尺度场的辐合辐散是西南涡发展和消亡的主要因素，辐合才有可能使得初生西南涡发展，辐散只能导致初生西南涡消亡；小尺度的潜热加热则决定着稳定层结下的扰动临界频率，进而影响稳定层结下初生西南涡的发展及向成熟西南涡的转变。

必须指出的是，本研究存在以下问题：一是仅讨论了对称拟线性不稳定，关于非对称、强非线性的情况没有涉及；二是仅讨论了初生阶段西南涡发展与消亡的机理，没有研究成熟西南涡的相关物理机制。上述不足将在后续工作中进一步完善。