曾红波，艾新港，陈 明✉，王 敏，蒋加旋

1) 辽宁科技大学冶金工程辽宁省重点实验室，鞍山 114051 2) 北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京 100083

定向凝固技术能够获得特定的柱状晶结构，对于优化合金轴向力学性能有非常显著的效果[1-2]，从微观视角来看，凝固枝晶生长形态主要由微观固液界面前沿的热扩散和溶质扩散决定[3-4].通过传统实验研究的方法尽管拥有直观、可操作性强的优点，但是却无法揭示枝晶结构的形成机理.近年来，针对研究微观组织演化的相场法被人们广泛关注.其中，应用相场法对定向凝固微观组织生长规律的探索已经取得大量成果.Takaki 等[5]和Shibuta 等[6]通过结合超级计算机和并行算法观察到在二元合金定向凝固过程中，三维空间内不利于定向凝固的枝晶和高度复杂的枝晶之间具有相互作用.Aufgebauer 等[7]、Ferreira 等[8]、Kundin 等[9]、以及Novokreshchenova 和Lebedev[10]相继提出并修改出了新的相场模型，在预测纯镍、Al-Ni 合金、Al-Cu 合金等定向凝固枝晶生长方面都取得了很好的效果.Pinomaa 和Provatas[11]定量地将理想稀二元合金相场模型的薄界面行为映射到连续生长模型（CGM）中，获得了溶质捕获对定向凝固中枝晶生长的影响.Lenart 和Eshraghi[12]、Enugala等[13]采用相场法针对Inconel 718 合金、Ni-Zr 合金探究了凝固速率对定向凝固枝晶生长过程的影响.结果表明，定向凝固一次枝晶间距随冷却速率的增加而减小，一次枝晶臂间距的对数与冷却速率的对数呈线性关系.Noubary 等[14]、Steinmetz 等[15]以及Ghosh 等[16]建立了与热力学一致的相场模型研究定向共晶凝固过程中空间复杂的微观结构演变，发现建立的相场模型能够在三维结果中描述三元共晶体系过冷度和层状排列之间的解析预测关系.Wang 等[17-18]采用定量相场模型发现定向凝固枝晶尖端过冷度和尖端半径取决于拉伸速度与温度梯度.Chen 等[19]、Yang 等[20]采用宏微观分析相结合的方法，对镁合金、镍基高温合金定向凝固过程中的微观组织生长进行了预测，发现相场模拟的微观结构与实际图形吻合良好.Chen 等[21]、Wang 等[22]通过原位X 射线同步辐射成像技术和相场法耦合，研究了固定温度梯度下低冷却速度对Mg-Gd、Al-Cu 合金定向凝固枝晶生长的影响，发现初生枝晶间距随冷却速度的增大而减小.Zhang等[23]、Zhu 等[24]、Wang 等[25]采用相场法模拟了Al-Si、Al-Cu、Mg-Gd 等二元合金的定向凝固过程，研究了一次枝晶间距、拉速、温度梯度、各向异性强度和热噪声等因素对定向凝固过程中侧枝晶演化的影响并讨论了定向凝固过程中界面形态的生长机理，模拟结果都显示出各因素对于枝晶生长的影响非常大.各向异性、冷却速度和温度梯度的增加可以加快柱状枝晶的凝固速度.基于以上研究，我们发现近年来冶金研究工作者大多着重于修改相场法模型以开展工作，但相场法发展缓慢的另一个限制性环节是对算法的优化和探索.找到更快、更优质的计算方法从而推进相场法的发展也是至关重要的.

熔体内对流现象使得固液界面前沿温度场及浓度场都发生改变，从而影响固/液界面形态，最终对合金成品力学性能造成影响[26].基于微观对流对凝固组织演化作用规律的研究成果在国内发展相对较快，但国外在此方面研究仍较为匮乏.袁训锋和丁雨田[27-28]采用耦合流场的相场模型研究了纯镍多晶粒枝晶的生长形貌，发现熔体流动显著改变凝固前沿的传热，从而影响枝晶生长.Chen等[29]、Wang 等[30]对强迫对流下Ni-Cu 合金枝晶形态进行了非等温合金相场数值模拟，发现晶核在自由流中生长为对称枝晶，在强迫对流中生长为非对称枝晶.之后Zhug 等[31]、Luo 等[32]、Zhang等[33]对镍过冷熔体、Fe-C 合金熔体在强迫对流作用下的枝晶生长行为展开研究，也发现枝晶生长的不对称行为是由强迫对流作用引起的.基于此，可以认为微观对流作用使熔体内枝晶呈现非对称生长是毋庸置疑的，但对流速度对枝晶生长行为的影响规律仍需进一步探索.

相对于采用相场法模拟定向凝固柱状枝晶演变或等轴晶形核、生长，以及相场模拟固态相变等成果而言，将流场耦合进相场并研究定向凝固微观组织形貌的成果仍然较为匮乏.Takaki 等[34]进行了二维大规模相场模拟，研究了自然对流对二元合金双晶和多晶定向凝固柱状晶竞争生长的影响.研究表明：枝晶间的竞争生长程度受流动方向的影响.陈志等[35]对Ni-Cu 合金的定向凝固过程进行了相场数值模拟，研究了强制对流对凝固界面形貌的影响.结果表明：强制对流作用下，凝固界面向迎流方向倾斜生长.Yang 等[36]将多相场模型与晶格玻尔兹曼方法相结合，通过模拟高温合金凝固过程中熔体对流作用下的枝晶生长，证实了自然对流在定向凝固模拟中对微观偏析和枝晶生长速度都有显著影响.迄今为止，尽管相场法在研究微观组织生长方面已经获得了相对较多的成果，但针对流场作用下定向凝固枝晶生长行为的研究仍然较为匮乏，需要冶金研究者在后续的工作中继续探索，这对于流场作用下控制定向凝固柱状晶组织有一定的参考价值.本文以Fe-C 合金为研究对象，采用耦合流场的Kim-Kim-Suzuki(KKS)相场模型，选用基于均匀网格的有限差分方法对控制方程进行离散，通过Marker in Cell（MAC）算法和相场离散计算方法的联合求解，定量研究各向异性系数、界面能等参数对定向凝固枝晶形貌的影响，并探究强迫对流作用下Fe-C 合金枝晶演变与枝晶偏析行为.

1 相场模型

1.1 相场方程

本文采用描述基于系统自由能函数随时间变化关系的KKS 相场模型[37]，并与微观流场进行耦合，计算中忽略凝固过程的体积变化，获得的定向凝固相场和溶质扩散方程为：

其中，ϕ为相场变量，取值范围[0,1]，当 ϕ=0时表示液态，当 ϕ=1时 表示固态，固液界面上 ϕ在0～1 之间变化；t为 时间，s；Mϕ、ε 为相场参数；f(c,ϕ)为自由能密度，J·m-3；c为 溶质质量分数，%；D(ϕ)为溶质扩散系数，m2·s-1；fcc、fc分别为自由能密度f对浓度的一阶、二阶偏微分；为与流动速度相关的参数.

模型中，自由能密度定义为固/液两相的自由能密度对应乘以固/液相分数的和，再加上剩余自由能.可表示为：

其中，W 为相场参数；Wg(ϕ)是一个特定的双势阱函数；fS(cS)、fL(cL)分 别为固、液相的自由能；h(ϕ)为势函数；g(ϕ)为剩余自由能函数.本文中分别为：

另外，溶质扩散系数D(ϕ)通 过D(ϕ)=DL+h(ϕ)(DS-DL)计 算，其中DS和DL分别为固相和液相的溶质扩散系数.

界面区域的溶质浓度c是固相和液相的质量分数的和.另外在两相平衡时，界面区域中任意点的固、液相的化学势相等.即为：

其中，cL和cS分 别为液体和固体中的溶质浓度；µL、µS分别为液相和固相的化学势.

1.2 相场参数的确定

相场参数 ε和W与界面能、界面厚度有关,Mϕ与界面动力系数有关，相场参数 ε和W与界面自由能 σ和界面厚度 λ的关联式分别如下（通过渐近分析得到）：

相场界面移动参数Mϕ与 界面动力学系数 β的关系式如下：

材料热力学参数通过相图计算获得，详细参数如表1 所示.

表1 Fe-C 合金热力学参数Table 1 Thermophysical data for dilute Fe-C alloy

1.3 边界条件与计算方法

数值模拟中，基于均匀网格的有限差分方法对控制方程进行离散，二维模拟界面被离散成1000×1000 的网格空间.在左下角放置小三角形实体，通过初步计算确定其大小，从而得到与条件无关的二次臂间距.网格大小为1.0×10-8m(dx=dy，)，各向异性参数v=0.02，噪声强度参数 ω=0.01.数值模拟中采用了Neumann 边界条件，通过控制热流的单向扩散来实现二元合金的定向凝固过程.模拟计算中过冷度取20 K.

2 MAC 算法求解N-S 方程组和压力Poisson方程

MAC 算法是专门为求解带有自由面位置的一类算法，广泛应用于各种不可压缩粘性流动中[38-39]（带自由面和不带自由面的黏性流动）.是一种以压力和速度为原始变量的欧拉-拉格朗日混合型有限差分算法.求解不可压缩 Navier-Stokes (N-S)方程和连续性方程具体形式如式（12）～（14）所示：

图1 迭代方法流程图Fig.1 Iterative flow chart

3 模拟结果及讨论

如图2 为Fe-C 合金相场与溶质场的生长模拟结果以及光学显微镜实验观察得到的Fe-C 合金定向凝固枝晶生长形态.如图2(a)相场所示，随着凝固的进行，固液界面前沿溶质富集而产生成分过冷，进而使凝固界面失稳向胞晶形态演化，导致胞晶出现.胞晶在过冷度的作用下继续生长，但由于胞晶相互之间的择优生长现象导致一部分柱状晶被淘汰.枝晶A、B 互相垂直生长，在某一位置上枝晶尖端相遇，相互抑制，最后同时淘汰.在同一生长速度下，更远生长的枝晶D 由于其生长时间相对于枝晶C 更长，导致枝晶C 在某一位置其尖端受到枝晶D 的阻拦，最终被淘汰.同理，枝晶D 也将被更远生长的枝晶E 所淘汰.但总的来看，定向凝固枝晶由左下两侧垂直向液相中心生长，枝晶尖端交替在45°对角线位置被抑制而淘汰.基于此，若要使单侧枝晶生长长度更具优势，可以增强该方向的冷却条件，增大温度梯度，提升生长速度，从而避免被相对垂直生长的枝晶阻挡而淘汰.图2(b)溶质场图中发现溶质在枝晶轴向中心线区域内浓度最低，而多富集于枝晶之间，根部最多，这也是择优生长现象产生的原因之一.在凝固初期，克服了胞晶尖端溶质对胞晶生长影响的胞晶得以进一步发展成为柱状枝晶，从而将溶质挤压到根部两侧，富集于未发展胞晶界面前沿，进一步抑制周围胞晶的生长，胞晶想要克服溶质能垒将更加困难而被淘汰.对于突破能垒的柱状晶来说，可以在较大区域内继续生长，从而形成较为粗大的柱状晶形貌，这也是图中柱状晶根部细小的原因之一.另外，结合图2(c) Fe-C 合金定向凝固柱状枝晶形态与定向凝固模拟计算结果作对比，发现相场模拟Fe-C 合金枝晶生长形态与光学显微镜实验观察得到的枝晶生长形态基本吻合，从而说明了利用该模型模拟枝晶生长形态的可行性.

图2 相场与溶质场模拟结果.(a) 相场;(b) 溶质场;(c) Fe-C 合金定向凝固柱状枝晶形态Fig.2 Simulation results of the phase and solute fields: (a) phase field;(b) solute field;(c) directional solidification columnar dendritic morphology of the Fe-C alloy

3.1 各向异性系数对定向凝固枝晶生长的影响

在定向凝固过程中，各向异性是直接影响柱状枝晶形貌的重要因素.本文在模拟过程中，设置各向异性系数分别为0.04、0.05 和0.065.截取同一计算时间步长下定向凝固柱状晶溶质场模拟结果如图3 所示.相对于更大的各向异性系数，各向异性系数为0.04 时，枝晶更为粗大，但枝晶尺寸稍有不足.枝晶尺寸随着各向异性系数的增大而增长，且变得更加致密.从图中还可发现，随着各向异性系数的增大，根部等轴晶明显细化，且平滑的枝晶壁面上泛起了更多的凸起，有向二次枝晶发展的趋势.因此，研究认为各向异性系数与枝晶生长速度成正比，从发展定向凝固枝晶角度来看，较大的各向异性系数不利于定向一次枝晶的生长，有发展二次枝晶的趋势.另外，溶质浓度在枝晶轴向中心线范围内分布最低，但在枝晶根部浓度最高，并随着各向异性系数的增大，枝晶根部溶质浓度依次降低.本文认为，溶质在液相中的扩散速度远小于枝晶生长速度，从而导致溶质被枝晶挤压富集在枝晶根部，其次，由各向异性系数发展的粗大枝晶在横向方向上生长速度要大于细小枝晶，因此溶质挤压强度更大，溶质来不及扩散，因而表现出随着各向异性系数的增大，枝晶根部浓度逐渐降低.结合图4 实验观察得到的Fe-C 合金定向凝固柱状枝晶的电子扫描显微镜（SEM）图像来看，弱各向异性系数下枝晶形态更为粗大，枝晶的生长形貌及尺寸与模拟得到的枝晶组织非常吻合，表现为随着各向异性系数的增大，枝晶从粗大形态逐渐变得细小，柱状枝晶分布更为致密.

图3 各向异性系数对定向凝固柱状晶组织的影响.(a) 各向异性系数0.04;(b) 各向异性系数0.05;(c) 各向异性系数0.065Fig.3 Effect of the anisotropy coefficient on the directionally solidified columnar crystal structure: (a) anisotropy coefficient of 0.04;(b) anisotropy coefficient of 0.05;(c)anisotropy coefficient of 0.065

图4 实验观察Fe-C 合金定向凝固柱状枝晶生长形态SEM 图.(a) 弱各向异性系数;(b) 强各向异性系数（小过冷度）;(c) 强各向异性系数（大过冷度）Fig.4 Growth morphology of the columnar dendrite of the Fe-C alloy during directional solidification observed using scanning electron microscopy:(a) weak anisotropy coefficient;(b) strong anisotropy coefficient (low undercooling);(c) strong anisotropy coefficient (high undercooling)

对Fe-C 合金各向异性系数影响下的微观枝晶生长形态做进一步分析，得到不同各向异性系数下同一时间的平均枝晶尺寸与直径变化，如图5所示.枝晶平均直径随各向异性系数的增大而呈现出下降的趋势，但枝晶平均尺寸变化却与之相反，各向异性系数从0.04 扩大到0.065，枝晶平均尺寸增长了24%.另外可以发现在各向异性系数大于0.05 时平均枝晶尺寸与直径受各向异性系数的影响较小.这是因为受溶质富集的影响，平均枝晶尺寸与直径想要继续发展变得更加困难，但随着各向异性系数的继续增大，枝晶壁面产生更大的扰动，表现为一次枝晶壁面有向二次枝晶发展的趋势.

图5 同一计算步长下不同各向异性系数的平均枝晶尺寸及直径变化图Fig.5 Variation in the average dendrite size and diameter with different anisotropy coefficients at the same calculation step

3.2 界面能对定向凝固枝晶生长的影响

如图6 反映了枝晶生长形貌与界面能的关系.在界面能为0.3 J·m-2时，枝晶细长且致密，枝晶尖端曲率半径较小，溶质在枝晶轴向中心线周围最低，在枝晶根部周围含量相对较高.然而，随着界面能进一步增大到0.35 J·m-2时，枝晶开始变得更加粗大，枝晶尖端曲率半径也进一步扩大，形成粗大枝晶.但当界面能扩大到0.45 J·m-2时，所形成的枝晶非常稀疏且短小.界面能增大为0.6 J·m-2时，在整个计算区域内将不会形成柱状枝晶，凝固趋势以平界面的形式向前推进.由于固相凝固速度远远大于溶质在液相中的扩散速度，因此在平界面推移凝固中，溶质浓度最高的区域即为平界面前沿区域.造成这种枝晶形貌以及枝晶尖端曲率半径变化的原因主要是因为界面能效应的总趋势是将曲界面拉平，尤其是在界面能取值较大时更为明显，界面一旦被拉平，则界面曲率为无穷大，这与20 世纪60 年代Mullins 和Sekerka 提出的界面稳定性（MS）理论[40]完全符合.从界面能对枝晶形貌影响的表现来看，不同界面能大小得到的枝晶差异显著，因此在模拟目标枝晶时，选择合适的界面能参数至关重要.

图6 界面能对定向凝固柱状枝晶组织的影响.(a) 界面能为0.3 J·m-2;(b) 界面能为0.35 J·m-2;(c) 界面能为0.45 J·m-2;(d) 界面能为0.6 J·m-2Fig.6 Effect of the interfacial energy on the directionally solidified columnar dendrite structure: (a) interfacial energy of 0.3 J·m-2;(b) interfacial energy of 0.35 J·m-2;(c) interfacial energy of 0.45 J·m-2;(d) interfacial energy of 0.6 J·m-2

3.3 强迫对流对定向凝固柱状枝晶生长的影响

如图7 所示为强迫对流作用下定向凝固枝晶生长的相场以及溶质场计算结果，采用纽曼边界条件，设置对流方向自下而上.图7(a) 相场结果表明，逆流枝晶臂生长明显比顺流方向速度快，各个枝晶臂长度存在一定差别，且逆流枝晶臂变得异常粗大，一次枝晶臂整体生长偏向对流下游方向，生长致密且生长方向一致性表现良好，符合定向凝固的枝晶生长形态.另外，从图7(b)溶质场图中可以看出，在过冷和微观对流的相互影响下，溶质截留在枝晶内部，由于枝晶的生长速度远远大于溶质扩散速度，使溶质在液相中来不及分配，最终富集于枝晶之间，限制周围侧向枝晶的生长，并导致周围枝晶停止生长并被淘汰.

图7 对流作用下枝晶生长的相场与溶质场模拟结果.(a) 相场;(b) 溶质场Fig.7 Simulation results of the phase and solute fields of dendritic growth under convection: (a) phase field;(b) solute field

为了进一步探究微观对流速度对枝晶生长的影响，设置微观对流速度分别为0.02，0.08，0.1 m·s-1对枝晶生长过程进行模拟，同一计算步长下的枝晶生长溶质图如图8 所示.从图中可以看出，胞晶在界面扰动及过冷度的作用下向柱状枝晶转变，柱状枝晶初始时皆向上游方向优先生长.随着对流速度的增大，上游枝晶尺寸明显较下游枝晶更长，这是因为上游枝晶受对流影响最大，界面前沿溶质在对流的作用下进行再分配，使枝晶界面前沿的溶质浓度梯度降低，从而降低了界面前沿溶质对枝晶生长的阻碍，加快枝晶的生长.且上游粗大枝晶阻碍对流对下游枝晶界面前沿溶质场的作用，进一步抑制了下游枝晶的生长.在对流速度为0.02 m·s-1与0.08 m·s-1时，均出现汇聚与发散生长现象，枝晶A 作为枝晶B 的二次枝晶，与枝晶B 表现为发散生长，枝晶C、D、E 与枝晶F 表现为汇聚生长.且枝晶C、D、E 被择优取向枝晶F 所淘汰，这种枝晶淘汰方式与Walton 和Chalmers 提出的Walton-Chalmers理论模型[41]非常吻合.在对流速度为0.1 m·s-1时，枝晶汇聚、发散现象消失.凝固之初，枝晶整体偏向上游，但之后都转换方向朝下游方向生长，与对流速度为0.02 m·s-1、0.08 m·s-1对比枝晶更为致密.这是因为上游枝晶F、G、H 界面前沿溶质在更大的对流速度下扩散更快，强化了枝晶的生长，形成致密枝晶.然而，对流对下游枝晶的影响被上游粗大枝晶所阻碍，使得下游枝晶顺应枝晶F 方向朝下游生长.

图8 不同微观对流速度下的枝晶生长形貌.(a) 对流速度0.02 m·s-1;(b) 对流速度0.08 m·s-1;(c) 对流速度0.1 m·s-1Fig.8 Dendrite growth morphology under different microconvection velocities: (a) convective velocity of 0.02 m·s-1;(b) convective velocity of 0.08 m·s-1;(c) convective velocity of 0.1 m·s-1

4 结论

本文采用耦合流场的相场模型模拟了定向凝固过程中枝晶的生长过程，研究了各向异性系数，界面能以及微观流速对枝晶生长行为的影响，得出以下结论：

(1) 采用相场法实现了强迫对流条件下Fe-C合金定向凝固枝晶生长，再现了枝晶形态、枝晶间竞争生长.对比光学显微镜实验观察得到的枝晶生长形态，发现模拟结果与实验结果非常吻合.

(2) 随着各向异性系数的增大，枝晶平均尺寸增长，枝晶尖端曲率半径减小，各向异性系数从0.04 扩大到0.065，枝晶平均尺寸增长了24%，并随着各向异性系数的增大，枝晶根部溶质浓度依次降低.当各向异性系数增大到0.065 时，枝晶壁面受各向异性系数影响较大，有向二次枝晶发展的趋势.

(3) 界面能对枝晶生长形态影响非常显著，随着界面能的增大，枝晶尺寸缩短，枝晶尖端曲率半径增大，当界面能为0.6 J·m-2时，为平界面的凝固方式向前推进.

(4) 强迫对流的存在显著改变了定向凝固枝晶生长方向.在对流速度为0.02 m·s-1及0.08 m·s-1时，有汇聚以及发散生长现象发生，且与Walton-Chalmers 理论模型非常吻合，而在流速为0.1 m·s-1时该现象消失，但枝晶朝向一致性更好.并发现上游方向定向凝固枝晶粗大且生长速度更快，其现象随流速的增加而愈加明显.