王 娜 李汝强

(山东省博兴第一中学)

解三角形中的范围问题是高考的重要问题,求解的核心思想是函数思想,而函数思想的核心是变元,下面我们一起进行探究.

1 总体方法概述

解三角形中的范围问题,总体上可以用图形模型、以边为变元的模型或以角为变元的模型来进行求解.

题目已知a,b,c分别为锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边,且acosC＋asinC－b－c＝0.

(1)求A的大小;

(2)若a＝,求△ABC面积的取值范围.

解析(1)利用正弦定理,将边化成角,容易得到(具体求解过程略).

(2)模型1图形模型

根据题意作图,如图1 所示,容易看出△ABC面积的取值范围为,但是缺乏逻辑推理,不适用于求解解答题.

图1

模型2以边为变元的模型

利用不等式工具可以整体求出二元函数的最大值,但是不容易得到△ABC面积的取值范围.

模型3以角为变元的模型

2 思路总结

通过以上分析,我们可以得到解题思想的思维导图(如图2).

图2

3 跟踪训练

练习1已知a,b,c分别为锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边,若A＝,b＝2,求△ABC周长的取值范围.

解析本题可以以角为变元建立模型解决.如图3 所 示,△ABC的周长为l＝a＋b＋c＝a＋2＋c,由正弦定理得

图3

解析模型1图形模型点C满足蒙日圆模型(除去点P,Q,如图4所示),点C轨迹方程为(x－2)2＋y2＝3(y≠0),容易得到△ABC的面积S＝＝|y|,所以△ABC面积的取值范围为

图4

模型2以边为变元的模型

模型3以角为变元的模型

4 真题链接

题目(2022年新高考Ⅰ卷18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

5 拓展提升

题目记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b＝2,

求△ABC周长的最大值.

解析利用以角为变元的模型求解本题.

由正弦定理得△ABC的周长为

经过以上探究,我们发现突破此类问题的关键是找到合适的数学模型,尤其是合适的函数模型.这也完全符合新高考的理念:由“解题”到“解决问题”,培养学生的数学核心素养.

(完)