何振辉

(中山大学 物理与天文学院，广东 珠海 519082)

在物理专业课程中，对应于统计物理的实验教学内容很少. 然而，作为连接微观运动与宏观现象和规律的物理量，玻耳兹曼常量在知识结构中有着十分重要的地位，它不仅已被用于定义国际温标(开尔文)，对熵的定义甚至超出物理知识含义.通过PN结电流特性测量[1,2]，玻耳兹曼常量测量的本科实验教学已开展多年. 相比之下，通过锁相放大器测量电阻热噪声的方法获得玻耳兹曼常量则更为直接,物理上也更容易理解，但测量精度和测量技术要求也更高. 受制于锁相放大器的普及和环境噪声的屏蔽技术，后者在教学实验中尚未见有实践报道.

随着实验物理对精密控制与测量的需求不断增长以及锁相放大技术及其应用的发展，锁相放大器实验教学被越来越多的高校纳入到近代物理实验课程中. 特别是将数字锁相放大器应用于实验教学[3]，其工作原理的数学描述[4]便于那些即使未修过电子技术课程的学生理解；锁相放大器处理(低信噪比)弱信号的能力[5]让学生印象深刻，直接测量电阻热噪声的应用[6]使基于Johnson噪声测量玻耳兹曼常量成为可能. 为配合精密测量物理教学，笔者在实验教学课程中开设了锁相放大器实验及热噪声测量内容，并探索将电阻器温度下降至液氮温区，以更好理解热噪声与温度的关系. 在教学实践过程中，有些好学的学生不满足仅仅按讲义或文献提供的公式、参数、甚至测量步骤完成实验；另一方面，因对噪声测量原理缺乏深入透彻的理解，学生在选择仪器参数时仍时有不知其所以然，而盲从讲义的指引，这不符合物理专业的思维方式. 一些勇于探索的学生想通过试错方式来学习，但因时间不足，不合理的仪器参数设置造成测量精度不合理的偏离.

为了弥补上述教学不足，本文拟在OE1022数字锁相放大器教学实践的基础上做以下补充：1) 基于物理图像的导体电阻热噪声公式推导；2) 锁相放大器测量噪声的工作原理及等效噪声带宽的推导；3) 电阻热噪声测量及玻耳兹曼常量测量的误差分析；4) 基于所述误差分析的实验教学设计改革.

1 电阻热噪声

对一个经典的系统，微观粒子都在做无规热运动，其系统宏观性质由微观粒子的统计结果决定. 微观运动的涨落(热涨落)服从高斯分布. 带电的微观粒子(如金属中的电子)热涨落产生噪声电流，噪声电流通过电阻则产生噪声电压，这一现象被Johnson观察到[7]，因而被称为Johnson噪声或电阻热噪声. 为此，无论是否加电，电子器件都会对外呈现出热噪声特性. 下面从物理图像对该热噪声的特性做非严格的推导.

电阻器与环境不断交换能量，当达到热平衡时，它从环境接收的能量等于向环境发射的能量.设能量交换以热辐射方式进行，则在长波极限下(ћω<

(1)

式(1)中，kB=1.38×10-23J/K，为玻耳兹曼常量.实验室环境温度(～300 K)和测量频段(102～106Hz)满足此极限条件. 同理，电阻器从温度为Te的环境吸收的辐射为kBTe，两者都与电磁波的频率无关，热平衡时T=Te.

将此电磁辐射能量交换的图像简化为一维的电磁波的发射和接收，以两个相互串联的电阻作等效描述(如图1所示)，R为研究对象电阻，Re为环境的等效电阻，则电阻器向环境辐射的平均功率等于从R输出并损耗在Re上的电功率，表示为

(2)

其中，IN(R)为等效噪声电流，vN(R)为电阻器R的噪声电压(随机信号).注意环境的噪声电压vN(Re)与vN(R)是独立的，不能叠加.同理从环境吸收的辐射平均功率为

(3)

图1 电阻器与环境热变交换等效 电路图；热平衡时，Re=R

即带宽Δf内噪声电压的时间方均值为

(4)

它占据(理想矩形)带宽Δf，定义与带宽无关的噪声功率谱密度为

(5)

可见，噪声功率谱密度均与频率无关.

2 测量原理

2.1 噪声测量

(6)

(7)

即对m种类型或来源的噪声，如果不同噪声之间存在相关性，式(7)中nfk(ti)nfj(ti)≠0(k≠j)，分离不同种类的噪声是困难的，除非在输入端作物理隔离.例如，要测量热噪声，需要通过屏蔽环境噪声，使之在参考频率段远低于热噪声.对不相干的噪声源nfk(ti)，式(7)写为

(8)

式(8)给出了不同类型非相干噪声的叠加原理，是扣除随机本底噪声的算法依据.对随机噪声，X与Y独立等价，从式(2)得热噪声的平均功率为

(9)

2.2 本底噪声

与所有电子仪器一样，锁相放大器具有自身本底噪声(nB)，主要来自于热噪声、温漂噪声、模数转换噪声等非相干噪声.而实际测量的噪声值(nm)是待测热噪声(nT)与本底噪声的叠加.根据随机噪声叠加原理式(8)得

(10)

可扣除仪器的本底噪声，前提是测量本底噪声时与测量噪声时的条件以及所选的锁相放大器参数相同.

2.3 等效噪声带宽

(11)

(12)

(13)

表1 等效噪声带宽与陡降和时间常数τ的对应关系

将随机变化的噪声视为幅值随机的阶跃输入信号，则窄带滤波器使输出信号延迟. 定义输出信号达到阶跃值的99%视为反映输入噪声幅值，其延迟等待时间也列于表1中. 也就是说，噪声测量时输出的时间间隔，应不小于表1给出的测量等待时间.

根据式(12)算出的仪器带宽ΔfLPF取代式(4)中的带宽Δf，得噪声电压强度表达式为

(14)

(15)

(16)

单位为伏·秒1/2(V·s1/2).

3 测量误差分析

梳理影响电阻噪声测量的因素：1)电阻器热平衡；2)样本量与统计不确定度；3)环境噪声影响；4)锁相放大器的输入带宽.

3.1 电阻器热平衡

从式(2)推导假设知，电阻热噪声的表述要求电阻处理热平衡，即电阻向环境发出的能量等于它从外界吸收的能量.这意味着如果测量时电阻器未达到热平衡会带来测量误差.1)测量时温度足够稳定，即电阻与环境温度相同；2)电阻器的热容量足够小而热导足够大，则即使电阻温度存在波动，由之造成的对与外界能量交换的影响也足够小.另一方面，电阻器与环境未达到热平衡亦会带来温度测量读数与电阻器实际温度的偏差.

3.2 样本量与系统统计不确定度

由于测量对象(噪声)本身具有随机性，系统不确定度也具有统计的特性，式(8)表明，X分量的噪声电压强度即为X分量测量值的标准差.实际测量时，锁相放大器样本量M(测量次数)不可能无限大，尤其对于教学实验时间有限，则该噪声测量值仅为最佳估计值.简单起见，先假定环境噪声为零，易得噪声电压测量值的比值不确定度[8]为

(17)

(18)

3.3 基于随机误差的热噪声测量不确定度

热噪声测量需用式(10)扣除本底，假设本底测量与信号测量样本量同为M，通过式(18)和误差传递可得

(19)

热噪声测量的比值不确定度为

(20)

3.4 环境噪声影响

3.5 锁相放大器输入带宽

从式(14)和式(19)可知，要降低噪声测量误差，电阻器的阻值应尽量大.然而，过大的电阻会降低锁相放大器的输入带宽.

电阻Rs通过同轴电缆接入锁相放大器的信号输入端. 实际电缆长约1 m，远小于锁相放大器最高测量频率(100 kHz)所对应的电磁波波长，则电缆自带的电容、电感所构成的直流耦合等效电路如图2所示，Rin为锁相放大器的输入电阻，Cain为输入电容，Cb和Lb分别为电缆的电容和电感.

图2 电阻热噪声输入简化等效电话(直流耦合)

估算单位长度同轴电缆的电感和电容值分别为：Lb=3.78×10-7H/m，和Cb=4.52×10-11F/m，对OE1022锁相放大器，Cain=25 pF，Rin=10 MΩ，即使在最高频率100 kHz，感抗约为0.24 Ω，选择Rs约为103～105Ω，ωLb<

式中ω0=1/RC为锁相放大器的输入带宽.这里有两处修正：1)锁相放大器测量的是总电阻R产生的热噪声，当Rs≤105Ω时，与阻值R的误差小于1%；2) 当Rsf>109ΩHz时，噪声功率误差大于5%，需对输入带宽的影响做修正，即

(21)

3.6 玻耳兹曼常量测量的不确定度估算

通过式(5)计算玻耳兹曼常量kB，假设锁相放大器的数值低通滤波器的相对误差可忽略不计，电阻R、温度T独立测量，其误差主要取决于测量仪器的系统误差.将式(20)代入误差传递可得kB的比值不确定度为

(22)

3.7 仪器不确定度

标定过的热电偶的误差主要来自于测温仪的冷端补偿的误差，δT≈0.5 K，相对误差δT/T低于1%水平；采用数字万用表测量电阻的相对误差δR/R也低于1%水平；对于数字锁相放大器，仪器不确定度主要来自前置放大器的漂移和模数转换噪声.前者可以通过在仪器工作稳定后，用标准信号校正增益消减；后者通过恰当选择动态储备和增益压减，并归到仪器本底噪声中，不在此展开讨论.

4 教学实验设计

4.1 知识点安排

用锁相放大器测量电阻热噪声实验安排在大学三年级的近代物理实验课程中，要求学生已修“大学物理实验”“误差分析导论”“热力学与统计物理”或相近课程，修过“电子技术”课的会更好.

4.1.1 随机噪声的统计特性

通过测量噪声电压的X分量和Y分量，用测量结果讨论：1) 测量值是否服从正则分布？2)X值和Y值是否独立无关？3)X值、Y值是否等价？4) 分析热噪声的测量误差.

4.1.2 电阻热噪声特性

通过测量数据：1) 讨论所测导体噪声是否服从正则分布？2) 从电阻热噪声的时域分布和频域分布，认识是否与频率无关？3) 认识热噪声分别与电阻值和温度的关系.

4.1.3 玻耳兹曼常量测量

高精度的玻耳兹曼常量测量要求对噪声的统计特性有透彻的理解，更涉及一些其他实验不常遇到的误差分析知识点，如随机测量的误差传递以及标准差的标准差或方差的标准差；此外，该实验可配合统计物理理论课教学开展.

4.2 减少误差的设计

4.2.1 电阻器选取

首先电阻器应该质量小(从而热容量小)，容易与环境达到热平衡，例如采用贴片电阻[6]；其次，电阻器取值范围(103～105Ω)使式(20)描述的比值标准差较小.

4.2.2 减少环境噪声造成的误差

为方便测量热噪声与温度的关系，将电阻器安装在可置于液氮温区环境、外径为10 mm的不锈钢管(测试杆)内，管壳与同轴电缆外层接地连接.由于电阻热噪声在10-9～10-8V数量级，该屏蔽措施难以达到或低于这一水平.

在教学实验对电磁干扰屏蔽能力有限的条件下，为减少环境噪声的影响，可将实验安排在下班后，采取远程测量方式进行，要求实验现场无人，且除电脑和锁相放大器外的其他电器设备关闭. 在本教学实验室的实验表明，环境噪声的影响能下降到热噪声或更低的水平.

4.2.3 最少非相关样本量

在达到热平衡后，玻耳兹曼常量kB测量的误差主要来自于式(21)右边第一项的噪声测量，它约为热噪声测量比值标准差的一半，因此样本量的要求为5千至1万个非相干样本.数字锁相放大器的输出信号频率受制于模数转换速度和滤波器带宽.以OE1022数字锁相为例，尽管通道快输出(CH1+fast)可达到312.5kHz的数据率，但只有当输出数据时间间隔大于滤波器时间常数的5～10倍时(见表1)，输出数据才能达到输入变化的99%，可近似认为两次电压采样之间是独立的.考虑到实验教学课时的限制，以1s为采样时间间隔，包括设置参数和等待仪器稳定在内的理想状态下，完成一次测量时间约在20分钟、可采集样本约1千个，测量综合误差约10%.计及学生操作熟练程度和参数选择正确性等其他不确定度因素的影响，一般课堂实验的测量误差在50%以内的预期是较为恰当和可以接受的.

5 教学实践与问题改进

在近代物理实验课原有不同温度下测量电阻热噪声的基础上，依据上述实验设计对2019级中实验教学作了改进，实验讲义增加了基于能量均分定理的电阻热噪声推导(本文简化了推导)和测量原理介绍，作为设计性实验首次要求通过远程桌面控制测量玻耳兹曼常量，但讲义没有提供第3节测量误差分析的内容，期望学生通过误差分析优化实验设计；讲义提供了包括参数选取在内的操作例子，但仍鼓励学生自己在更宽的范围内探索.此外，由于时间的限制，没有要求学生做热噪声统计特性的内容.

有20组40位学生选做了该实验.约有一半的实验组在玻耳兹曼常量测量上取得预期效果，测量偏差大的主要原因是独立样本量偏低、采样时间间隔不合理(影响到样本的独立性)和部分操作不当(如测量时电阻器与环境尚未达到热平衡)，也可归因于实验时间不足和学生对实验的理解仍不充分.与预期偏离较大的是，在缺少引导的情况下，很少学生的误差分析能对其实验方案设计有指导意义；最后，近代物理教学实验室的空调和风机每天24小时不间断运行，但学生没有测量环境噪声频谱，因而尚不能排除实验时他们取选的参考频率与环境噪声频率相近的可能性.为此提出了下一年级的教学改进：1) 在实验讲义附录中增加测量误差分析的指引；2) 增加具体的实验指引，缩小学生摸索参数的范围；3) 先测量环境噪声频谱提供给学生在选频时参考；4) 进一步改进测试杆，降低环境噪声干扰.限于篇幅，更多的教学实践探索情况将另文介绍.

致谢：

作者衷心感谢与李佳明老师就有关锁相放大器噪声测量的输入带宽、与邝志健工程师就有关锁相放大器测量等待时间等方面进行的有益讨论.