孙俊松，马女森，郭怀明

(北京航空航天大学 物理学院，北京 100089)

英国的两位物理学家盖姆和诺奥肖洛夫由于对石墨烯的开创性研究而获得2010年的诺贝尔物理学奖.石墨烯是由碳原子排列在六角晶格上的二维量子材料.它具有很高的强度，同时还有很好的韧性、超强导热性与导电性，这使其具有广泛的应用前景.石墨烯是具有独特电子结构的半金属，其低能激发由无质量狄拉克费米子来描述.因此石墨烯表现出很多新奇的量子物态，比如：克莱因隧穿和零朗道能级的量子霍尔效应等.石墨烯中的丰富物理性质吸引了理论和实验上的广泛研究.用力学方法调控电子结构是石墨烯研究中的一个重要研究内容.特别是，人们发现应变可以在石墨烯中诱导出赝磁场.该现象首先在铂表面生长的石墨烯纳米气泡[1]中发现.观察到的朗道能级对应于大于300特斯拉的磁场，这远远超出了当前的实验室条件，为研究在极高磁场下的新奇物理现象提供了独特的机会.将石墨烯放置在弯曲或预先设计的基板上，随后的实验中也实现了很高的赝磁场.理论上提出了各种不同调控应力产生均匀赝磁场的方法，如三轴应力[2]，弯曲石墨烯纳米带[3]，非均匀单轴应力[4]和具有特定形状石墨烯纳米带上的单轴应力等.在赝磁场中，狄拉克费米子形成类似真实磁场下的赝朗道能级，其可由低能有效哈密顿量出发解析求解.赝朗道能级的解析求解最后往往会转化为解为特殊函数的本征微分方程，因此这些科学前沿的内容可以扩充到数理方程的教学内容中，拓展大学生的知识视野，同时在求解过程中培养扎实的解析基础.本文拟介绍石墨烯在非均匀单轴应力下赝朗道能级的解析求解，详细展示在求解过程中对数学物理基础知识的综合应用.

1 非均匀单轴应力下的有效哈密顿量

采用考虑最近邻相互作用的紧束缚模型哈密顿量来描述石墨烯系统，即

(1)

其中求和对近邻格点对进行，在单轴应力下跃迁幅度t2=t3≠t1.因为该模型中没有相互作用，仅包含两算符项，可以写成矩阵形式对哈密顿量直接对角化即得到系统的能带如图1所示.

图1 能带色散图：对角化哈密顿量得到的精确数值解(黑色实线)；低能有效哈密顿量解析解(黑色虚线).这里只展示了右边狄拉克点附近的解析解，左边的解析解是类似的

对哈密顿量式(1)做如下傅里叶变换：

h(k)=dx(k)σx+dy(k)σy，

(2)

这里σx,y是泡利矩阵；tn=t(1-γΔun)， Δu1=εyy,Δu2=Δu3=εyy/4.

(3)

其中vF=3t/2ћ是费米速度.

应变张量会产生如下的赝磁场：

(4)

(5)

2 赝朗道能级的求解

在狄拉克点附近有效哈密顿量的本征值问题为

(6)

这里的本征值对应系统在狄拉克点附近的能级，波函数可以得到电子在系统中的分布.展开上式中的矩阵乘积，可以得到两个一阶微分方程：

(7)

(8)

把式(7)带入式(8)消去φA，得到一个变系数的二阶常微分方程：

(9)

(10)

(11)

为了使u(z)是一个多项式从而有限，α应该为0 或负整数，即α=-n,n=0,1,2,….于是我们得到本征能量的表达式：

(12)

这里的n是原来的n+1，所以现在n=1,2,….在c很小的情况下，可以将本征能量近似为

(13)

上式表明非均匀单轴应变产生的赝朗道能级类似于真实磁场下的朗道等级，都是正比于能级序列数的开方.但是不同的是，赝朗道能级还依赖于qx，因此在垂直于应力施加的平移不变的x方向上有色散，从而能级不是平的.我们把式(13)中的En与精确对角化的结果进行对比.如图1所示，在进行近似求解的狄拉克点附近，解析解与数值精确解符合得非常好.

3 总结与讨论

基于低能有效哈密顿量，石墨烯中非均匀单轴应变产生的赝朗道能级的求解转变为解变系数的二阶常微分方程.类似于量子力学中氢原子径向方程的求解，将极限情况下的渐进形式从解中分离，从而得到标准的合流超几何方程，从其本征值得到赝朗道能级的解析解.该赝朗道能级的求解将数学物理基础知识和凝聚态理论前沿问题密切联系起来，在理论物理教学中很有参考价值.

本文在写作中与深圳大学宣本金教授和中山大学林琼桂教授进行了很多有益的讨论，在此表示感谢.