董 璇，单 巍，姜恩华

（淮北师范大学，安徽 淮北 235000）

0 引言

2006年，压缩感知理论被提出，该理论主要包括稀疏信号的压缩采样和重构［1，2］。通过观测矩阵Φ̂对稀疏信号进行观测，得到观测信号y。已知观测矩阵Φ̂和观测信号y，通过重构算法，重构出稀疏信号。压缩感知理论包含三个关键部分：信号稀疏的表示、观测矩阵的构造和重构算法。UWB超宽带无线通信系统可以实现短距离数据无线传输［3］，由于无线信道是衰落的信道，其信道参数不断变化，如何准确地估计出UWB系统的无线信道参数，是UWB系统实现数据无线传输的关键问题。由于无线信道参数满足稀疏性，可以采用压缩感知理论重构出UWB系统的无线信道参数。

1 压缩感知理论

根据压缩采样过程中有无噪声，压缩感知理论可以分为无噪声的压缩感知理论和有噪声的压缩感知理论。

1.1 信号的稀疏表示

压缩感知理论是对稀疏信号进行观测，若输入信号X不是稀疏信号，需要对输入信号X进行稀疏变换，如式（1）所示，Ψ为变换矩阵，θ为稀疏信号。

1.2 无噪声的压缩感知理论

采用观测矩阵Φ̂对输入信号X进行观测，得到观测信号y，如式（2）所示。若传感矩阵A满足约束等距性RIP，则可以通过式（3）重构出稀疏信号θ［1，2］。

1.3 有噪声的压缩感知理论

当采用观测矩阵Φ̂对输入信号X进行观测，在观测过程中有噪声，如式（4）所示，其中w为噪声。若传感矩阵A满足约束等距性RIP，可通过式（5）重构出稀疏信号θ。

1.4 重构算法

重构算法能够根据观测信号y和传感矩阵A重构出稀疏信号θ。重构算法主要分为贪婪算法和凸优化算法。贪婪算法主要有OMP算法、GOMP算法、ROMP算法和CoSaMP算法等。凸优化算法主要有BP算法和梯度投影方法等。

2 UWB超宽带无线通信系统信道估计

UWB超宽带无线通信系统主要分为IR-UWB系统、DS-CDMS-UWB系统和MB-OFDM-UWB系统等。本文探讨IR-UWB系统的信道估计，其信道采用IEEE 802.15.SG3a标准规定的信道模型。

2.1 UWB多径信道模型

IEEE 802.15.SG3a标准规定的信道模型可分为CM1、CM2、CM3和CM4信道模型［4］，CM1为0-4米的视距信道模型，CM2为0-4米的非视距信道模型，CM3为4-10米的非视距信道模型，CM4为比较差的无视距多径信道。

2.2 IR-UWB超宽带系统

IR-UWB系统发送端主要包括：数据信号、调制和脉冲整形，在接收端进行信号接收、解调和解码得到数据信号［5］，如图1所示。

图1 IR-UWB超宽带系统的组成

IR-UWB系统主要有2PPM-TH-UWB和PAMDS-UWB。由于二进制PSK可以看作PAM的一个特例，当采用二进制PSK调制时，调制信息为bk∈{+ 1,-1}，p(t)为脉冲信号，脉冲发生器输出的发送信号s(t)如式（6）所示，Tf为脉冲周期。

发送信号s(t)通过UWB信道，在接收端，收到接收信号r(t)。UWB信道的单位脉冲响应如式（7）所示，hl为第l路多径信道增益系数，τl为第l路多径信道的延时。

假如UWB信道的噪声w(t)为高斯白噪声，则接收信号r(t)如式（8）所示。

把式（8）时域离散化，表示成时域离散信号h(n)与s(n)的时域卷积，如式（9）所示，N为信道单位脉冲响应h(n)的长度，w(n)为时域离散化的高斯白噪声。

由于计算序列的线性卷积可以通过序列的循环卷积计算，循环卷积的长度L≥N+M-1［6］。序列的循环卷积可以通过矩阵方法计算，所以式（9）可以写成矩阵形式，如式（10）所示，S为循环卷积矩阵，H为UWB信道的单位脉冲响应向量，R为接收信号向量，W为加性高斯噪声向量。

假如发送信号s(n)的长度为M，需要在s(n)后面补N-1个零，使其长度为L。通过补零后的s(n)，构造循环倒向序列 [s(0)s(L-1)s(L-2) …s(1)] ，从而构造出循环卷积矩阵S。同理，UWB信道的单位脉冲响应h(n)后面补M-1个零，使其长度为L，代 入 式（10），计 算 出 接 收 信 号 向 量R=[r(0),r(1),r(2),…,r(L-1)]T，如式（11）所示。

3 IR-UWB系统中的信道估计

采用最小平方误差LS算法和压缩感知理论的重构算法完成IR-UWB超宽带无线通信系统的信道估计。

3.1 LS信道估计算法

在IR-UWB系统中，若单位脉冲响应向量H的LS估计值为，构造代价函数如式（12）所示［7］，求代价函数的极值，即求测量值和模型值的差的模的平方的最小值。通过对式（12）求关于的导数，让导数等于0，求得单位脉冲响应H的LS估计值，如式（13）所示。

3.2 基于压缩感知理论的IR-UWB系统中的信道估计

本文借助循环卷积的矩阵计算方法，推导出IR-UWB超宽带无线通信系统的压缩感知模型，通过GOMP重构算法，重构出IR-UWB系统的信道参数。

3.2.1 IR-UWB系统信道估计的压缩感知模型

由于式（10）中的UWB信道的单位脉冲响应向量H为稀疏信号，可以构造一个(L/4)×L的高斯随机矩阵Φ。把高斯随机矩阵Φ作为观测矩阵，对式（10）中的接收信号R进行观测，求得观测信号y，如式（14）所示，观测信号y为(L/4)×1列向量。

在式（14）中，单位脉冲响应向量H为稀疏信号，由于高斯随机矩阵Φ，满足RIP约束等距性，所以矩阵A满足RIP约束等距性。通过传感矩阵A对稀疏信号H进行观测，求得测量信号y。

若已知测量信号y和传感矩阵A，根据压缩感知理论，通过重构算法，重构出单位脉冲响应向量H，重构H的压缩感知模型如式（15）所示。

3.2.2 压缩感知重构算法

通过压缩感知理论中的贪婪算法对式（15）求解，重构出单位脉冲响应向量H。常用的贪婪算法包括：OMP算法、GOMP算法、ROMP算法和CoSaMP算法等。

OMP算法首先初始化残差为测量信号y，找到传感矩阵A中与残差最相关的列，计算稀疏信号θ的最小二乘解，更新残差，通过循环迭代，最后求得稀疏信号θ［8］。

GOMP算法在寻找与残差相关的列时，选择S个最相关的列［9］。ROMP算法在寻找与残差相关的列时，按照正则化规则，选择K个最相关的列，K为信号的稀疏度［10］。CoSaMP算法在寻找与残差相关的列时，选择2K个最相关的列，K为信号的稀疏度，从计算的稀疏信号中选择绝对值最大的K列［11］。然后计算稀疏信号θ的最小二乘解，更新残差，通过循环迭代，最后求得稀疏信号θ。

GOMP算法的重构精度优于OMP算法、ROMP算法和CoSaMP算法，所以选用GOMP算法用来重构IR-UWB系统中的信道参数。

4 基于压缩感知理论的IR-UWB系统信道估计仿真实验

首先搭建压缩感知理论用于IR-UWB超宽带无线通信系统的信道估计仿真实验平台，采用GOMP算法实现IR-UWB系统的信道估计。计算归一化均方误差NMSE，与LS算法相比，在相同信噪比SNR下，比较GOMP算法和LS算法重构信道参数的精度。

4.1 仿真实验平台搭建

搭建的基于压缩感知理论的IR-UWB系统信道估计仿真实验平台如图2所示。

图2 基于压缩感知理论的IR-UWB系统信道估计仿真

首先，按照IEEE 802.15.SG3a标准规定的CM1、CM2、CM3和CM4信道模型的参数，生成IRUWB系统信道的单位脉冲响应向量H。

其次，按照二进制PSK调制信息为bk∈{+ 1,-1}，生成发送信号s(n)，按照循环卷积矩阵的构造方法，通过s(n)生成循环卷积矩阵S，通过(L/4)×L维随机高斯矩阵Φ，求得传感矩阵A=Φ·S。

再次，通过传感矩阵A对单位脉冲响应向量H进行观测，求得观测信号y。在已知传感矩阵A和观测信号y时，通过压缩感知重构算法，重构出单位脉冲响应向量的估值Ĥ。

最后，通过归一化均方误差NMSE，与LS算法估计的单位脉冲响应向量比较。

4.2 重构IR-UWB信道参数

借助Matlab软件，编写M脚本程序，实现对IRUWB系统的信道估计。假设：发送数据的s(n)的长度M为3660，IR-UWB系统的信道单位脉冲响应h(n)的长度N为3660，所以线性卷积的长度为7319，于是循环卷积的长度L取为7319，观测信号y的长度取为1830。采用IEEE 802.15.SG3a标准规定的CM1、CM2、CM3和CM4信道模型参数生成其单位脉冲响应h()n。采用式（15）所示的压缩感知模型，采用GOMP压缩感知重构算法，分别重构了CM1、CM2、CM3和CM4信道的单位脉冲响应ĥ()n，并与原始信道的单位脉冲响应h()n比较，如图3所示。

图3 GOMP算法重构的IR-UWB系统的信道参数

通过比较GOMP重构算法重构的信道单位脉冲响应与原始信道单位脉冲响应，可以看出，GOMP重构算法能够很好地重构出IR-UWB系统多径信道的单位脉冲响应。

4.3 IR-UWB信道估计性能分析

通过压缩感知理论中的GOMP重构算法估计的IR-UWB信道参数，与LS算法估计的信道参数相比，通过计算CM1、CM2、CM3和CM4信道各自的归一化均方误差NMSE［12］，比较信道参数估计的精度。归一化均方误差NMSE的计算公式如式（16）所示。

借助Matlab软件，编写M脚本程序，计算GOMP重构算法和LS算法估计的CM1、CM2、CM3和CM4信道单位脉冲响应的NMSE，如图4所示。

图4 GOMP算法和LS算法重构信道参数的NMSE比较

实验结果表明，在相同信噪比SNR的情况下，GOMP算法重构的CM1、CM2、CM3和CM4信道单位脉冲响应ĥ(n)的精度高于LS算法。

5 结语

本文借助压缩感知理论，实现了IR-UWB超宽带无线通信系统中的信道估计。首先论述了压缩感知理论，详细分析了信号的稀疏表示、无噪声和有噪声的压缩感知模型和压缩感知重构算法。其次，论述了IR-UWB无线通信系统，IR-UWB多径信道采用IEEE 802.15.SG3a标准规定的CM1、CM2、CM3和CM4信道模型。再次，通过循环卷积的矩阵计算方法，推导出IR-UWB系统信道估计的压缩感知模型。最后，借助MATLAB软件，编写M脚本程序，采用GOMP算法重构了IR-UWB系统中的信道单位脉冲响应，与LS算法比较，通过计算归一化均方误差NMSE可以看出，GOMP算法重构信道脉冲响应的精度高于LS算法。