兰州市第五中学(730000) 李守明

在近年的高考及全国各地模拟考试中,频繁出现共焦点的椭圆、双曲线的离心率相联系的有关求值与范围问题.这种试题不仅考查椭圆和双曲线的基本性质,同时与基本不等式联系,是培养学生数学运算能力和数学思维能力等核心素养的很好载体,受到命题者的亲睐.

一.试题呈现

该题结构简单、精炼,但所蕴含的思想却很丰富,主要考查共焦点的椭圆和双曲线这两种曲线的离心率有关的最值,同时考查椭圆焦点三角形面积和双曲线焦点三角形面积的计算,意在考查学生的数学运算能力,化归与转化的思想,贯穿了数学运算和逻辑推理的核心素养.

二.解法探究

三.背景探究

1.在本题中,条件中告诉焦点三角形面积,根据椭圆或双曲线焦点三角形面积公式,实际上是知道了∠F1AF2的大小,那么,在∠F1AF2=θ的情况下,共焦点的椭圆、双曲线的离心率之间有怎样的联系呢? 本题有没有相对简单的解法呢?

笔者猜测,这个结论是“根”,本题是命题者在知道这个“根”的情况下,巧妙设置焦点三角形的面积,把一个共焦点的圆锥曲线问题,转化为有条件限制的二元函数最值问题,从而命制了这道检测试题.运用这个结论,就有下面解法5 和解法6.

这个结论也可以看做命制本题的背景,借助这个结论,有下面解法7.

四.考题链接

五.解题启发

1.在教学过程中,很多教师抱怨“总有学生一听就懂,一做就错”.那么怎样才能改变这种情形呢? 大部分教师认为学生的运算能力差,给出的策略是刷题.这种由“量变”期望“质变”在一定的学生身上确实产生一定的效果.但从立德树人的角度来看,不利于学生思维能力的发展.数学素养不能靠大量做题而提升.在数学试题的命制上,很多试题是有共性、有背景、有渊源的.这其实是命制试题的“根”,不同的数学试题在这个“根”上套上了函数、不等式、几何等外在的“马甲”.教师在试题讲解中,如果能引导学生观察试题共性,脱掉试题外在的“马甲”,探求试题本源,从思想方法、命题背景以及解题策略入手,想必会提高学生运算能力,有利于数学核心素养的培养.

2.著名数学教育家波利亚曾说:“没有一道试题是解决的十全十美的,总剩下一些工作要做,经过充分探讨和总结,总会有点滴发现,总能改进这个解答,而且在任何情况下,我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”这就要求我们在得到一道题的正确答案之后,引导学生从不同的角度寻求新颖的解法,进一步简化运算.把“剩下的一些工作”尽可能多做一些,做扎实,做透彻,无论对教师专业的发展,还是对“减负提质”都有积极地借鉴意义.