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一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考

2022-12-23许柱周斌

中学数学杂志(初中版) 2022年6期
关键词:多样性数学素养

许柱 周斌

【摘 要】 义务教育课程标准(2022年版)的变化之一,增加了学业质量标准和考试命题建议,明确提出了素养立意的命题原则.文章通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究,谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.

【关键词】 网格作图;多样性;数学素养

网格是义务教育阶段研究“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”的工具.教学从能用直尺或三角板在网格中画平行线、垂线,到借助网格探究平移、旋转和轴对称等图形变换特征以及研究函数的图象和性质,让学生积累丰富的活动经验,掌握相应的基本技能.为此,以网格作图为背景的考试命题成为了近几年的新方向.网格作图的要求是:只使用无刻度直尺,利用格点来作图.本文通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究,谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.

1 试题呈现

(2022年江苏省宿迁市第27题)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B,C,D,M均为格点.

【操作探究】

在数学活动课上,佳佳同学在如图1的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB,CD,相交于点P,并给出部分说理过程.请你补充完整:

解:在网格中取格点E,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.

在Rt△ABC中,tan∠BAC=BCAC=12,在Rt△CDE中,,

所以tan∠BAC=tan∠DCE,所以∠BAC=∠DCE.

因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°,

所以∠APC=90°,

即AB⊥CD.

【拓展应用】

(1)如图2是以格点O为圆心,AB为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在BM上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;

(2)如图3是以格点O为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦AB上找出一点P,使AM2=AP·AB,写出作法,不用证明.

2 解法探究

史宁中教授指出,“数学的结论往往是‘看’出来的.”[1]“看”需要凭借良好的直觉,而直觉需要活动经验的积累.网格作图是通过直接找格点或通过格点找间接的点,即借助无刻度的直尺作直线(线段)或直线(线段)与直线(线段)的交点来完成,故写作法时,要体现出网格中所取的格点.

2.1 正确作法赏析

对于【操作探究】:

tan∠DCE=DECE=12.

对于【拓展应用】(1):

方法一 构造垂线

弗莱登塔尔指出,“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’.”“再创造”是将“操作探究”中所隐藏的新知识、新技能及数学方法等内容,通过阅读去发现或创造出来.“拓展应用”中“在BM上找出一点P,使PM=AM”,所用到的知识是垂径定理(过点A作半径OM的垂线);方法是从“操作探究”中的体验获得的“用无刻度的直尺画两条互相垂直的线段”知识技能迁移得出较为直接的(1)问思路1.

思路1:如图4,在网格中取格点C,连接AC并延长交圆O于点P(也可取格点G,连接AG或CG交圆O于点P).

方法二 構造平行线

网格中线段之间存在特殊的位置关系(平行和垂直),故基于原有的知识经验,过由若干个相邻方格组成的矩形的对角线所作的直线(线段),与按相同的方式作出的另一条直线(线段)互为平行线,再利用两直线平行,同位角相等以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半,进而得出(1)问思路2.

思路2:如图5,在网格中取格点C,连接BC并延长交圆O于点P(也可取网格右下角格点H,连接HB或HC并延长交圆O于点P).

方法三 构造垂直平分线

网格中亦可以作出特殊的四边形(菱形、正方形),因此,可以利用特殊四边形的对角线互相垂直平分,推得角相等,进而得出(1)问的思路3,4,5等.

思路3:如图6,在网格中取格点F,E,Q,连接MQ,作射线EF交MQ于点N,作射线ON交圆O于点P.

思路4:如图7,在网格中取格点N,C,E,连接EN,MB相交于点Q,连接CQ并延长交圆O于点P.

思路5:如图8,在网格中取格点G,N,C,E,F,连接EF,GN相交于点D,作射线OD交圆O于点P.

方法四 构造相似三角形

题目条件中所给的点A,B,M均为格点,因此△ABM为格点三角形.因为AB为直径,则△ABM是边长之比为1∶2∶5的格点直角三角形.为此,我们可以构造两直角边比为1∶2的直角三角形得出(1)问中的思路6,7,8,9,10等.

思路6:如图9,在网格中取格点E,F,连接EF并延长交圆O于点P.

思路7:如图10,在网格中取格点C,连接AC并延长交圆O于点P(类似思路1,证明方法不同).

思路8:如图11,在网格中取格点F,C,连接CF交圆O于点P(也可以取D,E,连接CD,CE,DE,DF,EF或延长可得点P),这里通过两点控制变量,有6种方法得出点P.

思路9:如图12,在网格中取格点D,C,连接CD交圆O于点P.

思路10:(间接法)如图13,在网格中取格点E,N,C,D,连接BC交圆O于点Q,连接QO并延长交圆O于点P.

方法五 利用三角函数

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标(2022年版)》)对于三角函数知识要求为,利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值.由于学生提前了解高中相关三角函数的知识,故得出(1)中的思路11,12等.

思路11:如图14,在网格中取格点E,F,C,连接MC,EF并延长交于点H,连接OH交圆O于点P.

简证:利用高中三角函数知识,求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43,得出点P就是所求的点.

思路12:如图15,在网格中取格点N,E,连接EN交MO于点Q,连接AQ并延长交圆O于点P.

简证:这种作法需要利用高中知识作图,但证明既可以利用高中知识,也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43,用高中三角函数诱导公式,可得tan∠AOM=tan(∠EOM-∠EOA)=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形,四点共圆”,得A,E,O,Q四点共圆,再利用“圆的内接四边形对角互补”,得出∠AQO=∠AEO=90°,根据垂径定理,可证明PM=AM.若利用初中知识证明,须以点O为坐标原点,以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,设E(-3,0)、N(1,3)、M(-1,3)、A(-3,1),可先求出直线yEN=34x+94,yOM=-3x,得点Q(-35,95),根据点A(-3,1),可求得yAQ=13x+2,所以kOM·kAQ=-1,所以OM⊥AQ,根据垂径定理可得PM=AM.

对于【拓展应用】(2):

思路1:如图16,在网格中取格点D,连接MD交AB于点P,则满足AM2=AP·AB.(简证:连接OA,类比操作探究,可证OA⊥MD,求得∠AMP=∠ABM.)

思路2:如图17,连接MO并延长交圆O于点E,在网格中取格点F,连接EF并延长交圆O于点Q,连接MQ交AB于点P,则满足AM2=AP·AB.(类似还可以在网格中取格点G,连接EG交圆O于点Q,连接MQ交AB于点P.)

思路3:如图18,在网格中取格点D,连接BD并延长交圆O于点E,连接EM交AB于点P,则满足AM2=AP·AB.(可证格点△AMB≌△ADB,推出∠EBA=∠MBA,证得∠AME=∠MBA.)

思路4:如图19,在网格中取格点D,连接MD交AB于点P,则满足AM2=AP·AB.(简证:证得两个阴影三角形相似,得∠AMD=∠MBA,类似(2)问思路1,证法不同.)

思路5:如图20,在网格中取格点C,N,连接CN交AB于点P,则满足AM2=AP·AB.

也可以在网格中取格点C1,C2,C3,N1,连接任意两点(或延长)交AB于点P,则满足AM2=AP·AB.

2.2 典型错误剖析

错解1:审题不清.拓展应用题(1)误作PM与PB相等.如图21,在网格中取格点C,连接OC并延长交圆O于点P.

错解2:作近似点.如图22,在网格中取格点C,连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出,点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3-131+3×13=43,tan∠MOC=tan(∠MON+∠EOC)=tan∠MON+tan∠EOC1-tan∠MON·tan∠EOC=13+341-13×34=139.

因为tan∠AOM≠tan∠MOC,所以PM≠AM.

错解3:增加网格.如图23,由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造,在自行添加的网格中取格点C,连接BC交圆O于点P(简证:连接AC,根据OM∥BC,得∠MOA=∠CBA).尽管点P就是所求的点,但在自行添加網格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺,故可以通过原图的格点构造网格外新的点,作出点P(如图24,利用格点M,C,E,D,作射线MC,ED).

3 素养表现

课标(2022年版)总目标是:通过义务教育阶段的数学学习,学生逐步会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界[2](以下简称“三会”).2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上,借助网格中的格点,用无刻度的直尺作图,着重考查以下五个素养:

(1)几何直观.拓展应用(1),在BM上找出一点P,使PM=AM,由于题目属于网格作图,只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知,若PM等于AM,必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点(思路1中的C,G).试题的命制也充分考虑评价公平性,为防止学生答题过程中的无意识操作,利用“投机取巧”也可以做对,故题目要求写出作法,并给出证明.提出明确的答题指令,杜绝“无意识的操作”也能做对的现象,变为“有目标的思考”并表达.

(2)模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”,由指定任务出发,通过阅读理解、自主探究、解决问题,获得新知识、新方法.最后,利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题,模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.

(3)推理能力.一方面,中考试题命制要有区分度,在“操作探究”环节,因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12,故推理得出在Rt△CDE中,tan∠DCE=DECE=12.另一方面,网格作图和尺规作图类似,多运用逆向逻辑推理.如拓展应用(1),先把结论PM=AM看作条件,推理得出应该有的结论(OM⊥AP),进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.

(4)运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节,借助格点的特性,构造直角三角形,通过观察,计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1,考生利用原有的知识经验(思路12),通过构造平面直角坐标系,计算证明格点P就是所求作的格点,尽管繁琐,但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2,学生通过严谨的计算,若满足AM2=AP·AB,则AP=22.先算出数值,后定位置,故直接连接小正方形的对角线,确定点P位置.

(5)创新意识.创新意识的培养也是现代数学教育的基本任务.中考试题属于义务教育阶段的终极考查,学生经过三个学段学习(2022年版分为四个学段),积累了丰富的活动经验,对数学中重要的内容、方法、思想的认知有一定的深度和广度.莎士比亚说过,“一千个读者眼中就会有一千个哈姆雷特.”心理学研究也表明,由于每个学生对数学活动经验的关注点不同,所以在考试特定环境下往往能给出多样性的解法,考查了学生的创新意识.

4 命题思考

4.1 技能立意,计算解答

“计算+无刻度作图”是网格题命制的特点.在网格作图题中,以作图技能立意的试题通常都比较基础,考查的知识点比较单一,以格点作图为主要考查目标.在网格中作图,最基本、最常规的问题就是利用正方形网格的边长为1,运用勾股定理计算格点线段的长度,或者利用网格线平行或垂直的基本特征作平行线和垂线.

4.2 思维立意,分析推理

网格作图题考查的结果是作图,实际上是以格点为依托,把对学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力的考查融合在一起.为此,网格作图给了学生多角度探究问题的思路,构图时可以选用网格中的特殊格点,构造一些特殊四边形、三角形,借助图形的性质解决问题.

4.3 素养立意,创新思维

网格作图题的命制,把考查学生的数学素养放在突出重要的位置,试题要求学生有较强的构图能力和创造思维能力.很多时候,网格只是赋予了题目一个载体,真正考查的是学生的基本数学素养.知识层面,本题主要考查了轴对称的性质、垂径定理、圆周角和圆心角的性质、三角函数的基本思想等;技能层面,主要考查了学生的作图能力等;基本思想方法层面,主要考查了数形结合思想、几何直观和空间观念、转化思想等.为此,知识储备、方法积累、思维积淀、创新意识是解决问题的关键.

5 结束语

课标(2022年版)增加了学业质量标准和考试命题建议,并明确提出了“坚持素养立意,凸显育人价值”的命题原则.“操作探究与拓展应用”类网格作图题,能够立足基本数学问题,通过操作探究,积累活动经验,让测评发生在知识处于生成状态或应用状态的情境之中,通过积累活动经验解决新问题(拓展应用),考查学生的创新意识和创新能力,最终实现以核心素养为导向的考试命题.

参考文献

[1]史宁中,曹一鳴.义务教育数学课程标准(2022年版)解读.北京师范大学出版社,2022.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2022.

[3]桂文通.整体关联 局部优化 科学评价[J].中学数学教学参考(中旬),2021(01):70-72.

[4]刘光华.注重基础立素养 提升思维育能力[J].中学数学教学参考(中旬),2021(03):69-71.

[5][美]G·波利亚.怎样解题[M].涂泓,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社.

作者简介 许柱(1977—),男,江苏泗洪人,中小学高级教师;主要研究中学数学教育.周斌(1984—),男,江苏宿迁人,中小学高级教师;主要研究中学数学教育.

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