顾广林 帅建卓

【摘 要】 跨学科主题学习是对社会实践活动的模拟．开展数学跨学科主题学习要强化问题意识，从真实情境中聚合或抽象本质问题，提炼出驱动性问题，围绕问题或学习任务群，运用跨学科知识和跨学科综合性思维进行探究实践，综合创新解决问题，实现心智自由转换．同时在情境中对学科知识再建构，学会思考，注重评价在学习中的运用，科学表达创造成果．

【关键词】 跨学科主题学习；问题意识；核心素养

跨学科是现代科学发展的主要趋势，义务教育课程强化课程的综合性与实践性取向，《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出综合与实践重在解决实际问题，以跨学科主题学习为主［1］．数学跨学科主题学习主要是整合数学与其他学科知识来解决现实问题，初中主要采用项目式学习的方式．数学跨学科主题学习需要抽象或聚合概念，需要学习实践和高阶思维，需要不同学科教师合作设计探索过程，其教与学符合当下课改发展方向，与核心素养理念高度契合．目前，许多数学教师虽然认识到了跨学科主题学习的内涵与价值，但囿于原有的教学观念、专业基础、实践经验等因素，实践中的跨学科主题学习还存在诸如只注重“活动”而缺乏学科思维或只有学科拼盘而缺乏核心概念等问题或现象．解决这些问题或克服实践中可能的浅表化现象，需要基于跨学科主题学习的实践进行反思与总结．本文拟结合教学的实践，总结数学跨学科主题学习的要点并对相关教学案例进行反思．

1 数学跨学科主题学习的几个要点

数学跨学科主题学习的前提是开发合适的主题项目.这些项目不仅要能抽象出具有跨学科的共通概念，提炼出需要统整不同学科才能真正理解或解决的本质问题，而且要能通过现实环境引发学生自觉的学习实践和表达成果（产品、作品或报告）．问题是数学的心脏，数学跨学科主题学习要突出问题导向，即要将问题解决贯穿于学习的过程，并据此探索相应的教学结构．

1.1 问题意识

数学跨学科主题学习旨在培养学生借助跨学科性的内容和开放性的项目发现、提出、分析和解决问题.教学的展开要关注学习过程与结果的不确定性，把握学生问题意识培养的契机，引导学生基于有待掌握的核心知识提出核心概念，围绕核心概念提出问题，形成有利于核心概念理解的跨学科本质问题．本质问题往往是抽象的，需要将本质问题转化为驱动性问题，提高学生探究实践的内驱力，激活思维．问题的发现应该由学生充分讨论和探索，发掘其中蕴含的可能，提高学生的问题意识和发现问题的能力，这种素养是创新的基础．驱动性问题是学习的逻辑起点和重点，其连接着学习目标和活动过程.驱动性问题具有挑战性，能够激发高阶思维，并不断产生新的问题且持续探究，这是数学跨学科主题学习的关键环节．

1.2 探究过程

有了驱动性问题，需要从不同的学科视角和具体的现实经验来进行知识的再建构，以便解决问题．如何再建构？如何统整知识解决问题？需要在真实的学科环境中激发学生的探究行动，用真实的思维和实践合作解决问题．真探究要求学生像学科专家一样进行专业思考和探索，要充分经历合作式学习、讨论、表达和思维的碰撞，产生新颖观念.这种融合不同学科的探究凸显高阶认知和动手实践的有机统一，是具身认知理论的实践体现.学生通过在真实学习环境中的经历和体验，会感受到学习的意义，感受到生活与知识的关联，从而激活心理感觉，有效促进知识迁移应用．探究过程要有方向性和目的性，可以对核心知识和表现维度进行表现性评价，促进学生探究过程高阶认知和关键实践的有效实施．

1.3 公开成果

初中跨学科主题学习往往采取项目式学习方式，需要形成公开成果．从结果性评价来分析，在学习结束时，可以指导学生形成对本质问题认识的报告或作品，并体现思维和实践的真实性．让学生明白成果的要素和科学表达的方法，除了对核心概念的深刻理解，还要包括成果的意义、产生的过程（包括认知策略和学习实践）、佐证材料等，可以制定成果要素的评价量规，让学生对成果与目标的匹配度与达成度等进行多元评价，保证成果质量．学习成果要公开展示，既可以通过展览的形式进行直观化的现场交流，也可以通过报告会报告项目的研究过程和结论．成果展可以根据成果的普适性，恰当选择受众范围，有些成果展可以适当增加仪式感，感受真实的发布场景，实际上也是一个真实的学习实践．

1.4 教学结构

数学跨学科主题学习应该是开放性的学习活动，以项目式学习方式为例，教学思路可以面对项目情境引导学生提出问题，从中提炼本质问题，制定项目实施方案，实施方案需将本质问题转化为不同学科中的问题加以解决，当然重点在数学建模解决问题，最后指导学生形成研究成果并交流．可以概括为图1的教学结构，其具有发展核心素养的要素．

2 案例分析

学习二次函数后，设计项目——篮球三分球．首先项目分析，明确核心概念是飞行轨迹，解决问题的观念是图形直观，转化为通过体育学科手绘“完美三分曲线”（抛物线），再用数学方法描述抛物线，结合投篮影响因素，指导投三分球．为此，确定学习目标为通过整合体育、数学和物理等跨学科学习，将生活中投篮经验提高到跨学科高度的理解，从而再建构抛物线，达到深层理解，发展模型观念；在解决驱动性问题过程中，发展学习实践能力，感悟科学的投篮运动，养成科学的态度，提高跨学科综合性思维能力．

任务1 确定情境的本质问题.

播放篮球三分球视频：男主人公是一个篮球馆的清洁工，他从一开始不会投篮，然后通过一系列测量、计算、尝试，最终连续投进三分球．

鼓励学生提出问题，根据目标和核心概念从众多问题中确定本质问题，即如何从形到数确定三分球曲线（抛物线）？进一步设定驱动性问题：怎样通过投篮练习和数学分析探索三分球曲线？如何结合探索的三分球曲线和投篮影响因素较为准确投进三分球？

教学分析 视频展示了真实的情境，具有视觉冲击力，学生兴致勃勃，看到知识与现实生活的联系．通过观察视频中的数据测量，思考为何要获得这些数据，如何用所学知识解决问题，意识到需要运用跨学科学习并致力于自己的行动，才能解决问题．为此，要重視对情境生长性经验的抽象和转化，提高学生情境下的学习能力和迁移能力，这也是素养的核心要素．

任务2 体验和探索投篮曲线.

观看视频后，要将驱动性问题转化为确定进球抛物线．在体育教师协同指导下，学生带着问题走进篮球场分小组实际投篮和测量数据，并手绘一道在给定的位置自认为比较容易进球的三分球投篮曲线.这个问题的解决需要操作实验、数据收集和分析、推理、比较和决策等．根据学生观察，结合大数据分析，发现当篮球入框时与水平线大概成45°角时最容易进球，并命名为“完美三分曲线”．根据“完美三分曲线”中篮球入框时与水平线夹角在45°左右，在缩略图中手绘“完美三分曲线”．

教学分析 观看视频并结合个体经验，引发学生思考怎样容易投中？这个挑战性问题营造了高阶认知策略的学习情境．思维是基于问题的，问题意识是培养数学能力和素养的重要举措，用真实情境引入的价值也就体现在这里．由于有学习内动力，学生会在投篮练习中仔细观察篮球的飞行轨迹，主动合作测量相关数据和总结成功经验，思维聚焦于抛物线，尝试描出“完美三分曲线”，其探究过程需要社会性、技术性和探究性实践．为此，需要有让学生身临其境的探索情境，才能与情境互动，持续进行高阶认知引领下的科学探究，弥补封闭课堂教学短板．

任务3 探索“完美三分曲线”函数式.

画出“完美三分曲线”后，不少学生提出需要精细刻画此曲线，但要究其原因，引发讨论，形成共识：主要为投出“完美三分曲线”提供数据支撑，确定了曲线的表达式才能更好掌握篮球的大致飞行轨迹．

在画好抛物线的纸片（图2）上，学生建立恰当的坐标系，探索需要的条件．测量篮球框高度为3.05米，以一名同学投篮位置距离篮圈中心水平距离7米，出手高度2米左右为例，则可知图2中A，B两点坐标．发现还需要条件，有学生提出：可以按比例估测出对称轴大概为直线x=3，就能确定关系式．也有同学通过度量、按比例估测出抛物线与x轴交点坐标确定关系式．

教学分析 跨学科要坚持学科立场，数学本位的跨学科主题学习应该主要运用数学学科且借助于其他学科解决问题．二次函数教学是从关系式展开的学习过程，事实上也可以从图象到关系式，进行逆向思维训练．学生通过观察、回忆、画图、度量、计算、估测、交流等确定抛物线关系式，其过程蕴含辨析、优化、决策等高阶认知策略，体现知行合一，这样学生对抛物线有本质性理解．这种情境学习是在现实需求中学习，克服了只关注结果的机械式学习，能有效发展素养．

鼓励学生继续提出问题并讨论，比如：投篮时眼睛一般不会看着地面，实际投篮时如何才能控制投篮曲线？

经过讨论，学生认识到投篮时一般眼睛是看着篮筐，以投篮者眼睛到篮筐的这条视线作为参考，篮球飞行的最高点到这条视线的竖直距离、此时篮球离篮筐的水平距离等就是重要的参考值，有助于控制篮球尽可能划过“完美三分曲线”，而不至于飞得太高或太低而降低命中率．其他同学以自己投三分球位置和出手高度开展以上研究．

教学分析：面对如何更好控制投篮曲线这个现实问题，需要学生合作学习，需要创见、反思和分析，以创造性思维真正参与解决问题的过程．

追问：对“完美三分曲线”还能提出什么问题？

学生积极提出问题，比如，“完美三分曲线”在视线上方的部分距离视线的最大垂直距离是多少？若在视线上方的“完美三分曲线”上有一个动点P，则△PAB面积最大值是多少？……当然，学习中应该归纳和整理抛物线与学科内知识的联系并结构化理解与其他学科的联系，再建构对抛物线的深度理解．

教学分析：跨学科主题学习不仅是运用知识解决问题，也应该重视统整知识或对知识的再建构，体现跨学科主题学习的要义.事实上学生提出的问题，涵盖了函数、图形、方程、不等式，提高了对二次函数的认知．

任务4 想要投篮更准，除了研究投篮抛物线，还有什么影响因素？再觀看视频：你会如何选择？

篮球爱好者积极分享经验，认为投篮还与力度、速度、身体的协调性和心理素质等因素关联．再播放视频，让学生较为系统地了解主要影响因素，其中介绍投篮时要用手指拨球，让篮球在飞行时产生后旋，产生压力差，从而就会产生一定的升力，这样球会飞行得更加稳定．带着新经验，鼓励学生继续练习三分球，感受投篮还需要全身的动作协调，为成果现场展示奠定基础．

教学分析 跨学科主题学习是基于学科的主动跨界．以上主要依托体育学科实践研究三分球中的数学问题．事实上，影响投篮的因素较多，通过学生讨论和再次观看视频，了解投篮还需要考虑力学、运动生理学、心理学等其他学科知识，激发学生继续对三分球问题深入研究，感悟投篮的科学支撑，理解只有跨学科才能较好解决投篮问题．

任务5 学生展示和交流三分球投球的经验和收获．

学生整理如何投三分球的研究成果，以报告会的形式交流学习成果，还可以组织现场投篮展示，在讨论和反思中完善研究成果．

教学分析 将学习成果逻辑表达出来，可以进一步推动学习走向深层．成果表达也会提升交流合作能力、信息技术能力和社会性实践能力，严谨的思维和科学的态度也在修正成果过程中逐步形成．现场展示是学生运用获得的知识指导投篮实践，体验知识从实践中来，再到实践中去，凸显研究成果的目的性价值．

3 案例反思

3.1 营造真实学习情境

真实学习才能发展核心素养，真实学习要有真实的学习情境．数学跨学科主题学习应重视设计真实情境或运用信息技术模拟环境，为学生与环境互动提供载体．学生对真实情境的问题解决往往有浓厚的兴趣，驱动主动学习，在真实的体验中积累经验，深化理解问题，产生有价值的经验．情境蕴含知识，学生置身真实问题情境产生有意义的学习，主动开展观察、操作、猜想、探究、讨论等，解决这些问题的过程中能够激活思维、诱发质疑、自我调控、不断优化和内化等心智活动．事实上，探索三分球情境蕴含本质问题，吸引并支持学生对情境产生的学习任务动手动脑，全身心参与，特别是观看视频后，学生能够在真实情境中积极主动实践探索投篮曲线，应用数学建模刻画曲线，经历丰富的问题解决过程，既能对二次函数再建构，又能在科学实践探索中优化思维方式和思维结构．

3.2 问题解决中培养学生跨学科综合性思维

数学跨学科主题学习中的问题解决需要对本质问题进行不同学科视角下的表征，对表征的问题利用不同学科进行灵活迁移应用，探寻最优化的解决方案，再建立不同的模型对问题进行解释，从而全局性、综合性地解决问题．这种学生身心融入真实环境且不同学科协同解决问题的方式，能够对问题本质达到深层理解，建构知识能够在新情境中灵活运用．二次函数学习一般是从数到形，而这个项目是从形到数逆向的寻根溯源式探究，学生运用体育等学科探索真实存在的抛物线，如何让三分曲线更加可控，就要刻画变量之间的表达形式，使日常数学课的认知在跨学科整合中得到新的意义构建，这样获得的知识和解决问题的思路才能有迁移性．实际上，投篮还与空气动力学、心理学等相关，能激活知识之间的联系，为此，数学跨学科主题学习能够丰富认知，改变学生单学科的思维方式，培养学生跨学科综合性思维．

3.3 让学生在数学跨学科主题学习中学会思考

数学跨学科主题学习是在一个大情境统领下的学习，情境（问题）、任务、学习、实践融为一体．情境有任务驱动，需要进行基于证据的学科表达、探究、讨论、反思，这些活动镶嵌在一个情境中，是一个完整的、结构化的学习单位，有计划和方案，有逻辑结构（图3），有助于学生在学习中学会思考．在研究三分球问题中，学生围绕飞行轨迹这个核心概念，在实践基础上手绘“完美三分曲线”，对此进行刻画，结合相关数据、影响因素再进行投篮练习，形成研究成果，从而能深刻理解三分球飞行轨迹，再建构了二次函数．更为重要的是通过学生对情境、问题或任务的亲身经历和体验，形成有理有据的科学思维、科学表达和科学态度，逐步学会数学思考，形成跨学科思维习惯和面对复杂新情境如何行动的心智习惯，这应是数學跨学科主题学习致力追求的境界和目标．

4 线束语数学跨学科主题学习既关注真实世界，也关注数学等学科，既打破学科界限，也统整不同学科的知识，于现实生活与个体意义的连接中培养跨学科人才．为了有效落实数学跨学科主题学习，应当注意设计互动的环境，力求展示学生数学学习的过程和意义，引导学生运用具身学习等方式进行决策和问题解决，以高阶综合性思维统领学习实践过程，以体验激活思维，关注内化和反思，在跨学科整合和思维中加深理解和结构化知识，形成良好的认知结构和迁移应用能力，达成核心素养．

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

作者简介 顾广林（1964—），男，江苏泰州人，中学正高级教师，江苏省特级教师;主要从事初中“数学活动”研究．

帅建卓（1984—），男，江苏泰州人，中学一级教师;泰州市十佳青年教师，泰州市教学能手;主要研究初中“数学活动”育人教学实践．