陆贝贝 张维忠

【摘 要】 基于STEAM教育理念，以我国初中不同版本数学教科书中的黄金分割为载体，整合已有分析框架，从呈现位置、学科来源、整合类型、问题情境与问题类型的维度分析教科书中与黄金分割相关的跨学科内容.研究发现：不同版本教科书对黄金分割的编排存在差异；学科来源以工程和艺术为主；各版本教科书中缺乏“连接型”跨学科内容；基于真实情境的跨学科内容存在问题封闭的现象.建议教科书编写在相似图形后学习黄金分割，增加黄金分割在科学与技术领域的应用，适当增加“连接型”跨学科内容，增加问题情境的真实性与问题的开放性等.

【关键词】 跨学科；数学教科书；黄金分割

在课程与教学中运用好跨学科思维是强化学科育人的重要途径［1］.重视学科的交叉、融合不仅是教育发展的必然趋势，也是现代数学发展的时代特点.我国《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出“设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求”［2］.其中多次强調跨学科主题学习的重要性.课程是跨学科教育落地的核心载体，而教科书是最基本、最重要的课程资源，因此，对教科书中跨学科内容的研究就显得十分重要与迫切.黄金分割是一个不可穷尽、永不重复的数字：0.6180339887…这个数字自古代发现以来就不断触动人们的好奇心.黄金分割一直被古希腊乃至于历代伟大的建筑家、艺术家和雕塑家们所推崇，它还是人体科学的一个重要规律，在人体解剖学、生理学和中医理论中有一系列突出表现，甚至在万物生长有规律的自然界中被广泛地发现［3］.可以说，黄金分割是数学跨学科教学中不可多得的素材.已有研究为教科书里的跨学科内容比较提供了研究框架［4］，但运用内容分析法，对国内现行教科书中具体的跨学科内容实施横向比较的研究较少.笔者将从跨学科的角度对不同版本教科书中与黄金分割相关的内容进行比较研究，以期为我国数学教科书编写者合理设置跨学科内容及数学教师利用跨学科内容实施数学教学提供启示与借鉴.

1 研究对象与研究框架

1.1 研究对象

以人教版、北师大版、苏教版、浙教版和沪教版初中数学教科书中与黄金分割有关的内容为主要研究对象，它们全部基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写而成.

1.2 研究框架

从呈现位置、学科来源、整合类型、问题情境与问题类型这5个维度，对不同版本教科书中的跨学科内容进行比较分析.

（1）呈现位置.内容在教科书编排体系中的位置，包括内容所在章、节及栏目（包括非正文、正文、例题、习题、专栏5种类型）

（2）学科来源.数学具有广泛的应用性，我国数学教科书渗透着数学与科学、技术、工程、艺术等学科领域的融合，故借鉴STEAM教育框架——ST∑@M金字塔.

（3）整合类型.类型维度借鉴罗宾·福格蒂（Robin Fogarty）［5］提出的跨学科整合类型，包括并列型、共享型、蜘蛛网型、连接型和统合型.澳大利亚教科书中没有统合型的跨学科内容，因此在分析我国初中教科书时将它删去，并添加“无跨学科”一栏来统计黄金分割的跨学科占比.

（4）情境类型与问题类型.根据STEAM教育基于真实情境的问题解决且鼓励答案多样化的特点，将跨学科内容的情境类型分为真实情境与非真实情境，将跨学科内容的问题类型分为封闭、结果开放和问题开放［6］.

2 研究结果与分析

2.1 呈现位置

由表1知黄金分割是九年级学习的内容，除人教版在“一元二次方程”章的“解一元二次方程”一节的“阅读与思考”专栏用方程思想将人体雕塑问题转化为解一元二次方程的根，从而引出黄金分割的概念，其余4版教科书均是在“相似图形”的章节中学习.其中北师大版、苏教版和浙教版是在“正文”中安排了相应的内容，沪教版在“阅读与欣赏”专栏介绍黄金分割的作图、黄金矩形、黄金三角形等数学知识，并拓展了黄金分割在建筑、艺术、自然界中的应用.

2.2 学科来源

由表2可知，黄金分割涉及科学、技术、工程与艺术中的每一个领域.在科学领域，人教版介绍了一棵树的生长过程中，n年后的树枝数目与n+1年后的树枝数目之比约是黄金数；浙教版呈现了蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比接近黄金分割比及植物茎上相邻两片叶子成137°28′的角，会使植物通风和采光效果最佳的生物知识；沪教版指出古希腊人认为一个人有完美的体形是因为身体的很多部位都符合黄金分割的缘故.在技术领域，仅浙教版中呈现：一本书的宽与长之比为黄金比，已知它的宽为14cm，问它的长为多少厘米？在工程领域，古希腊时期的巴台农神庙的设计、上海东方明珠电视塔的设计及建筑物中窗户的设计都与黄金分割有关.艺术领域中与跨学科内容相关的内容占比最多，在音乐、雕塑、绘画、历史等方面都有呈现：达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》、雕像中的黄金比、用黄金比构思音乐作品及介绍历史上数学家华罗庚对“选优法”的重要贡献等.

2.3 整合类型

将黄金分割与其他学科的内在逻辑结构、融合程度与方式进行分类，并列型即在其他学科中存在黄金分割的概念及运算；共享型即通过其他学科可以进一步加深对黄金分割的理解；蜘蛛网型即从两门以上的学科同时展现黄金分割的主题；连接型即综合运用与黄金分割有关的知识，解决真实的问题.

统计数据如表3.黄金分割中涉及跨学科内容占比较大，以“并列型”和“共享型”为主，无“连接型”.

2.3.1 无跨学科

无跨学科的数量多少与黄金分割的栏目是否出现在正文有关，人教版和沪教版在非正文介绍其他学科中的黄金分割，很少有纯数学问题.而北师大版、苏教版和浙教版都有大量纯数学问题，如一元二次方程x2+x-1=0的求解、线段与几何图形（黄金三角形、黄金矩形、五角星）中黄金分割的计算、尺规作图画黄金分割点等.

2.3.2 并列型

并列型在5版数学教科书中的使用率最高，这符合教科书的基本特点，它能保证数学教科书的常规性.5版教科书中都含有并列型的跨学科内容，展现了黄金分割的广泛应用性和历史悠久性，它存在于音乐作品、日常建筑、生物结构……但并列型的跨学科内容仅以背景的形式呈现，抛开这层外壳并不会对学生学习产生实质性的影响.以苏教版“某建筑师设计的窗户为矩形，如果它的一边长3.24m，那么当它的邻边为多少时，这个矩形为黄金矩形？”的习题为例，若去除建筑设计的背景无实质性影响，故并列型的跨学科内容对学生的影响是较小的.

2.3.3 共享型

除苏教版外，其余教科书中都有共享型的跨学科内容.共享型可以促进学生思维模式的创新，为学生提供进一步理解黄金分割的机会.人们会觉得一个矩形如果切掉一个正方形后，剩下的小矩形与原来的矩形相似时看起来较美观.在达·芬奇的《蒙娜丽莎》中（图1），脸部被围在矩形中，而五官落在一个正方形中.艺术与数学共享了“黄金矩形”的思想，学生从其他学科中感受到了黄金分割的美.

2.3.4 蜘蛛网型

蜘蛛网型涉及两个以上的学科，苏教版以上海东方明珠电视塔的设计、芭蕾舞演员身体的比例和“最喜欢的矩形”的调查活动为跨学科背景，通过度量和计算发现黄金分割，提供了查看整体内容的广阔视角，使用主题来提取“黄金分割”的概念.浙教版中虽然有2处蜘蛛网型的跨学科内容，但存在相同跨学科背景重复出现的现象.教科书中关于蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比为0.618的例子共出现3次.单一的背景虽有利于知识点的巩固，但学生难以多角度认识到黄金分割的价值与意义.

2.3.5 连接型

连接型是对跨学科内容的高水平运用，有利于培养学生解决现实问题的综合能力，但5版教科书的黄金分割中均没有该类型的跨学科内容.这与初中阶段对黄金分割的学习目标有关，学生仅需认识黄金分割与实际生活存在密切联系，感受黄金分割的文化价值.但黄金分割是跨学科领域的重要内容，它是“代数”与“幾何”的纽带.因此教科书中有必要设置相应的连接型跨学科内容，让学生不仅能从数学的眼光观察现实世界，而且可以在数学推理中思考现实世界并建立数学模型表达现实世界.

2.4 情境类型与问题类型

各版教科书中与黄金分割相关的跨学科内容大多是基于真实情境，却存在虽情境真实但应用性低的问题.如在建筑中的上海东方明珠电视塔、巴台农神庙、艺术中的作品、数学家的历史、生物中的蝴蝶与植物中的叶茎都提供了真实情境，但它们大多以并列型和共享型出现且问题类型封闭，这难以培养学生分析与解决实际问题的能力.

3 教科书修订与教学建议

3.1 教科书修订建议

教科书要选取数学跨学科教学的良好素材，合理设置跨学科内容.笔者将从呈现位置、学科来源、整合类型、问题情境和问题类型的维度为教科书中黄金分割内容的编写提供建议.

3.1.1 呈现位置

黄金分割是九年级的学习内容，适宜安排在实数、分式、二次根式、一元二次方程、图形的全等与相似等基础知识后.从数学史看，毕达哥拉斯学派是在研究正五角星的作图过程中发现的这个特殊比值，若在相似及其性质之前学习黄金分割，学生无法感受黄金分割的来源［7］.

黄金分割是进行数学综合与实践活动的重要素材，若仅在专栏部分介绍黄金分割在其他学科中的呈现，难以对黄金分割有更进一步的认识，因此从数学角度探究黄金分割是有必要的.从数形结合的角度发现，几何中黄金矩形以较短边为边长做正方形，可以无限得到更小的黄金矩形；而在代数中，根据一元二次方程x2+x-1=0发现x= 1-x= 1- 1-x= 1- 1- 1-x= 1- 1-… 1-x.同时黄金分割也可以和斐波那契数列结合，黄金分割的无限性为它在数学上带来了巨大的探究价值.

青岛版教科书在九年级将“黄金分割与五角星”作为综合与实践活动，综合运用几何与代数的知识，从数学的角度体会到数学的美，通过活动加强对数学整体性的认识，感悟数形结合、转化的数学思想，提高逻辑推理、问题解决的能力，发展应用意识和创新能力.

3.1.2 学科来源

增加黄金分割在科学与技术领域的跨学科内容，这不仅可以帮助学生从多学科更全面地认识黄金分割，而且可以改善同一学科情境反复出现的现象.事实上，科学可以帮助人们认识世界的规律；工程与技术可以帮助人们根据社会需求改造世界；艺术可以帮助人们以美好的形式丰富世界；数学则为人们发展和应用科学、工程、艺术和技术提供思维方法和分析工具.学生对黄金分割的认识与跨学科内容学科来源广度有关.苏教版教科书仅从工程与艺术的角度介绍黄金分割，这造成学生对黄金分割的认识仅是两线段比为0.618，且工程和艺术中的黄金分割都是人类创造的，学生难以产生共鸣承认黄金分割的美.若从科学角度介绍花瓣数目、向日葵的排列，甚至人脸比例中的黄金分割，学生就自然感受到黄金分割在生物中体现出的自然美与和谐美.

3.1.3 整合类型

适当增加连接型的跨学科内容.无连接型跨学科内容会导致学生虽能在学习过程中感受到数学与其他学科有联系，但难以在其他学科中运用数学知识解决实际问题.人教版中“一棵树的生长过程中，n年后的树枝数目与n+1年后的树枝数目之比约是黄金分割数”的背景，可从“共享型”拓展为一个“连接型”探究活动：给出前几年的树枝数目1，1，2，3，5，8，13，21，…学生经历从特殊到一般的过程，发现斐波那契数列，介绍“兔子”问题.斐波那契数列不仅可以解释生命中的黄金分割，还可以构造艺术和建筑中所用的黄金矩形（如图2）.斐波那契数列为黄金分割在不同学科中的应用提供了脚手架.

3.1.4 问题情境与问题类型

加强问题情境的真实性.在科学领域提供真实数据进行探究，在技术领域可以结合计算机软件对黄金分割的无限性进行探究，在工程与艺术领域，鼓励学生运用黄金分割的知识进行创作与设计.让学生在真实情境中发现数学与其他学科间的联系与规律，用跨学科思维解决实际问题.

增加问题的开放性.STEAM教育鼓励答案多样化，封闭的过程与答案不利于学生拓宽思维，多版教科书都呈现了在线段中作黄金分割的方法：如图3，设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB，使BD=12AB；连接DA，在DA上截取DE=DB；在BA上截取AC=AE.点C就是线段AB的黄金分割点.黄金分割的构造方法远不止这一种，仅给出这一种方法不仅限制住学生的思考，也让过程开放的黄金分割构造问题变得封闭.

3.2 教学建议

教师作为教科书教学活动的实践者，要树立正确的STEAM教育理念，根据跨学科内容与数学知识的整合程度，选择恰当的教学策略，在课堂中渗透跨学科观念.黄金分割可以是一节简单的、放在相似图形章节中的数学课，也可以是一节与科学、技术、工程和艺术融合的、能跨学科解释黄金分割为什么美的数学综合实践活动.同时要把握好跨学科的“界”，不是任何知识都要跨学科，数学教育中的跨学科终究是为了帮助学生更好地理解和应用数学.

教师要学会比较不同版本教科书横向的差异，理解不同版本教科书的设计意图.人教版将黄金分割放在一元二次方程章节介绍，对黄金分割的探究不够深入；北师大版从五角星的线段比例开始探究，符合历史相似性原理；苏教版仅从工程与艺术的角度探究黄金分割，对黄金分割的认识仅停留在线段比例是0.618；浙教版中存在跨学科内容重复的现象；青岛版的“黄金分割与五角星”板块有丰富的数学探究活动，但跨学科内容与数学探究活动是分离的.教师要运用自己对课程和教科书的判断力进行教学决策，以便更好地培养学生的学科核心素养.

参考文献

［1］黄翔，童莉，史宁中.谈数学课程与教学中的跨学科思维［J］.课程·教材·教法，2021，41（07）：106-111.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：4.

［3］张维忠.数学文化视野中的数学与数学教育［M］.北京：人民教育出版社，2005：111-116.

［4］包智慧，杨新荣.初中数学教科书跨学科内容的变迁分析——基于四套人教版教科书的纵向比较研究［J］.中学数学杂志，2021（10）：8-12.

［5］张维忠，赵千惠.澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容［J］.浙江师范大学学报（自然科学版），2022，45（02）：233-240.

［6］周雪娇，唐恒钧.中澳小学数学教材中“问题解决”栏目的比较研究［J］.教育导刊，2019（04）：92-96.

［7］章飞.教材理解的几个视角——从黄金分割的教材调整谈开去［J］.数学通报，2018，57（04）：27-29.

作者简介 陆贝贝（1999—），女，浙江台州人，硕士研究生;主要从事数学课程与教学论研究.

张维忠（1964—），男，甘肃天水人，博士，教授，博士生導师;主要从事数学课程与教学论研究.