Square-octagon晶格中的量子自旋霍尔效应*

2022-12-21王国祥

河南工学院学报 2022年4期

王国祥

(河南工学院理学部,河南新乡 453003)

0 引言

自从Kane和Mele发现量子自旋霍尔态以来,其特殊的性质引起了科学工作者的极大兴趣[1, 2]。量子自旋霍尔态具有无能隙螺旋边界态,受到时间反演对称性保护,在二维情形,可通过一个拓扑不变量Z2来区分其和普通绝缘体。目前,理论上已预测在多种晶格上能实现量子自旋霍尔态,比如kagome晶格[3, 4]、decorated honeycomb晶格[5-8]、lieb晶格[9, 10]、square-octagon晶格[11]、ruby晶格[12, 13]等等。其中,对于square-octagon晶格,已有多个研究组对其展开了理论研究。

Kargarian和Fiete于2010年指出,square-octagon晶格在考虑自旋轨道耦合作用或非阿贝尔规范场时,能实现拓扑非平庸相[11]。通过调节最近邻耦合参数以及交错磁通量,在square-octagon晶格中可以得到丰富的拓扑相,并能观察到具有高陈数的拓扑带和拓扑平带[14]。随后,基于细胞动态平均场理论以及时间连续的量子蒙特卡洛算法,Bao等人研究了square-octagon晶格的哈伯德模型,他们发现在金属相和绝缘相中都可以存在顺磁序和反铁磁序[15, 16]。基于陈数和自旋陈数方法,杨园等人指出,当考虑自旋轨道耦合作用、次近邻耦合作用和交换场时,可以在square-octagon晶格实现时间反演对称性破坏的量子自旋霍尔相以及量子反常霍尔相[17, 18]。

从前文可知,在square-octagon晶格中实现拓扑非平庸相需要考虑自旋轨道耦合作用。在本文我们将主要研究Rashba自旋轨道耦合作用对square-octagon晶格拓扑性质的影响。

1 模型与方法

H=H0+HR

图1 square-octagon晶格的晶格结构

第一项为square-octagon晶格中的最近邻耦合作用,可表示为:

第二项为最近邻格点之间的Rashba自旋轨道耦合作用,可表示为:

在动量空间,哈密顿量可对角化为:

其中

Ψkσ=(cAkσ,cBkσ,cCkσ,cDkσ)T

H0(k)可表示为:

HR(k)可表示为:

其中

考虑Rashba自旋轨道耦合作用时,系统的空间反演对称性被破坏,此时不能根据宇称判据来计算Z2拓扑不变量。幸运的是,虽然空间反演对称性被破坏,但是系统仍具有时间反演对称性,我们可以用Fukui-Hatsugai方法来计算Z2拓扑不变量[19]。

ψ(k)=(|1(k)〉,|2(k)〉,…,|2M(k)〉)

为了使计算结果有意义,需要对波函数施加规范限制条件:

|n(-k)〉=Θ|n(k)〉其中Θ=iσK是时间反演算符,σ是自旋算符,K是复共轭算符。

在施加了规范限制条件之后,可定义一个连接变量,即

其中

Nu(kl)=|detψ†(kl)ψ(kl+μ)|

在上式中,μ表示在二维均匀离散布里渊中沿倒格矢方向上相邻两个格点之间的距离。则Berry联络和Berry曲率可表示为:

Aμ=ilogUμ(k)

因此在二维离散布里渊区的每个方格中可以定义n(k)如下:

由于Aμ和F(k)的取值范围为(-π,π]可知通过上式得到的n(k)为整数,并将之称为整数场。定义了n(k)之后,在半个布里渊区内求和可得到Zz拓扑不变量:

需要说明的是,在Fukui-Hatsugai方法中,可以对波函数施加不同的规范限制条件,此时n(k)的分布会有所不同,但是在半个布里渊区中求和时,n(k)的奇偶性不会发生变化。

2 结果与讨论

图2给出了square-octagon晶格纳米带的能带结构,其中参数t1=0.1t,λR=2t(选择t为单位能量)。从图中可以看到,在1/4填充时,在导带和价带之间有无能隙边界态穿过,并且该边界态在能隙中形成了狄拉克型结构,有一对自旋过滤的边界态存在,此时系统处于量子自旋霍尔相。为了进一步验证此时系统的拓扑性,我们采用Fukui-Hatsugai方法计算了相应的整数场,如图3(a)所示。从图3(a)可知,半个布里渊区内的整数场之和为奇数,这表示此时系统处于拓扑非平庸相,与边界态得到的结论相一致。