鲍吴兵 谢恩东

(安庆市第一中学 安徽 安庆 246003)

1 多人追逐问题

【例1】(第38届全国中学生物理竞赛预赛第13题) 6个小朋友在操场上玩追逐游戏.开始时，6个小朋友两两间距离相等，构成一正六边形.然后每个小朋友均以不变的速率v追赶前面的小朋友(即小朋友1追2，2追3，3追4，4追5，5追6，6追1)，在此过程中，每个小朋友的运动方向总是指向其前方的小朋友.已知某一时刻t0=0，相邻两个小朋友的距离为l，如图1所示.试问：

图1 例1题图

(1)从t0时刻开始，又经过多长时间后面的小朋友可追到前面的小朋友？

(2)从t0时刻开始，直至追上前面的小朋友，每个小朋友又跑了多少路程？

(3)在t0时刻，每个小朋友的加速度大小是多少？

以上问题中物体B始终正对物体A以一定速率追逐A，由于物体B的运动取决于物体A的位置，这类问题通常比较复杂，很难用方程直接表述B的轨迹，我们可用电脑软件辅助处理，但有些软件专业要求较高[1]，令多数教师望而却步.GeoGebra软件是一款动态几何软件，其“向量”功能可很好地表达上述问题中的“物体B始终正对物体A”的速度方向问题，下面以任意N个质点为例，介绍GeoGebra软件如何实现“追逐之路”.

2 用GeoGebra软件描绘轨迹

如图2所示，有N(N≥ 3)个人P1，P2，…，PN，分别位于边长为L的正N边形的各顶点上，这N个人从某时刻开始按逆时针依次追击，即P1追P2，P2追P3，…，PN-1追PN.

图2 人的初始位置

(1)引入变量.用滑动条N表示人的数量，滑动条v表示人的速度大小，滑动条t表示时间；

(2)描点.标出坐标原点O，描点P1表示人，指令栏输入：P_2=旋转(P_1, (360°)/N,O)，用正多边形工具作出过点P1和P2各点的正N边形，作图过程与效果如图3所示；

图3 作图过程与效果

(3)设置速度.在指令栏输入：单位向量(向量(P_1,P_2))，得到P1追P2方向上的单位向量u，u是辅助对象可隐藏，再输入：向量(P_1,P_1 + 0.3vu)，得到的向量w能动态显示速度大小、方向的变化；

(4)设置运动.在滑动条t的脚本区输入代码：赋值(P_1,P_1+0.01vu)，如图4所示，此代码表示在时间t更新时P1的位置会按设定的速度变化，启动滑动条t的动画就可看到相互追逐的运动；

图4 脚本代码

(5)显示轨迹.隐藏不必要对象，设置对象的相关属性，并显示点的轨迹，就可得到追逐路径，如图5和图6所示.

图5 3人追逐

图6 6人追逐

3 拓展应用

按以上方法还可以实现多种追逐问题的轨迹，图7是速度较小的物体B追逐速度较大的匀速圆周运动的物体A的部分轨迹.由于物体B速度较小，不可能追上物体A，经足够长时间后物体B将做半径较小的圆周运动，如图8所示.图9是模拟导弹的拦截过程，速度较小的导弹A(视为斜抛)被速度较大的导弹B击中.

图7 追逐圆周运动的过程

图8 追逐圆周运动的终态

图9 导弹的拦截过程