马淑红 焦照勇 贾光瑞

(河南师范大学物理学院 河南 新乡 453007)

1 引言

点的合成运动是理论力学课程教学的重难点内容之一[1]，许多实际问题涉及的主要是做一般运动的刚体系统，求解这类复杂运动问题需要正确分析运动间关联和运动形式，恰当选取体(动)坐标系，以及灵活运用力学知识和方法.许多学生在解决问题时主要运用基点法公式，解题方法单一死板，形成了思维定式.当遇到复杂运动问题时，学生会感到困惑、迷思、无从下手，不利于发散思维和创新思维的发展[4].本文基于教学实践，以教材中飞机上螺旋桨运动的典型问题为例[1]，通过“一题多解”多途径探究[2～4]，展示和探讨它对促进学生整合知识、优化方法，灵活运用、融会贯通和物理核心素养发展的作用和重要性.

2 一题多解

【例题】当飞机在空中以一定值速度u沿半径为R的水平圆形轨道O转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的连线和竖直线成θ角时，B点的速度vB及加速度aB.已知螺旋桨的长度AB=l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1.

(a)

(b)

(c)

(d)

(1)

解法1：自然坐标系绝对位矢求导法.

如图1(b)所示，螺旋桨尖端点B相对于固定点O的绝对位矢

(2)

对式(2)两边求时间的瞬时变化率，得到点B的速度

(3)

(4)

类似地，对式(4)两边求时间的瞬时变化率，并应用式(1)，可得点B绝对加速度

(5)

上述解法是从动点的绝对位矢出发，基于运动学量关系，通过求矢量对时间的瞬时变化率，得出动点的速度和加速度.该解题方法思路简单，关键在于求动系单位矢量瞬时变化率.

解法2：刚体运动基点法.

(6)

(7)

运用刚体基点公式

可得结果式(8)

(8)

综上，由于坐标轴选取不同，该结果与解法1结果表示形式有别；解法2中建立的刚体体坐标系更直观明了，其关键是确定刚体绕基点瞬轴转动运动状态.

解法3：点的合成运动法.

由点的合成运动理论：动点B相对于静系的绝对运动(vB、aB)等于其相对动系的相对运动(vr、ar)与动系相对于静系的牵连运动两者的叠加，即

(9)

动点对动系的相对运动：螺旋桨尖端动点B相对动系原点A的相对位矢、相对速度和相对加速度分别为

(10)

经上述分析计算，可得动点B对静系的绝对速度和加速度.

类似地，若建立以螺旋桨中心点A为原点的动坐标系[如图2(b)]，则点B相对动系静止(ar和vr等于零)，解法3回归到解法2.

该方法的关键是动系的建立和相对运动分析[5]，这里分别以机身和螺旋桨动系为例，深化学生对知识理解，加强学生灵活运用和掌握解题方法.

3 解法讨论及对学生创造性思维等核心素养的培养

比较上述解法不难发现：

(1)刚体基点公式法仅适用于固结于刚体上的点的运动，其余两种方法在求解任意动点的复杂运动问题时更具普适性.

(2)绝对位矢求导法是最基础的解法，基于动点的绝对位矢，运用求导运算推导出动点的速度和加速度，推理过程简单，学生都能熟练掌握.该方法有助于培养学生科学的逻辑思维方法和严谨的推理能力，强化求导微分物理思想的渗透，具有与其他方法异曲同工之妙.

(3)点的合成运动法是基于运动叠加原理来描述点的复杂运动，其运动变换关系为

归结为“一点、二系、三运动”，其解题思路清晰，学生易形成解题程序性范式，其关键是正确分析各种运动，是一种普适解法.

上述3种解题方法和思路从不同的观点出发，能够开阔学生眼界和思路，促使学生对所学理论知识进行整合和重构，贯通各章节碎片化的知识以达到灵活运用，启迪创新思维，培养学生多途径解决问题的能力.通过一题多解对问题进行反思，多问多想为什么，弄清物理本质，站在物理观念的角度，运用科学思维和深入分析探究的科学方法，培养学生的发散性和创造性思维，促进核心素养发展.

4 结论

本文运用绝对位矢求导法、刚体基点公式法、点的合成运动法一题多解“飞机上螺旋桨的运动”问题，讨论了各解法的关键和坐标系选取的影响.旨在通过“一题多解”强化学生对所学理论的融会贯通和解题方法的灵活运用，提高学生解决问题的能力，促进学生创新思维能力的发展.

它能促进学生整合知识、优化方法，灵活运用、触类旁通、融会贯通的教学效果，提高学生解决问题的能力，激发学习物理的积极主动性和创造性思维，促进核心素养发展.