谢建强 ，何亮田，李诚举

(1.安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230601; 2.菏泽学院数学与统计学院，山东 菏泽 274000)

引言

2016年，在全国高校思想政治工作会议上，习近平总书记强调高等学校要加强“课程思政”建设，实现全员、全程、全方位育人[1].高等学校为加强和推进课程思政建设，要实现教书育人和立德树人，形成专业核心课和专业选修课教学与思政课教学有机结合，同向同行的育人格局[2].因此在现阶段大环境下，研究公共基础课、专业课和专业选修课的思政建设显得尤为必要和重要. 目前已有一些专家和学者在课程思政的理论和实践方面展开研究，取得了很好的研究成果[3-5].最近，中国高等教育学会副会长张大良指出新时期立德树人的根本遵循是课程思政.课程思政建设的基础在课程，根本在思政，重点在课堂，关键在教师，成效在学生[6].孔翔和吴栋从课程目标和评价体系优化等方面，初步探究了以混合式教学改革服务课程思政建设的途径[7].

1 数学模型课程思政的研究现状

《数学模型》[8-9]是一门应用性很强的专业课程，以数学建模的基本思想和方法为主线，以科学计算方法为辅助，贯穿整个教学中.通常采用问题驱动的教学方法，围绕生活中的实际问题进行深入探究[10].通过数学建模案例分析和数学建模竞赛指导，使学生掌握如何在适当的假设下借助数学理论、数学手段和数学工具，构建准确刻画实际问题的数学模型，进而进行因果关系分析、科学计算、定量、定性分析，以便更好地揭示所研究的对象的内部规律和现象.在数学模型的案例教学中，通过明确实际问题、合理假设、建立数学模型、模型求解和模型检验等过程[8]引导学生参与、学习、思考和探究，以便发挥学生的主观能动性和激发学生的创造力.在润物细无声中将思政元素与数学模型的教学紧密结合，对于大学生正确、积极的人生观、价值观和世界观的塑造是极为重要和必要的.

近些年来，高等学校对数学类课程推进教学改革和课程思政建设已逐渐引起重视[2,10-11].最近许少欣和杨昔阳[12]通过一些案例分析，对如何在数学模型教学中加强课程思政建设给出了一些建议.朱婧等人[13]以传染病模型为例，通过对SARS疫情建立SIR模型并数值求解来预测SARS.为培养学生的理性思考，勇于探索以及应用数学解决实际问题的能力提供了很好的锻炼机会.然而该模型存在不足之处，应进一步改进SIR模型，构建更合适的传染病模型来进行预测和预警疫情，以此培养学生精益求精的科学精神和创新意识.马智慧[10]以常微分方程模型在生物数学中的应用为例，即通过讲授捕食者-食饵模型，探讨了数学模型课程的研究性教学模式.高峥和黄晋[14]借助案例分析，论述了数学建模中的课程思政，并指出高校数学教师应发挥学科文化素养的培育功能，充分挖掘课程的思政元素，实现立德树人.据了解，对《数学模型》开展课程思政建设的教学实践和探索[15]并不是很多，仍值得进一步深入探究.

本课程的教学通过运用传统教学方法和现代教育技术手段，优化教学内容，来构建全方位多角度的专业知识体系，将课程目标、课程思政元素和科研训练贯穿于整个课程教学中，来推进《数学模型》课程思政建设.具体分为以下两方面：

1)掌握数学建模的思想和方法，会用所学知识建立各种数学模型，培养学生综合运用数学理论、方法和计算机软件来分析和解决实际问题的能力.

2)传授各类不同数学模型的理论和方法，使学生具备对不同数学模型的性能、价值、优劣进行评价和优化的能力，培养学生的创新意识、创造性思维和辩证思维能力，引导学生树立正确的人生观、世界观和价值观.

2 《数学模型》课程思政元素的挖掘

在《数学模型》的教学过程中，任课教师结合学生的身心发展规律、认知水平知识结构体系，遵循因材施教规律和立德树人的原则，以培养学生勇于探索的创新意识，激发学生报效祖国的志向和社会责任意识为目标，基于以下课程思政设计思路(如图1所示)，挖掘和创造部分思政元素.

图1 课程思政设计思路

课程教学内容1：数学建模的重要性

课程思政目标：培养学生的批判性思维能力、社会责任感和担当意识，激发学生的爱国情怀，传承中华文化.

课程思政设计：通过向学生介绍应用数学的特点和几个典型的应用案例，如数值天气预报、数值油藏模拟、刘家峡大坝的应力分析问题、飞机制造与数值风洞、医学成像、导航地图与路径优化以及华为的5G，来阐释应用数学的重要性和实用性.向学生介绍由冯康先生在1965年前后独立于西方发明的有限元方法，提升学生的科研认识水平.结合习近平总书记在科学家座谈会上的讲话精神[16]，指出科技创新的必要性和重要性，鼓励学生努力学习学科专业知识、深化科技创新，树立科技报国的志向.

课程教学内容2：马尔可夫预测模型

课程思政目标：培养辩证思维观和历史唯物主义观，培养学生的综合研究能力.

课程思政设计：以马尔可夫链模型的提出、研究和发展历史引入，来介绍马尔可夫预测模型的构建、求解和案例分析，使学生领悟到事物的普遍联系和辩证统一，培养学生的唯物辩证观和历史唯物主义观以及理论联系实际的能力.

课程教学内容3：常微分方程组模型

课程思政目标：培养学生严谨务实、精益求精、敢于探索的创新意识.

课程思政设计：以2019-nCoV疫情引入，来强调建立合适的微分方程模型来预测和预警疫情的重要性.通过向学生介绍刻画传染病传播的数学模型SIR模型[8-9,17]、SIRP模型[8]、SEIR模型[17]、SEIJR模型[18]，使学生认识一个好的数学模型的构建，需要不断地修正和完善[19].引导学生研究和思考这些经典的数学模型，培养学生的科学意识和养成理性思考的习惯.

课程教学内容4：微分方程的求解

课程思政目标：培养学生严谨求实，勇于探索和刻苦钻研的精神，培养学生的创造性思维和应用数学解决实际问题的能力.

课程思政设计：通过案例教学法和小组讨论，讲述如何用Matlab库函数dsolve、ode45等求解简单的微分方程，引导学生领悟已有经验的重要性，学习已有的算法，设法找到现存算法的不足之处，并加以不断改进和提高算法的性能.培养学生不怕出错，不断矫正的可贵精神和综合研究能力，使学生树立积极的人生观、世界观和价值观.在微分方程的数值解法教学中，通过数值算法的构造模式教学、案例教学、实践探究和参与式自主学习，引导学生感悟生活，培养学生精益求精、勇于探索的精神.

课程教学内容5：数学规划

课程思政目标：培养学生的辩证思维观，戒骄戒躁，树立不忘初心，牢记使命的信念.

课程思政设计：通过课堂讲授、案例教学和自主学习，使学生明白事物之间是普遍联系和辩证统一的，体会到学习、生活、工作类似于优化问题最优解的搜索过程，要有正确的方向，要脚踏实地，杜绝短平快.引导学生看问题不仅要从全局出发，更要着眼于局部，要善于透过现象看本质，发现真理.

课程教学内容6：无约束最优化问题

课程思政目标：培养学生精益求精、勇于探索的科学精神，培养辩证思维观.

课程思政设计：通过示例教学法介绍无约束最优化问题的各类求解算法及其优劣，培养学生不惧艰难，刻苦钻研、精益求精的科学态度.

课程教学内容7：多目标规划

课程思政目标：培养学生的辩证思维观、对立、统一的辩证观.

课程思政设计：通过案例教学法和小组讨论，讲授证券组合投资中的多目标规划模型[8]，使学生认识到收益与风险共存的道理.以实际生活中的案例类推，引导学生树立合理分散风险获取收益最大化的观念.

课程教学内容8：图论模型

课程思政目标：培养学生精益求精、勇于探索的科学精神和综合研究能力，树立文化自信，传承中华文化.

课程思政设计：通过几个图论模型的学习和案例分析，如最短路模型、最大流问题，培养学生树立效益最大化意识，并学会追求最高收益；拓展了解什么是一带一路，提升民族危机意识和历史使命感，践行社会主义核心价值观.

3 《数学模型》课程的教学实践

以食饵-捕食者模型为例，基于图1中的课程思政实施思路，来展示数学模型课程思政的教学实践.

3.1 以实际问题为切入点，引入教学内容

意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究[8-9]，从第一次世界大战期间,地中海各港口几种鱼类捕获量百分比的资料中，他发现鲨鱼等的比例有明显增加，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降．显然战争使捕鱼量下降，从而食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？为了解决这个问题，Volterra建立了经典的食饵-捕食者模型如下：

(1)

其中x(t)为食饵在t时刻的数量；y(t)为捕食者在t时刻的数量；r1是食饵独立生存时的增长率；r2是捕食者独自存在时的死亡率；N1,N2分别为食饵和捕食者在系统中的最大生存量；λ1表示单位数量的捕食者(相对于N1)捕食单位数量食饵(相对于N2)的能力；λ2是单位数量的食饵(相对于N2)供养单位数量捕食者(相对于N1)的能力.Volterra用此模型来解释意大利生物学家提出的问题.在教学中，引导学生认识到用数学模型来刻画食饵-捕食者系统的动态发展过程和稳定状态，对种群动力学和生态学的研究具有重要的研究意义和应用价值.

3.2 建立合理的数学模型并求解，培养学生的科学意识

注意到食饵-捕食者模型(1)是在自然环境中食饵与捕食者之间的相互依存和制约关系，也没有考虑种群自身的阻滞增长效应，为保证模型的合理性，可在方程(1)中对食饵增加自身阻滞作用的Logistic项，建立相应的模型如下：

(2)

图2 群关系图和两种群相轨线

在模型的建立和求解过程中，使学生明白一个好的数学模型需要经过不断地修正和完善，以此培养学生精益求精的综合研究能力和辩证思维观.正如我们所知，尽管该模型可以很好地解释一些实际现象，但该模型作为现实对象的一个抽象，也会存在一些局限性.比如，在食饵-捕食者模型中均考虑自身阻滞作用的Logistic项，选取x(t)=27.5,y(t)=10,可以观察到数值解的周期震荡性(如图3所示).

图3 x(t),y(t)及y(x)

3.3 食饵-捕食者模型的延拓，提高学生的科研创新能力

在学习食饵-捕食者模型的过程中，使学生逐步认识到该模型的重要性和广泛的应用性，注重将科学研究的思路和方法论有机融合于教学中，以此开阔学生的视野，激发学生的求知欲和上进心，进一步提高学生的创造性思维能力.如能否通过增加空间的相互作用，考虑偏微分方程框架下的食饵-捕食者模型来解释种群动力学行为，并对相应的模型进行高效的求解.再如，能否在传统的食饵-捕食者模型中引入非局部项来刻画食饵-捕食者之间的相互依存和制约关系，对种群间的动力学行为现象给出更合理的解释？通过引导学生思考这些问题，并尝试解决它们，培养学生的科研思维、创新能力和创造性思维，养成勤提问、勤思考和研究问题的好习惯，以期不断提高学生的综合素质和能力.

4 《数学模型》教学中课程思政探索的几点思考

4.1 注重研究性教学模式，培养学生敢于创新的科研意识

在传染病模型和种群增长模型的教学过程中，通过案例分析教学，讲述传染病模型和种群增长模型的建立、求解和应用，以及可能推广的一些研究，如基于分数阶微积分时滞动力学系统传染病模型的建立，高效数值求解和应用.在模型的建立和数值求解方面，采取参与式和示例式教学，以期提高学生的科学计算能力.推荐学生阅读与授课内容相关的新文献，并有针对性的进行讲解，拓宽学生的视野和知识面，使学生理解和体会科学研究创新的训练过程和思维模式.结合自己的研究方向和科研体会，与同学们进行交流，培养学生不怕吃苦、勇于探索的科研精神以及综合研究能力.

4.2 采用问题驱动的教学方法，加深学生的探究意识

在层次分析法的讲授过程中，关于成对比较矩阵的构造，由于人们认知的差异，采取Saaty教授引入的1-9标度构造的成对比较矩阵，有时候很难通过矩阵的一致性检验.一个自然的问题是如何改进成对比较矩阵，使其通过一致性检验.通过给学生提供相关思路，如利用加罚的思想修正成对比较矩阵或提出新的方法构造判断矩阵，来引导学生积极参与讨论和思考，培养学生自学和主动学习的能力.

4.3 运用探究式教学方法，提高学生的创造性思辨能力

在无约束最优化问题的教学过程中，采取探究式教学方法和案例教学，详细讲述最速下降法、牛顿法和拟牛顿法的求解思想和算法步骤.运用示例法比较这三种算法的优缺点，并引导学生思考为什么要这样设计算法，重视基本求解算法背后设计思想和原理的教学，以此来加深学生对相关数值算法的理解和认识，掌握科研训练的过程，以便提高学生的创造性思辨能力.

5 结论

课程思政通过遵循三位一体的育人理念，在教学过程中挖掘和创造课程的思政元素，实现立德树人.本文在《数学模型》课程的教学实践中，借助研究性教学模式和探究性、示例型教学方法创造和挖掘了该课程的思政元素，培养了学生的辩证思维观、精益求精、不怕困难、勇于探索的科学精神以及应用数学解决实际问题的能力.