胡小波

(江苏省泰州市姜堰区娄庄中学 225506)

题目(2021全国乙卷理综第21题)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图1所示.科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞.这项研究工作获得了2020年若贝尔物理学奖.若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( ).

图1

A.4×104M B.4×106M

C.4×108M D.4×1010M

1 试题分析

2 解题方法

将地球绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动，设地球的质量、公转周期、日地距离分别为m、T、r，太阳的质量为M，由万有引力提供向心力得：

①

由①式可知K值与中心天体太阳质量有关，若将此K值迁移至S1星绕黑洞的椭圆运动则有：

②

式②中r′、T′、M′分别表示S1星绕黑洞作椭圆运动的半长轴、公转周期及黑洞的质量.将(2)与(1)式相比整理可得：

③

将r′=1000AU、r=1AU、T′=16年、T=1年

代入③式得：M′=4×106M.

正确答案选B.

3 解法思考——K值的迁移拓展是否正确

3.1 引力势能表达式的推导

以行星绕太阳运动的模型为例，其轨道为椭圆，因太阳对行星的引力是保守力，其做功与路径无关，故可以直接将沿椭圆运动化为沿直线运动推导引力势能表达式.如图2所示设太阳的质量为M，行星的质量为m，太阳与行星间的距离为r，取无穷远为零势能点，当行星自距离日心r1的A处移至与日心距离r2的B处时，引力做功为：

图2

④

⑤

因规定无穷远处为零势能位置，由功能关系得W=Ep1-Ep2=Ep1-0=Ep1

⑥

3.2 速度方向的定量表达

如图3所示，设太阳位于椭圆右焦点F，椭圆长半轴、短半轴及焦距分别为a、b、c,行星运动至椭圆上的A点时，与太阳中心距离为r，其速度方向与矢径r成α角，根据椭圆性质及A与两焦点形成的三角形由余弦定理易得

图3

(2c)2=r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos2φ,变形得：

⑦

又由二倍角公式得：

cos2φ=2cos2φ-1

⑧

由⑦⑧得：

⑨

由椭圆性质得：

a2-c2=b2

⑩

将⑩式代入⑨式有：

又由角的关系得：

cosφ=sinβ=sin(π-α)=sinα

3.3 开普勒第三定律K值的推导

在图3中，设太阳与行星的质量分别为M、m，某时刻沿椭圆轨道运动至A处时速度为v，与矢径方向夹角为，将行星绕太阳的运动看成是孤立的系统，由机械能守恒得：

因太阳对行星的引力方向与矢径方向平行，故角动量守恒有mvrsinα=L

由开普勒第二定律不难得出：